If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Wprowadzenie do liczb zespolonych

Dowiedz się czym są liczby zespolone oraz ich części rzeczywiste i urojone.
W ciele liczb rzeczywistych nie istnieje rozwiązanie równania x2=1. W tej lekcji będziemy poznawać nowe ciało liczb, w którym równanie to ma rozwiązanie.
Rdzeniem tego nowego ciała liczb jest liczba i.
i=1
Branie wielokrotności tej jednostki urojonej wynika w utworzeniu nieskończonej ilości nowych liczb. Dla przykładu, 3i, i5, oraz 12iliczbami urojonymi, czyli liczbami postaci bi, gdzie b jest pewną niezerową liczbą rzeczywistą.
Dodanie liczb rzeczywistych do tych liczb urojonych tworzy jeszcze inne nowe liczby, takie jak 2+7i czy 32i. Nie są to czysto urojone liczby, nie są to też liczby rzeczywiste. Nazywamy je liczbami zespolonymi.

Definicja liczb zespolonych

Liczbą zespoloną nazywamy każdą liczbę, którą można zapisać jako sumę a+bi, gdzie i jest jednostką urojoną a a i b są liczbami rzeczywistymi.
Częścią rzeczywistą liczby zespolonej, czyli a, jest liczba rzeczywista dodana do liczby urojonej.
Częścią urojoną liczby zespolonej, czyli b, jest rzeczywisty współczynnik stojący w liczbie urojonej.
Poniższa tabela podaje przykłady liczb zespolonych, wraz z ich częściami rzeczywistymi i urojonymi. Niektórym łatwiej jest zidentyfikować części rzeczywistą i urojoną, gdy liczba zespolona zapisana jest w postaci standardowej.
Liczba zespolonaPostać standardowa a+biDescription of parts
7i22+7iCzęścią rzeczywistą jest 2 a częścią urojoną jest 7.
43i4+(3)iCzęścią rzeczywistą jest 4 a częścią urojoną jest 3
       9i0+9iCzęścią rzeczywistą jest 0 a częścią urojoną jest 9
    22+0iCzęścią rzeczywistą jest 2 a częścią urojoną jest 0

Sprawdź, czy rozumiesz

Zadanie 1

Jaka jest część rzeczywista liczby 13,2i+1?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Zadanie 2

Jaka jest część urojona liczby 2114i?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Zadanie 3

Ile wynosi część rzeczywista 17i?
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi

Klasyfikacja liczb zespolonych

Zauważyłeś(aś) pewnie, że liczby 9i i 2 były podane jako przykłady liczb zespolonych, mimo że wcześniej nazywaliśmy je, odpowiednio, urojoną i rzeczywistą.
Przyjrzyjmy się dokładniej, jakie zależności występują między poznanymi przez nas zbiorami liczb.
9i jest liczbą urojoną. Możemy jednak zawsze przedstawić ją jako 0+9i. Liczba 9i jest więc jednocześnie liczbą urojoną i liczbą zespoloną! Rzeczywiście, każda liczba urojona jest również liczbą zespoloną.
Podobnie, 2 jest liczbą rzeczywistą. Jednakże możemy ją zapisać jako 2+0i. 2 jest więc jednocześnie liczbą rzeczywistą i liczbą zespoloną! Rzeczywiście, każda liczba rzeczywista jest również liczbą zesploną.
W ogólności, każda niezerowa liczba zespolona a+bi będzie również...
  • ...liczbą urojoną, jeżeli a=0.
  • ...liczbą rzeczywistą, jeżeli b=0.
Diagram pokazuje zależności między liczbami rzeczywistymi, urojonymi i zespolonymi. Podane są przykłady każdego z typu tych liczb.

Pytanie do zastanowienia

Prawda czy fałsz?
Każda liczba zespolona jest albo rzeczywista, albo urojona.
Wybierz 1 odpowiedź:

Przykłady

W poniższej tabeli sklasyfikowaliśmy kilka liczb jako rzeczywiste, urojone i/lub zespolone.
Rzeczywista(b=0)Urojona(a=0)Zespolona(a+bi)
7+8i(7+8i)X
3(3+0i)XX
1(1+0i)XX
1,3i(0+(1,3)i)XX
100i(0+100i)XX
Zauważ, że wszystkie liczby z tabeli są liczbami zespolonymi! Jest to ogólna prawda.

Teraz spróbuj sam!

Zadanie 4

Jakim typem liczby jest 2+3i?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Zadanie 5

Jakim typem liczby jest 10,2?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Zadanie 6

Jakim typem liczby jest 17i?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Dlaczego liczby zespolone są takie ważne?

Po co uczyć się o liczbach zespolonych? Wierz lub nie, liczby zespolone mają bardzo wiele zastosowań - elektronika i mechanika kwantowa to tyko niektóre z nich!
Z czysto matematycznego punktu widzenia, dobrą własnością liczb zespolonych jest to, że pozwalają nam na rozwiązanie dowolnego równania wielomianowego.
Na przykład, równanie x22x+5=0 nie ma rozwiązań rzeczywistych, ani też urojonych. Jednakże, ma ono dwa rozwiązania zespolone. Są to 1+2i oraz 12i.
Podczas dalszej nauki matematyki dowiemy się więcej o tych liczbach oraz gdzie i jak można ich używać.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.