If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Mnożenie liczb zespolonych

Dowiedz się jak mnożyć liczby zespolone. Na przykład, jak pomnożyć (1+2i)⋅(3+i).
Liczbą zespoloną nazywamy każdą liczbę, którą można zapisać jako sumę start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, gdzie i jest jednostką urojoną a start color #1fab54, a, end color #1fab54 i start color #11accd, b, end color #11accd są liczbami rzeczywistymi.
Gdy mnożymy liczby zespolone wygodnie jest pamiętać, że arytmetyczne reguły mnożenia, jakie stosujemy przy mnożeniu liczb rzeczywistych, działają podobnie i w tym przypadku.
Czasem myślenie o i jak o zmiennej, takiej jak x, jest przydatne. Wtedy możemy mnożyć dokładnie tak, jak byśmy się tego spodziewali. Przepracujmy to na kilku przykładach.

Mnożenie liczby rzeczywistej przez liczbę zespoloną

Przykład

Pomnóż minus, 4, left parenthesis, 13, plus, 5, i, right parenthesis. Zapisz wynik w postaci a, plus, b, i.

Rozwiązanie

Jeżeli intuicja podpowiada Ci wymnożenie elementów nawiasu przez minus, 4, to masz dobrą intuicję! Zróbmy to!
4(13+5i)=4(13)+(4)(5i)=5220i\begin{aligned}\tealD{-4}(13+5i)&=\tealD{-4}(13)+\tealD{(-4)}(5i)\\ \\ &=-52-20i \end{aligned}
I już! Użyliśmy własności rozdzielności, aby pomnożyć liczbę zespoloną przez liczbę rzeczywistą. Spróbujmy teraz czegoś bardziej skomplikowanego.

Mnożenie liczby urojonej przez liczbę zespoloną

Przykład

Pomnóż 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis. Zapisz wynik w postaci a, plus, b, i.

Rozwiązanie

Podobnie, zacznijmy wymnożeniem przez 2, i każdego ze składników nawiasu.
2i(38i)=2i(3)2i(8i)=6i16i2\begin{aligned}\tealD{2i}(3-8i)&=\tealD{2i}(3)-\tealD{2i}(8i)\\ \\ &=6i-16i^2 \end{aligned}
W tym momencie odpowiedź nie jest w postaci a, plus, b, i, ponieważ zawiera i, squared.
Wiemy jednak, że start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10. Podstawmy to i zobaczmy, dokąd nas to zawiedzie.
2i(38i)=6i16i2=6i16(1)=6i+16\begin{aligned}\phantom{\tealD{2i}(3-8i)} &=6i-16\goldD{i^2}\\ \\ &=6i-16(\goldD{-1})\\ \\ &=6i+16\\ \end{aligned}
Używając własności przemienności dodawania możemy zapisać odpowiedź jako 16, plus, 6, i, mamy więc, że 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis, equals, 16, plus, 6, i.

Sprawdź, czy rozumiesz

Zadanie 1

Pomnóż 3, left parenthesis, minus, 2, plus, 10, i, right parenthesis.
Zapisz odpowiedź w postaci a, plus, b, i.

Zadanie 2

Pomnóż minus, 6, i, left parenthesis, 5, plus, 7, i, right parenthesis.
Zapisz odpowiedź w postaci a, plus, b, i.

Doskonale! Możemy teraz przejść jeszcze dalej! W następującej części przećwiczymy typowy przypadek mnożenia liczb zespolonych.

Mnożenie dwóch liczb zespolonych

Przykład

Pomnóż left parenthesis, 1, plus, 4, i, right parenthesis, left parenthesis, 5, plus, i, right parenthesis. Zapisz wynik w postaci a, plus, b, i.

Rozwiązanie

W tym przykładzie niektórzy uważają za bardzo pomocne przyjęcie i za zmienną.
Procedura mnożenia tych dwóch liczb zespolonych jest bardzo podobna to mnożenia dwóch dwumianów! Pomnóż każdy z elementów pierwszego nawiasu przez każdy z elementów drugiego nawiasu.
(1+4i)(5+i)=(1)(5)+(1)(i)+(4i)(5)+(4i)(i)=5+i+20i+4i2=5+21i+4i2\begin{aligned}(\tealD{1}+\maroonD{4i}) (5+i)&=(\tealD{1})(5)+(\tealD{1})(i)+(\maroonD{4i})(5)+(\maroonD{4i})(i)\\ \\ &=5+i+20i+4i^2\\ \\ &=5+21i+4i^2 \end{aligned}
Skoro start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10, to możemy zamienić i, squared na minus, 1 i otrzymać szukaną postać a, plus, b, i.
(15i)(6+i)=5+21i+4i2=5+21i+4(1)=5+21i4=1+21i\begin{aligned}\phantom{(\tealD{1}\maroonD{-5}i) (-6+i)} &=5+21i+4\goldD{i^2}\\ \\ &=5+21i+4(\goldD{-1})\\ \\ &=5+21i-4\\ \\ &=1+21i \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

Zadanie 3

Pomnóż left parenthesis, 1, plus, 2, i, right parenthesis, left parenthesis, 3, plus, i, right parenthesis.
Zapisz odpowiedź w postaci a, plus, b, i.

Zadanie 4

Pomnóż left parenthesis, 4, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 7, minus, 3, i, right parenthesis.
Zapisz odpowiedź w postaci a, plus, b, i.

Zadanie 5

Pomnóż left parenthesis, 2, minus, i, right parenthesis, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis.
Zapisz odpowiedź w postaci a, plus, b, i.

Zadanie 6

Pomnóż left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis.
Zapisz odpowiedź w postaci a, plus, b, i.

Wyzwania

Zadanie 1

Niech a i b będą liczbami rzeczywistymi. Ile wynosi left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis?

Zadanie 2

Wykonaj działanie i uprość wynik. left parenthesis, 1, plus, 3, i, right parenthesis, squared, dot, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis
Zapisz odpowiedź w postaci a, plus, b, i.