Płaszczyzna zespolona

Jednostka urojona, oznaczana literą $i$i, jest liczbą o następujących właściwościach:

Liczbą zespoloną nazywamy każdą liczbę, którą można zapisać jako sumę $\greenD{a}+\blueD{b}i$start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, gdzie $i$i jest jednostką urojoną a $\greenD{a}$start color #1fab54, a, end color #1fab54 i $\blueD{b}$start color #11accd, b, end color #11accd są liczbami rzeczywistymi.

$\greenD a$start color #1fab54, a, end color #1fab54 nazywamy częścią $\greenD{\text{rzeczywistą}}$start color #1fab54, start text, r, z, e, c, z, y, w, i, s, t, ą, end text, end color #1fab54, a $\blueD b$start color #11accd, b, end color #11accd częścią $\blueD{\text{urojoną}}$start color #11accd, start text, u, r, o, j, o, n, ą, end text, end color #11accd liczby zespolonej.

Tak jak możemy użyć osi liczbowej aby wizualizować zbiór liczb rzeczywistych, możemy użyć płaszczyzny zespolonej aby wizualizować liczby zespolone.

Płaszczyzna zespolona składa się z dwóch osi liczbowych, które przecinają się pod kątem prostym w punkcie $(0,0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis.

Linią poziomą (którą w kartezjańskim układzie współrzędnych nazywamy osią $X$X) jest oś rzeczywista.

Linią pionową (którą w kartezjańskim układzie współrzędnych nazywamy osią $Y$Y) jest oś urojona.

Każda liczba zespolona może zostać przedstawiona jako punkt na płaszczyźnie zespolonej.

Rozważmy dla przykładu liczbę $3-5i$3, minus, 5, i. Liczba ta, którą można przedstawić również jako $\greenD{3}+(\blueD{-5})i$start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i, ma część rzeczywistą równą $\greenD{3}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54 i część urojoną równą $\blueD{-5}$start color #11accd, minus, 5, end color #11accd.

Umiejscowieniem tej liczby na płaszczyźnie zespolonej jest punkt, który odpowiada wartości $\greenD{3}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54 na osi rzeczywistej i wartości $\blueD{-5}$start color #11accd, minus, 5, end color #11accd na osi urojonej.

Liczbie $\greenD{3}+(\blueD{-5})i$start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i odpowiada więc punkt $(\greenD{3}, \blueD{-5})$left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, comma, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis. W ogólności, liczba $\greenD a+\blueD bi$start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i odpowiada punktowi $(\greenD a,\blueD b)$left parenthesis, start color #1fab54, a, end color #1fab54, comma, start color #11accd, b, end color #11accd, right parenthesis na płaszczyźnie zespolonej.

W czasach Pitagorasa istnienie liczb niewymiernych było wielkim odkryciem! Zastanawiano się, jak coś takiego, jak $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root może istnieć nie mając skończonego rozwinięcia dziesiętnego.

Oś liczb rzeczywistych pozwala rozwiązać ten dylemat. Dlaczego? Ponieważ $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root ma określone położenie na tej osi dowodząc, że istotnie jest to liczba rzeczywista. (Jeżeli rozważysz przekątną kwadratu jednostkowego i umieścisz jeden z końców w $0$0, to drugi koniec odpowiadał będzie liczbie $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root.)

Podobnie, każda liczba zespolona rzeczywiście istnieje, ponieważ odpowiada ona jednoznacznie pewnemu punktowi na płaszczyźnie zespolonej! Być może, po tym, jak już możemy wizualizować te liczby, możemy zrozumieć, że nazywanie ich "urojonymi" było niefortunnym błędem.

Liczby zespolone istnieją i stanowią istotną część matematyki. Oś liczb rzeczywistych jest po prostu osią rzeczywistą na płaszczyźnie zespolonej, ale przecież tak wiele znajduje się poza tą jedną linią!