Główna zawartość
Algebra 2
Kurs: Algebra 2 > Rozdział 2
Lekcja 2: Wprowadzenie do liczb zespolonychWprowadzenie do liczb zespolonych
Dowiedz się czym są liczby zespolone oraz ich części rzeczywiste i urojone.
W ciele liczb rzeczywistych nie istnieje rozwiązanie równania . W tej lekcji będziemy poznawać nowe ciało liczb, w którym równanie to ma rozwiązanie.
Rdzeniem tego nowego ciała liczb jest liczba .
Branie wielokrotności tej jednostki urojonej wynika w utworzeniu nieskończonej ilości nowych liczb. Dla przykładu, , , oraz są liczbami urojonymi, czyli liczbami postaci , gdzie jest pewną niezerową liczbą rzeczywistą.
Dodanie liczb rzeczywistych do tych liczb urojonych tworzy jeszcze inne nowe liczby, takie jak czy . Nie są to czysto urojone liczby, nie są to też liczby rzeczywiste. Nazywamy je liczbami zespolonymi.
Definicja liczb zespolonych
Liczbą zespoloną nazywamy każdą liczbę, którą można zapisać jako sumę , gdzie jest jednostką urojoną a i są liczbami rzeczywistymi.
Częścią liczby zespolonej, czyli , jest liczba rzeczywista dodana do liczby urojonej.
Częścią liczby zespolonej, czyli , jest rzeczywisty współczynnik stojący w liczbie urojonej.
Poniższa tabela podaje przykłady liczb zespolonych, wraz z ich częściami rzeczywistymi i urojonymi. Niektórym łatwiej jest zidentyfikować części rzeczywistą i urojoną, gdy liczba zespolona zapisana jest w postaci standardowej.
Liczba zespolona | Postać standardowa | Description of parts |
---|---|---|
Częścią rzeczywistą jest | ||
Częścią rzeczywistą jest | ||
Częścią rzeczywistą jest | ||
Częścią rzeczywistą jest |
Sprawdź, czy rozumiesz
Zadanie 1
Zadanie 2
Zadanie 3
Klasyfikacja liczb zespolonych
Zauważyłeś(aś) pewnie, że liczby i były podane jako przykłady liczb zespolonych, mimo że wcześniej nazywaliśmy je, odpowiednio, urojoną i rzeczywistą.
Przyjrzyjmy się dokładniej, jakie zależności występują między poznanymi przez nas zbiorami liczb.
Podobnie, jest liczbą rzeczywistą. Jednakże możemy ją zapisać jako . jest więc jednocześnie liczbą rzeczywistą i liczbą zespoloną! Rzeczywiście, każda liczba rzeczywista jest również liczbą zesploną.
W ogólności, każda niezerowa liczba zespolona będzie również...
- ...liczbą urojoną, jeżeli
. - ...liczbą rzeczywistą, jeżeli
.
Diagram pokazuje zależności między liczbami rzeczywistymi, urojonymi i zespolonymi. Podane są przykłady każdego z typu tych liczb.
Pytanie do zastanowienia
Przykłady
W poniższej tabeli sklasyfikowaliśmy kilka liczb jako rzeczywiste, urojone i/lub zespolone.
X | ||||
X | X | |||
X | X | |||
X | X | |||
X | X |
Zauważ, że wszystkie liczby z tabeli są liczbami zespolonymi! Jest to ogólna prawda.
Teraz spróbuj sam!
Zadanie 4
Zadanie 5
Zadanie 6
Dlaczego liczby zespolone są takie ważne?
Po co uczyć się o liczbach zespolonych? Wierz lub nie, liczby zespolone mają bardzo wiele zastosowań - elektronika i mechanika kwantowa to tyko niektóre z nich!
Z czysto matematycznego punktu widzenia, dobrą własnością liczb zespolonych jest to, że pozwalają nam na rozwiązanie dowolnego równania wielomianowego.
Na przykład, równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, ani też urojonych. Jednakże, ma ono dwa rozwiązania zespolone. Są to oraz .
Podczas dalszej nauki matematyki dowiemy się więcej o tych liczbach oraz gdzie i jak można ich używać.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji