Wprowadzenie do równań pierwiastkowych i obcych rozwiązań

W tym odcinku będziemy rozwiązywać równania pierwiastkowe, zawierające pierwiastki drugiego lub nawet wyższego stopnia. Spróbujemy też zrozumieć ciekawe zjawisko związane z tymi równaniami. Pokażę, o co chodzi. Mam równanie: pierwiastek kwadratowy z „x” równa się 2 razy „x” minus 6. Zobaczycie, że rozwiązując równania pierwiastkowe, będziemy chcieli wyodrębnić choć 1 pierwiastek – tu jest tylko 1. Mając go już po jednej stronie równania… Tutaj już mamy sam √x po lewej stronie. …możemy podnieść obie strony do kwadratu. Zróbmy to więc teraz. Przepiszę wszystko. Po podniesieniu do kwadratu uzyskamy (2x – 6)² Wydaje się, że tak można. Skoro to jest równe temu, to kwadrat tego powinien być równy kwadratowi tego. Kontynuujmy. Gdy podnosicie √x do kwadratu, uzyskacie po prostu „x”. Mamy więc: „x” równa się… To do kwadratu jest równe (2x)² czyli 4x², bo podnoszę całość do kwadratu. A więc 4x². Teraz mnożymy te czynniki: -12x i mnożymy je przez 2, wychodzi -24x. A -6 do kwadratu to plus 36. Jeśli przejście od tego do tego było dla was trudne, powtórzcie sobie mnożenie wielomianów, dwumianów, a zwłaszcza podnoszenie do kwadratu. Tak czy owak, to do kwadratu równa się to. W środku mamy minus 2 razy iloczyn tych czynników. Iloczyn to minus 12x, razy 2 to minus 24x, a te do kwadratu. Do takiej postaci uprościło się nasze równanie. Zobaczmy, co będzie, gdy od obu stron odejmiemy „x”. Odejmuję „x” od obu stron. Po lewej mamy zero, a po prawej pojawia się 4x² minus 25x plus 36. Równanie pierwiastkowe stało się typowym równaniem kwadratowym. Dla ułatwienia, by nie dzielić na czynniki pierwsze itp., skorzystajmy ze wzoru. Wzór na pierwiastki równania kwadratowego mówi, że „x” może być równe minus „b”, czyli minus (-25), a więc plus 25, plus lub minus pierwiastek kwadratowy z 25 do kwadratu, a to jest 625, minus 4 razy „a”, czyli 4, razy „c”, czyli 36, i to wszystko dzielimy przez 2 razy 4. Czyli przez 8. Wyciągnijmy kalkulator i obliczmy, ile to będzie. Wyciągamy kalkulator. Zatem mamy 625 i od tego odejmujemy… Zobaczmy. To będzie… 16 razy 46. Odejmuję 16 razy 46 i mam 49… Świetnie, kwadrat! Znamy pierwiastek z 49: to 7. Wrócę do zadania. To wszystko tutaj uprościło się do 49. „x” równa się więc 25 plus lub minus √49, czyli 7, i to podzielone przez 8. Mamy dwa rozwiązania. Jeśli dodamy 7, to uzyskamy x = 25 + 7 = 32, a 32 podzielić przez 8 daje nam 4. A drugie rozwiązanie… napiszę innym kolorem. „x” równa się 25 minus 7, czyli 18, podzielić przez 8. 8 mieści się w 18 dwa razy, reszta 2, więc jest to równe 2²/₈, inaczej 2¼, jeszcze inaczej 2,25. Po prostu. A teraz pokażę wam ciekawe zjawisko. Włączcie pauzę, gdy je pokażę, a potem wyjaśnię, czemu występuje. Sprawdźmy, czy nasze rozwiązania pasują. Najpierw x = 4. Jeśli x = 4, to √4 powinien być równy 2 razy 4 minus 6. Pierwiastek arytmetyczny z 4 to plus 2. 2 powinno być równe 2 · 4 czyli 8, minus 6. Zgadza się! Zatem 4 pasuje. Zróbmy to samo z 2,25. Powinniśmy teraz wyciągnąć pierwiastek arytmetyczny z 2… Przedłużę znak pierwiastka. Pierwiastek arytmetyczny z 2,25 powinien być równy 2 · 2,25 minus 6. Może umiecie obliczyć to w pamięci. Może wiecie, że pierwiastek z 225 to 15, więc będziecie wiedzieli, że pierwiastek z 2,25 równa się 1,5, ale sprawdźmy to na kalkulatorze. 2,25, pierwiastek… 1,5. Pierwiastek arytmetyczny to 1,5. Drugi pierwiastek to -1,5. Wpiszmy: 1,5. I to powinno być równe 2 razy 2,25, czyli 4,5 minus 6. Czy tak jest? Z tego wynika, że 1,5 jest równe minus 1,5. To nieprawda! 