Główna zawartość
Algebra 2
Kurs: Algebra 2 > Rozdział 8
Lekcja 1: Wprowadzenie do logarytmów- Wprowadzenie do logarytmów
- Wstęp do logarytmów
- Obliczanie logarytmów
- Obliczanie logarytmów (zaawansowane)
- Oblicz wartość logarytmów (zaawansowane)
- Związek między potęgami a logarytmami
- Związek między potęgami a logarytmami: wykresy
- Związek między potęgami a logarytmami: tablice wartości
- Związek między potęgami a logarytmami
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Wstęp do logarytmów
Dowiedz się, co to są funkcje logarytmiczne i jak się je oblicza.
Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji
Funkcja wykładnicza nie powinna mieć dla Ciebie tajemnic, także w zakresie ujemnych wykładników.
Czego nauczysz się w tej lekcji
Dowiesz się, co to są logarytmy i obliczysz kilka prostych przykładów. W ten sposób przygotujesz się do wyrażeń logarytmicznych i do funkcji , zawierających logarytmy.
Co to jest logarytm?
Logarytmy to inny sposób myślenia o wykładnikach.
Na przykład wiemy, że start color #11accd, 2, end color #11accd podniesione do potęgi start color #0d923f, 4, end color #0d923f, start superscript, start text, end text, end superscript równa się start color #e07d10, 16, end color #e07d10. Można to przedstawić za pomocą równania wykładniczego start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10.
Teraz przypuśćmy, że ktoś spytałby się nas, "start color #11accd, 2, end color #11accd podniesione do której potęgi da nam start color #e07d10, 16, end color #e07d10?" Odpowiedź brzmiałaby start color #0d923f, 4, end color #0d923f. Można to wyrazić za pomocą równania logarytmicznego log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, które czytamy jako "logarytm o podstawie dwa z szesnastu równa się cztery".
Oba równania wyrażają tę samą zależność pomiędzy liczbami start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, oraz start color #e07d10, 16, end color #e07d10, gdzie start color #11accd, 2, end color #11accd to podstawa, a start color #0d923f, 4, end color #0d923f to wykładnik.
Różnica między potęgą a logarytmem polega na tym, że wynikiem działania potęgi jest wynik potęgowania podstawy, czyli w tym przypadku start color #e07d10, 16, end color #e07d10, a wynikiem działania logarytmu jest wykładnik potęgi, start color #1fab54, 4, end color #1fab54.
Oto więcej przykładów równoważnych równań logarytmicznych i wykładniczych.
| Postać logarytmiczna | Postać wykładnicza | |
|---|---|---|
| log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10 |
| log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10 |
| log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10 |
Definicja logarytmu
Uogólnienie przykładów podanych powyżej prowadzi nas do sformułowania formalnej definicji logarytmu.
Oba równania przedstawiają tę samą zależność pomiędzy liczbami start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #11accd, b, end color #11accd i start color #0d923f, c, end color #0d923f:
- start color #11accd, b, end color #11accd jest start color #11accd, start text, p, o, d, s, t, a, w, ą, end text, end color #11accd,
- start color #0d923f, c, end color #0d923f jest start color #0d923f, start text, w, y, k, ł, a, d, n, i, k, i, e, m, end text, end color #0d923f, a
- start color #e07d10, a, end color #e07d10 nazywamy start color #e07d10, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, e, m, end text, end color #e07d10 logarytmu.
Pomocna uwaga
Zamieniając równanie z postaci logarytmicznej w postać wykładniczą lub z postaci wykładniczej w postać logarytmiczną, należy pamiętać, że podstawa logarytmu jest taka sama jak podstawa wykładnika.
Sprawdź, czy rozumiesz
Następujące zadania polegają na przejściu między postacią wykładniczą a postacią logarytmiczną równań.
Obliczanie logarytmów
Świetnie! Teraz jak już wiemy jaki związek logarytmów z potęgami, spróbujmy obliczyć wartości logarytmów.
Wyznaczmy na przykład wartość log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis.
Zacznijmy od przyrównania tego wyrażenia do x.
