Główna zawartość
Algebra 2
Kurs: Algebra 2 > Rozdział 8
Lekcja 4: Wzór na zmianę podstawy logarytmu- Obliczanie logarytmów: zamiana podstawy logarytmu
- Wprowadzenie do wzoru na zamianę podstawy logarytmu
- Obliczanie logarytmów: zmiana podstawy logarytmu
- Zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu
- Użyj reguły zmiany podstawy logarytmu
- Dowód wzoru na zmianę podstawy logarytmu
- Własności logarytmów - przegląd
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Wprowadzenie do wzoru na zamianę podstawy logarytmu
Jak przekształcić dany logarytm w logarytm o innej podstawie? Bardzo pożyteczne przy obliczaniu logarytmów na kalkulatorze!
Załóżmy, że chcemy znaleźć wartość wyrażenia . Ponieważ nie jest wymierną potęgą liczby , trudno będzie obliczyć wartość wyrażenia bez kalkulatora.
Jednak większość kalkulatorów bezpośrednio oblicza jedynie logarytmy dziesiętne (o podstawie ) i naturalne (o podstawie ). Dlatego, żeby znaleźć wartość wyrażenia , musimy najpierw zamienić podstawę logarytmu.
Wzór na zmianę podstawy logarytmu
Stosując następującą metodę możemy zamienić podstawę dowolnego logarytmu:
Uwagi:
- Nowa podstawa,
, może mieć dowolną wartość. - Jak zawsze, aby ten wzór był prawdziwy, argumenty logarytmów muszą być dodatnie a ich podstawy dodatnie i różne od
!
Przykład:
Jeśli chcesz obliczyć wartość logarytmu, zamień jego podstawę na podstawę lub podstawę , z którymi poradzi sobie większość kalkulatorów.
Zamieńmy więc podstawę na .
Aby to zrobić, stosujemy powyższy wzór na zamianę podstawy, gdzie , , .
Możemy teraz obliczyć wartość logarytmu za pomocą kalkulatora.
Sprawdź, czy rozumiesz
Dowód wzoru na zmianę podstawy logarytmu
W tym momencie możesz myśleć: "Świetnie, ale dlaczego ten wzór działa?"
Żeby to zbadać, wróćmy do naszego pierwszego wyrażenia, . Jeśli przyjmiemy, że , to .
Ponieważ obie wartości są sobie równe, możemy obliczyć logarytm o dowolnej podstawie obu stron tego równania. Mamy więc:
Skoro , po podstawieniu otrzymujemy tożsamość , którą chcieliśmy wyprowadzić!
W ten sam sposób możemy udowodnić wzór na zamianę podstawy logarytmu. Wystarczy zamienić na i na aby uzyskać dowód!
Sprawdź się!
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji