Główna zawartość
Algebra 2
Kurs: Algebra 2 > Rozdział 8
Lekcja 4: Wzór na zmianę podstawy logarytmu- Obliczanie logarytmów: zamiana podstawy logarytmu
- Wprowadzenie do wzoru na zamianę podstawy logarytmu
- Obliczanie logarytmów: zmiana podstawy logarytmu
- Zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu
- Użyj reguły zmiany podstawy logarytmu
- Dowód wzoru na zmianę podstawy logarytmu
- Własności logarytmów - przegląd
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Wprowadzenie do wzoru na zamianę podstawy logarytmu
Jak przekształcić dany logarytm w logarytm o innej podstawie? Bardzo pożyteczne przy obliczaniu logarytmów na kalkulatorze!
Załóżmy, że chcemy znaleźć wartość wyrażenia log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. Ponieważ 50 nie jest wymierną potęgą liczby 2, trudno będzie obliczyć wartość wyrażenia bez kalkulatora.
Jednak większość kalkulatorów bezpośrednio oblicza jedynie logarytmy dziesiętne (o podstawie 10) i naturalne (o podstawie e). Dlatego, żeby znaleźć wartość wyrażenia log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, musimy najpierw zamienić podstawę logarytmu.
Wzór na zmianę podstawy logarytmu
Stosując następującą metodę możemy zamienić podstawę dowolnego logarytmu:
Uwagi:
- Nowa podstawa, start color #0d923f, x, end color #0d923f, może mieć dowolną wartość.
- Jak zawsze, aby ten wzór był prawdziwy, argumenty logarytmów muszą być dodatnie a ich podstawy dodatnie i różne od 1!
Przykład: log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis
Jeśli chcesz obliczyć wartość logarytmu, zamień jego podstawę na podstawę 10 lub podstawę e, z którymi poradzi sobie większość kalkulatorów.
Zamieńmy więc podstawę log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis na start color #1fab54, 10, end color #1fab54.
Aby to zrobić, stosujemy powyższy wzór na zamianę podstawy, gdzie b, equals, 2, a, equals, 50, x, equals, 10.
Możemy teraz obliczyć wartość logarytmu za pomocą kalkulatora.
Sprawdź, czy rozumiesz
Dowód wzoru na zmianę podstawy logarytmu
W tym momencie możesz myśleć: "Świetnie, ale dlaczego ten wzór działa?"
Żeby to zbadać, wróćmy do naszego pierwszego wyrażenia, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. Jeśli przyjmiemy, że log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, n, to 2, start superscript, n, end superscript, equals, 50.
Ponieważ obie wartości są sobie równe, możemy obliczyć logarytm o dowolnej podstawie obu stron tego równania. Mamy więc:
Skoro n, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, po podstawieniu otrzymujemy tożsamość log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction, którą chcieliśmy wyprowadzić!
W ten sam sposób możemy udowodnić wzór na zamianę podstawy logarytmu. Wystarczy zamienić 2 na b i 50 na a aby uzyskać dowód!
Sprawdź się!
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji