If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Rozdział 8

Lekcja 4: Wzór na zmianę podstawy logarytmu
Matematyka
Algebra 2
Logarytmy
Wzór na zmianę podstawy logarytmu
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Wprowadzenie do wzoru na zamianę podstawy logarytmu

Google Classroom
Jak przekształcić dany logarytm w logarytm o innej podstawie? Bardzo pożyteczne przy obliczaniu logarytmów na kalkulatorze!
Załóżmy, że chcemy znaleźć wartość wyrażenia log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. Ponieważ 50 nie jest wymierną potęgą liczby 2, trudno będzie obliczyć wartość wyrażenia bez kalkulatora.
Jednak większość kalkulatorów bezpośrednio oblicza jedynie logarytmy dziesiętne (o podstawie 10) i naturalne (o podstawie e). Dlatego, żeby znaleźć wartość wyrażenia log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, musimy najpierw zamienić podstawę logarytmu.

Wzór na zmianę podstawy logarytmu

Stosując następującą metodę możemy zamienić podstawę dowolnego logarytmu:
Uwagi:
  • Nowa podstawa, start color #0d923f, x, end color #0d923f, może mieć dowolną wartość.
  • Jak zawsze, aby ten wzór był prawdziwy, argumenty logarytmów muszą być dodatnie a ich podstawy dodatnie i różne od 1!

Przykład: log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis

Jeśli chcesz obliczyć wartość logarytmu, zamień jego podstawę na podstawę 10 lub podstawę e, z którymi poradzi sobie większość kalkulatorów.
Zamieńmy więc podstawę log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis na start color #1fab54, 10, end color #1fab54.
Aby to zrobić, stosujemy powyższy wzór na zamianę podstawy, gdzie b, equals, 2, a, equals, 50, x, equals, 10.
log⁡2(50)=log⁡10(50)log⁡10(2)Wzoˊr na zamianę podstawy=log⁡(50)log⁡(2)Poniewaz˙log⁡10(x)=log⁡(x)\begin{aligned}\log_\blueD{2}(\purpleC{50})&=\dfrac{\log_{\greenD{10}}(\purpleC{50})}{\log_{\greenD{10}}(\blueD2)} &&\small{\gray{\text{Wzór na zamianę podstawy}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{\log(50)}{\log(2)} &&\small{\gray{\text{Ponieważ} \log_{10}(x)=\log(x)}} \end{aligned}
Możemy teraz obliczyć wartość logarytmu za pomocą kalkulatora.
log⁡2(50)≈5,644\begin{aligned}\phantom{\log_2(50)}\approx 5{,}644 \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Oblicz log, start base, 3, end base, left parenthesis, 20, right parenthesis.
Odpowiedź zaokrąglij do trzech miejsc po przecinku.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Oblicz log, start base, 7, end base, left parenthesis, 400, right parenthesis.
Odpowiedź zaokrąglij do trzech miejsc po przecinku.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Oblicz log, start base, 4, end base, left parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesis.
Odpowiedź zaokrąglij do trzech miejsc po przecinku.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Dowód wzoru na zmianę podstawy logarytmu

W tym momencie możesz myśleć: "Świetnie, ale dlaczego ten wzór działa?"
log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, b, right parenthesis, end fraction, left arrow, start color #e07d10, start text, W, z, o, with, \', on top, r, space, n, a, space, z, a, m, i, a, n, ę, space, p, o, d, s, t, a, w, y, end text, end color #e07d10
Żeby to zbadać, wróćmy do naszego pierwszego wyrażenia, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. Jeśli przyjmiemy, że log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, n, to 2, start superscript, n, end superscript, equals, 50.
Ponieważ obie wartości są sobie równe, możemy obliczyć logarytm o dowolnej podstawie obu stron tego równania. Mamy więc:
2n=50log⁡x(2n)=log⁡x(50)Jesˊli Y=Z, to log⁡x(Y)=log⁡x(Z)nlog⁡x(2)=log⁡x(50)Wzoˊr logarytm potęgin=log⁡x(50)log⁡x(2)Dzielimy obie strony przez log⁡x(2)\begin{aligned} 2^n &= 50 \\\\ \log_x(2^n) &= \log_x(50)&&\small{\gray{\text{Jeśli $Y=Z$, to $\log_x(Y)=\log_x(Z)$}}} \\\\ n\log_x(2)&=\log_x(50)&&\small{\gray{\text{Wzór logarytm potęgi}}}\\\\ n &= \dfrac{\log_x(50)}{\log_x(2)} &&\small{\gray{\text{Dzielimy obie strony przez $\log_x(2)$}}}\end{aligned}
Skoro n, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, po podstawieniu otrzymujemy tożsamość log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction, którą chcieliśmy wyprowadzić!
W ten sam sposób możemy udowodnić wzór na zamianę podstawy logarytmu. Wystarczy zamienić 2 na b i 50 na a aby uzyskać dowód!

Sprawdź się!

1) Oblicz start fraction, log, left parenthesis, 81, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 3, right parenthesis, end fraction bez użycia kalkulatora.
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Które wyrażenie jest równoważne z log, left parenthesis, 6, right parenthesis, dot, log, start base, 6, end base, left parenthesis, a, right parenthesis.?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.