If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Kurs: Algebra 1 > Rozdział 9

Lekcja 2: Konstruowanie ciągów arytmetycznych
Matematyka
Algebra 1
Ciągi
Konstruowanie ciągów arytmetycznych
© 2024 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Jawne wzory na ciągi arytmetyczne

Google Classroom
Naucz się jak znaleźć jawne wzory ciągów arytmetycznych. Na przykład, znajdź jawny wzór 3, 5, 7,...
Zanim podejdziesz do tej lekcji, upewnij się, że jesteś zaznajomiony z podstawami wzorów dla ciągów arytmetycznych.

Na czym polegają wzory jawne

Poniżej znajduje się jawny wzór ciągu 3,5,7,…
a(n)=3+2(n−1)
W tym wzorze n oznacza numer wyrazu a a(n) jest n-tym wyrazem.
Wzór ten pozwala nam po wstawieniu numeru wyrazu, którego szukamy, otrzymać wartość tego wyrazu.
Aby znaleźć, na przykład, piąty wyraz, musimy wstawić n=5 do wzoru jawnego.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11
Fajnie! To rzeczywiście jest piąty wyraz ciągu 3,5,7,…

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Znajdź b(10) dla wzoru danego przez b(n)=−5+9(n−1).
b(10)=
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Znajdowanie wzorów jawnych

Rozważmy ciąg arytmetyczny 5,8,11,… Pierwszym wyrazem jest 5 a różnicą 3.
Możemy otrzymać dowolny wyraz ciągu przez wzięcie wyrazu początkowego 5 i kolejne dodawanie do niego różnicy 3. Sprawdź, dla przykładu, poniższe obliczenia dla kilku początkowych wyrazów.
nObliczenie n-tego wyrazu
15=5+0⋅3=5
25+3=5+1⋅3=8
35+3+3=5+2⋅3=11
45+3+3+3=5+3⋅3=14
55+3+3+3+3=5+4⋅3=17
Tabela pokazuje nam, że możemy otrzymać n-ty wyraz (gdzie n jest dowolnym numerem wyrazu) przez wzięcie wyrazu początkowego 5 i (n−1)-krotne dodanie do niego różnicy 3. Można to zapisać algebraicznie jako 5+3(n−1).
W ogólności, poniżej znajduje się standardowy wzór jawny ciągu arytmetycznego, którego wyrazem początkowym jest A a różnicą B:
A+B(n−1)

Sprawdź, czy rozumiesz

2) Napisz wzór jawny ciągu 2,9,16,….
d(n)=

3) Napisz wzór jawny ciągu 9,5,1,….
e(n)=

4) Wzorem jawnym ciągu jest f(n)=−6+2(n−1).
Jaki jest pierwszy wyraz ciągu?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi
Jaka jest różnica tego ciągu?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Równoważne wzory jawne

Wzory jawne mogą być podane pod wieloma postaciami
Na przykład, oba poniższe wzory to wzory jawne ciągu arytmetycznego 3,5,7,…
  • 3+2(n−1) (jest to wzór standardowy)
  • 1+2n
  • 5+2(n−2)
Wzory mogą wyglądać inaczej, ale liczy się to, że możemy wstawić odpowiednią wartość n i otrzymać poprawny n-ty wyraz (sprawdźcie sami, że pozostałe wzory są również prawdziwe!)
Różne wzory jawne opisujące ten sam ciąg nazywamy równoważnymi wzorami jawnymi.

Częste nieporozumienie

Ciąg arytmetyczny może mieć różne wzory jawne, ale należy pamiętać, że tylko postać standardowa daje nam wyraz początkowy oraz różnicę ciągu.
Na przykład, wzór 2,8,14,… ma pierwszy wyraz 2 i różnicę 6.
Wzór jawny 2+6(n−1) opisuje ten ciąg, ale wzór jawny 2+6n opisuje inny ciąg.
Aby sprowadzić wzór 2+6(n−1) do równoważnej postaci A+Bn, możemy opuścić nawiasy i uprościć wynik:
=2+6(n−1)=2+6n−6=−4+6n
Niektórzy mogą woleć wzór −4+6n od równoważnego wzoru 2+6(n−1), ponieważ jest on krótszy. Plusem dłuższego wzoru jest fakt, że od razu daje on nam wyraz początkowy ciągu.

Sprawdź, czy rozumiesz

5) Znajdź wszystkie poprawne wzory jawne ciągu 12,7,2,…
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Ćwiczenia sprawdzające

6*) Znajdź 124-ty wyraz ciągu arytmetycznego 199,196,193,…
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

7*) Pierwszym wyrazem ciągu arytmetycznego jest 5 a dziesiątym wyrazem jest 59.
Jaka jest różnica tego ciągu?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.