Zapisując to w postaci wykładniczej otrzymujemy:
Do jakiej potęgi należy podnieść 4, żeby otrzymać 64? Ponieważ start color #11accd, 4, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, więc log, start base, start color #11accd, 4, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
Jak to przećwiczysz, to może się okazać, że przeskakujesz parę kroków i obliczasz wartość log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis pytając po prostu, "4 podniesione do której potęgi da nam 64?"
Sprawdź, czy rozumiesz
Pamiętaj, że obliczając wartość log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, możesz się zapytać: "start color #11accd, b, end color #11accd podniesione do której potęgi daje start color #e07d10, a, end color #e07d10?"
Wyzwanie
Ograniczenia na podstawę i argument logarytmu
log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis jest zdefiniowany, tylko wtedy gdy podstawa b jest dodatnia—i nie równa 1—a argument a jest dodatni. Te ograniczenia wynikają ze związku między logarytmami a potęgami.
| Ograniczenie | Uzasadnienie |
|---|---|
| b, is greater than, 0 | W definicji funkcji wykładniczej podstawa b jest zawsze dodatnia. |
| a, is greater than, 0 | log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, c znaczy, że b, start superscript, c, end superscript, equals, a. Ponieważ liczba dodatnia podniesiona do dowolnej potęgi jest dodatnia znaczy to, że b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0, skąd wynika a, is greater than, 0. |
| b, does not equal, 1 | Na chwilę przypuśćmy, że b może wynosić 1. Teraz rozważmy równanie log, start base, 1, end base, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, x. Odpowiadająca mu postać wykładnicza będzie wyglądać tak 1, start superscript, x, end superscript, equals, 3. Ale to nigdy nie będzie prawdziwe, ponieważ 1 podniesione do dowolnej potęgi daje zawsze 1. Stąd wynika, że b, does not equal, 1. |
Szczególne rodzaje logarytmów
Podstawa logarytmu może mieć wiele różnych wartości, ale są dwie podstawy, które są używane częściej niż inne.
W szczególności większości kalkulatorów ma przyciski dla tych dwóch rodzajów logarytmów. Sprawdźmy to.
Logarytm dziesiętny
Logarytm dziesiętny to logarytm o podstawie równej 10.
Zapisując ten logarytm matematycznie, nie musimy pisać podstawy. Wtedy rozumiemy, że podstawa wynosi 10.
Logarytm naturalny
Logarytm naturalny to logarytm o podstawie równej liczbie e.
Zamiast zapisywać podstawę logarytmu jako e, oznaczamy ten logarytm jako natural log.
Poniższa tabela zawiera zestawienie podstawowych informacji o tych dwóch specjalnych typach logarytmów:
| Nazwa | Podstawa | Notacja | Notacja uproszczona |
|---|---|---|---|
| Logarytm dziesiętny | 10 | log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis | log, left parenthesis, x, right parenthesis |
| Logarytm naturalny | e | log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis | natural log, left parenthesis, x, right parenthesis |
Chociaż mamy inną notację, zasada obliczania tych logarytmów jest dokładnie taka sama!
Dlaczego warto nauczyć się logarytmów?
Jak wiesz, logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej, której działanie odwraca. Z tego powodu logarytmy są podstawowym narzędziem do rozwiązywania równań z funkcjami wykładniczymi. Jak wkrótce zobaczysz, logarytm pozwala zamienić iloczyn na dodawanie a iloraz na odejmowanie, które znacznie łatwiej wykonać. Z tego powodu logarytmy odegrały historycznie, gdy nie było jeszcze kalkulatorów i GPS, bardzo ważną rolę np. w nawigacji morskiej.
Na przykład, rozwiązanie równania 2, start superscript, x, end superscript, equals, 5 można przedstawić jako logarytm, x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis. W tym samouczku dowiesz się, jak obliczać takie logarytmiczne wyrażenia.
Logarytmy są także bardzo interesujące same w sobie i odgrywają ważną rolę w otaczającym nas świecie. Na przykład, wiele zjawisk fizycznych opisujemy w skali logarytmicznej.
Co dalej?
Dowiedz się jakie własności mają logarytmy i jak je wykorzystać do przekształcania wyrażeń logarytmicznych. Naucz się, jak zmieniać podstawę logarytmu, co pozwoli Ci obliczyć dowolny logarytm za pomocą Twojego kalkulatora.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji