If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra 2

Rozdział 2: lekcja 5

Mnożenie liczb zespolonych
Matematyka
Algebra 2
Liczby zespolone
Mnożenie liczb zespolonych
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Przegląd działań na liczbach zespolonych

Google Classroom
Przegląd dodawania, odejmowania i mnożenia liczb zespolonych.
Dodawanie
left parenthesis, a, start subscript, 1, end subscript, plus, b, start subscript, 1, end subscript, i, right parenthesis, plus, left parenthesis, a, start subscript, 2, end subscript, plus, b, start subscript, 2, end subscript, i, right parenthesis, equals, left parenthesis, a, start subscript, 1, end subscript, plus, a, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, plus, left parenthesis, b, start subscript, 1, end subscript, plus, b, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, i
Odejmowanie
left parenthesis, a, start subscript, 1, end subscript, plus, b, start subscript, 1, end subscript, i, right parenthesis, minus, left parenthesis, a, start subscript, 2, end subscript, plus, b, start subscript, 2, end subscript, i, right parenthesis, equals, left parenthesis, a, start subscript, 1, end subscript, minus, a, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, plus, left parenthesis, b, start subscript, 1, end subscript, minus, b, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, i
Mnożenie
left parenthesis, a, start subscript, 1, end subscript, plus, b, start subscript, 1, end subscript, i, right parenthesis, dot, left parenthesis, a, start subscript, 2, end subscript, plus, b, start subscript, 2, end subscript, i, right parenthesis, equals, left parenthesis, a, start subscript, 1, end subscript, a, start subscript, 2, end subscript, minus, b, start subscript, 1, end subscript, b, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, plus, left parenthesis, a, start subscript, 1, end subscript, b, start subscript, 2, end subscript, plus, a, start subscript, 2, end subscript, b, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, i
Chcesz wiedzieć więcej na temat działań na liczbach zespolonych? Obejrzyj te filmy:
Dodawanie liczb zespolonych
Odejmowanie liczb zespolonych
Mnożenie liczb zespolonych

Ćwiczenie 1: dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych

Przykład 1: Dodawanie liczb zespolonych

Dodawanie liczb zespolonych polega po prostu na dodawaniu do siebie oddzielnie części rzeczywistych i części urojonych. Na przykład:
=(3+4i)+(6−10i)=(3+6)+(4−10)i=9−6i\begin{aligned} &\phantom{=}(\blueD 3+\greenD4i)+(\blueD6\greenD{-10}i) \\\\ &=(\blueD3+\blueD6)+(\greenD4\greenD{-10})i \\\\ &=\blueD9\greenD{-6}i \end{aligned}

Przykład 2: Odejmowanie liczb zespolonych

Analogicznie jak w przypadku dodawania, odejmowanie liczb zespolonych polega po prostu na odejmowaniu do siebie oddzielnie części rzeczywistych i części urojonych. Na przykład:
=(3+4i)−(6−10i)=(3−6)+(4−(−10))i=−3+14i\begin{aligned} &\phantom{=}(\blueD 3+\greenD4i)-(\blueD6\greenD{-10}i) \\\\ &=(\blueD3-\blueD6)+(\greenD4-(\greenD{-10}))i \\\\ &=\blueD{-3}+\greenD{14}i \end{aligned}
Zadanie 1.1
left parenthesis, 7, minus, 10, i, right parenthesis, minus, left parenthesis, 3, plus, 30, i, right parenthesis, equals

Wynik wyraź w postaci left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Ćwiczenie 2: Mnożenie liczb zespolonych

Mnożenie liczb zespolonych opiera się na podobnej zasadzie, co mnożenie dwumianów:
left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, c, plus, d, right parenthesis, equals, a, c, plus, a, d, plus, b, c, plus, b, d
Istotna różnica polega na tym, że w przypadku mnożenia liczb zespolonych wykorzystujemy także, że i, squared, equals, minus, 1.

Przykład 1

=2⋅(−3+4i)=2⋅(−3)+2⋅4i=−6+8i\begin{aligned} &\phantom{=}\blueD 2\cdot(\blueD{-3}+\greenD{4}i) \\\\ &=\blueD2\cdot(\blueD{-3})+\blueD2\cdot\greenD4i \\\\ &=\blueD{-6}+\greenD8i \end{aligned}

Przykład 2

=3i⋅(1−5i)=3i⋅1+3i⋅(−5)i=3i−15i2=3i−15(−1)=15+3i\begin{aligned} &\phantom{=}\greenD3i\cdot(\blueD{1}\greenD{-5}i) \\\\ &=\greenD3i\cdot\blueD1+\greenD3i\cdot(\greenD{-5})i \\\\ &=\greenD3i-15i^2 \\\\ &=\greenD3i-15(-1) \\\\ &=\blueD{15}+\greenD3i \end{aligned}

Przykład 3

=(2+3i)⋅(1−5i)=2⋅1+2⋅(−5)i+3i⋅1+3i⋅(−5)i=2−10i+3i−15i2=2−7i−15(−1)=17−7i\begin{aligned} &\phantom{=}(\blueD2+\greenD3i)\cdot(\blueD{1}\greenD{-5}i) \\\\ &=\blueD2\cdot\blueD1+\blueD2\cdot(\greenD{-5})i+\greenD3i\cdot\blueD1+\greenD3i\cdot(\greenD{-5})i \\\\ &=\blueD2\greenD{-10}i+\greenD3i-15i^2 \\\\ &=\blueD2\greenD{-7}i-15(-1) \\\\ &=\blueD{17}\greenD{-7}i \end{aligned}
Zadanie 2.1
8, dot, left parenthesis, 11, i, plus, 2, right parenthesis, equals

Twój wynik powinien być liczbą zespoloną w postaci a, plus, b, i gdzie a i b to liczby rzeczywiste.

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Wypróbuj to bazowe ćwiczenie oraz te zaawansowane zadania.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.