2,25 nie spełnia tego równania pierwiastkowego. Jest tzw. obcym pierwiastkiem równania. Więc 2,25 jest… pierwiastkiem obcym. I tu mamy dylemat! Dlaczego uzyskaliśmy 2,25? Wszystko robiliśmy, jak trzeba. Korzystając ze wzoru wyliczyliśmy 2,25… No właśnie. a gdy podstawiliśmy 2,25, wyszło, że 1,5 = -1,5. Zrobiliśmy gdzieś coś, co dało nam niepasujące rozwiązanie. Kolejna podpowiedź. Spójrzmy tutaj. Okaże się, że tu oba rozwiązania są prawidłowe. Sprawdźcie to później sami. Podstawcie 2,25 i wszystko będzie się zgadzać. Podstawcie też 4. Jedno i drugie pasuje. To pierwiastki równania. Pierwiastki równania. Podniesienie obu stron do kwadratu sprawiło, że równanie trochę się zmieniło. To równanie nieco się różni od tego. Co się dzieje? Można o tym myśleć na dwa sposoby. Żeby się cofnąć od tego równania do tego, wyciągamy pierwiastek. Dokładniej, pierwiastek arytmetyczny z obu stron. A można by przecież wziąć pierwiastek ujemny. Tutaj wyciągamy pierwiastek arytmetyczny, aby wrócić od tego. Niech to będzie jasne. Dla tego równania… Ustaliliśmy już, że oba rozwiązania, pierwiastek i pierwiastek obcy, spełniają to równanie. Ale tylko jeden spełnia pierwsze równanie. Zapiszę równanie spełniane przez oba. Bardzo ciekawy problem! Pozwala lepiej zobaczyć, co się dzieje, gdy wyciągamy pierwiastek arytmetyczny. I dlaczego, podnosząc obie strony do kwadratu, tracimy lub zyskujemy pewne informacje. To można zapisać jako… Można zapisać, że „x” równa się (2x – 6) do kwadratu. To jedna uzasadniona interpretacja tego równania. Ale istnieje druga, zupełnie inna, także uzasadniona. To może być również… może być: „x” równa się minus 1 razy (2x – 6). I to do kwadratu. Czemu obie wersje są pełnoprawne? Gdy podniesiemy (-1) do kwadratu, minus zniknie. Stwierdzenia są równoważne. To można zapisać inaczej. Można zapisać, że „x” równa się… mnożymy to przez -1. Mamy -(2x + 6), albo (6 – 2x) podniesione do kwadratu. To są dwa sposoby przedstawienia… dwa sposoby zapisania tego. Kiedy wyciągaliśmy pierwiastek… można o tym myśleć dwojako. Podnosząc do kwadratu, założyliśmy, że to jedyna interpretacja, lecz była też druga. Znaleźliśmy dwa rozwiązania, ale tylko liczba 4 spełnia tę wersję. Mam nadzieję, że rozumiecie. Myślimy tylko o pierwiastku dodatnim. Nie uwzględniamy ujemnego, bo wyciągamy z obu stron równania pierwiastek arytmetyczny. Można też na to spojrzeć… przepiszę równanie. Napiszę to tutaj. Z początku mieliśmy: √x = 2x – 6. Powiedzieliśmy, że rozwiązaniem jest 4, ale 2,25 już nie. Byłoby, gdybyśmy powiedzieli: oba pierwiastki kwadratowe z „x” są równe 2x minus 6. Podstawcie. Okaże się, że 2,25 jest prawidłowym rozwiązaniem. Gdy weźmiemy ujemny pierwiastek z 2,25, to będzie równe 2 razy 2,25, więc to będzie równe 4,5 minus 6, czyli -1,5. To jest prawda! W wersji dodatniej, „x” jest równy 4. Stąd dwa rozwiązania, a gdy podniesiemy to do kwadratu… Może tak będzie łatwiej. Podnosząc to do kwadratu… Podnosząc do kwadratu, uzyskujecie to równanie, które spełniają oba rozwiązania. Może wydało się to wam niejasne. Nie chcę mącić wam w głowach. Rozwiązując równania pierwiastkowe, pamiętajcie: pierwiastek na jedną stronę, kwadrat, rozwiązujemy, może być więcej niż jeden wynik, podstawiamy. Te, które nie pasują, to pierwiastki obce. Starałem się wyjaśnić, dlaczego się pojawiają. Może już czujecie, że w tym równaniu, z pierwiastkiem kwadratowym z „x”, pierwiastek obcy byłby dobry, gdyby dopuścić ± √x, nie tylko pierwiastek arytmetyczny.