Główna zawartość

Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Rozdział 2

Lekcja 2: Wprowadzenie do liczb zespolonych

Wprowadzenie do liczb zespolonych

Dowiedz się czym są liczby zespolone oraz ich części rzeczywiste i urojone.

W ciele liczb rzeczywistych nie istnieje rozwiązanie równania

x^{2} = - 1

. W tej lekcji będziemy poznawać nowe ciało liczb, w którym równanie to ma rozwiązanie.

Rdzeniem tego nowego ciała liczb jest liczba

i

$i = \sqrt{- 1}$ ‍

Branie wielokrotności tej jednostki urojonej wynika w utworzeniu nieskończonej ilości nowych liczb. Dla przykładu,

3 i

i \sqrt{5}

, oraz

- 12 i

są liczbami urojonymi, czyli liczbami postaci

b i

, gdzie

b

jest pewną niezerową liczbą rzeczywistą.

Dodanie liczb rzeczywistych do tych liczb urojonych tworzy jeszcze inne nowe liczby, takie jak

2 + 7 i

czy

3 - \sqrt{2} i

. Nie są to czysto urojone liczby, nie są to też liczby rzeczywiste. Nazywamy je liczbami zespolonymi.

Definicja liczb zespolonych

Liczbą zespoloną nazywamy każdą liczbę, którą można zapisać jako sumę

a + b i

, gdzie

i

jest jednostką urojoną a

a

b

są liczbami rzeczywistymi.

Częścią

rzeczywistą

liczby zespolonej, czyli

a

, jest liczba rzeczywista dodana do liczby urojonej.

Częścią

urojoną

liczby zespolonej, czyli

b

, jest rzeczywisty współczynnik stojący w liczbie urojonej.

Poniższa tabela podaje przykłady liczb zespolonych, wraz z ich częściami rzeczywistymi i urojonymi. Niektórym łatwiej jest zidentyfikować części rzeczywistą i urojoną, gdy liczba zespolona zapisana jest w postaci standardowej.

Liczba zespolona	Postać standardowa $a + b i$ ‍	Description of parts
$7 i - 2$ ‍	$- 2 + 7 i$ ‍	Częścią rzeczywistą jest $- 2$ ‍ a częścią urojoną jest $7$ ‍.
$4 - 3 i$ ‍	$4 + (- 3) i$ ‍	Częścią rzeczywistą jest $4$ ‍ a częścią urojoną jest $- 3$ ‍
$9 i$ ‍	$0 + 9 i$ ‍	Częścią rzeczywistą jest $0$ ‍ a częścią urojoną jest $9$ ‍
$- 2$ ‍	$- 2 + 0 i$ ‍	Częścią rzeczywistą jest $- 2$ ‍ a częścią urojoną jest $0$ ‍

Sprawdź, czy rozumiesz

Zadanie 1

Jaka jest część rzeczywista liczby $13, 2 i + 1$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

Zadanie 2

Jaka jest część urojona liczby $21 - 14 i$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

Zadanie 3

Ile wynosi część rzeczywista $17 i$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

Klasyfikacja liczb zespolonych

Zauważyłeś(aś) pewnie, że liczby

9 i

- 2

były podane jako przykłady liczb zespolonych, mimo że wcześniej nazywaliśmy je, odpowiednio, urojoną i rzeczywistą.

Przyjrzyjmy się dokładniej, jakie zależności występują między poznanymi przez nas zbiorami liczb.

9 i

jest liczbą urojoną. Możemy jednak zawsze przedstawić ją jako

0 + 9 i

. Liczba

9 i

jest więc jednocześnie liczbą urojoną i liczbą zespoloną! Rzeczywiście, każda liczba urojona jest również liczbą zespoloną.

Podobnie,

- 2

jest liczbą rzeczywistą. Jednakże możemy ją zapisać jako

- 2 + 0 i

- 2

jest więc jednocześnie liczbą rzeczywistą i liczbą zespoloną! Rzeczywiście, każda liczba rzeczywista jest również liczbą zesploną.

W ogólności, każda niezerowa liczba zespolona

a + b i

będzie również...

...liczbą urojoną, jeżeli $a = 0$ ‍.
...liczbą rzeczywistą, jeżeli $b = 0$ ‍.

Diagram pokazuje zależności między liczbami rzeczywistymi, urojonymi i zespolonymi. Podane są przykłady każdego z typu tych liczb.

Pytanie do zastanowienia

Prawda czy fałsz?

Każda liczba zespolona jest albo rzeczywista, albo urojona.

[Potrzebuję pomocy!]

Przykłady

W poniższej tabeli sklasyfikowaliśmy kilka liczb jako rzeczywiste, urojone i/lub zespolone.

	$\begin{aligned} Rzeczywista \\ (b = 0) \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} Urojona \\ (a = 0) \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} Zespolona \\ (a + b i) \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} 7 + 8 i \\ (7 + 8 i) \end{aligned}$ ‍			X
$\begin{aligned} \sqrt{3} \\ (\sqrt{3} + 0 i) \end{aligned}$ ‍	X		X
$\begin{aligned} 1 \\ (1 + 0 i) \end{aligned}$ ‍	X		X
$\begin{aligned} - 1, 3 i \\ (0 + (- 1, 3) i) \end{aligned}$ ‍		X	X
$\begin{aligned} 100 i \\ (0 + 100 i) \end{aligned}$ ‍		X	X

Zauważ, że wszystkie liczby z tabeli są liczbami zespolonymi! Jest to ogólna prawda.

Teraz spróbuj sam!

Zadanie 4

Jakim typem liczby jest $- 2 + 3 i$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

Zadanie 5

Jakim typem liczby jest $10, 2$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

Zadanie 6

Jakim typem liczby jest $- 17 i$ ‍?

[Potrzebuję pomocy!]

Dlaczego liczby zespolone są takie ważne?

Po co uczyć się o liczbach zespolonych? Wierz lub nie, liczby zespolone mają bardzo wiele zastosowań - elektronika i mechanika kwantowa to tyko niektóre z nich!

Z czysto matematycznego punktu widzenia, dobrą własnością liczb zespolonych jest to, że pozwalają nam na rozwiązanie dowolnego równania wielomianowego.

Na przykład, równanie

x^{2} - 2 x + 5 = 0

nie ma rozwiązań rzeczywistych, ani też urojonych. Jednakże, ma ono dwa rozwiązania zespolone. Są to

1 + 2 i

oraz

1 - 2 i

Podczas dalszej nauki matematyki dowiemy się więcej o tych liczbach oraz gdzie i jak można ich używać.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.