If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Wstęp do logarytmów

Dowiedz się, co to są funkcje logarytmiczne i jak się je oblicza. 

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Funkcja wykładnicza nie powinna mieć dla Ciebie tajemnic, także w zakresie ujemnych wykładników.

Czego nauczysz się w tej lekcji

Dowiesz się, co to są logarytmy i obliczysz kilka prostych przykładów. W ten sposób przygotujesz się do wyrażeń logarytmicznych i do funkcji , zawierających logarytmy.

Co to jest logarytm?

Logarytmy to inny sposób myślenia o wykładnikach.
Na przykład wiemy, że start color #11accd, 2, end color #11accd podniesione do potęgi start color #0d923f, 4, end color #0d923f, start superscript, start text, end text, end superscript równa się start color #e07d10, 16, end color #e07d10. Można to przedstawić za pomocą równania wykładniczego start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10.
Teraz przypuśćmy, że ktoś spytałby się nas, "start color #11accd, 2, end color #11accd podniesione do której potęgi da nam start color #e07d10, 16, end color #e07d10?" Odpowiedź brzmiałaby start color #0d923f, 4, end color #0d923f. Można to wyrazić za pomocą równania logarytmicznego log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, które czytamy jako "logarytm o podstawie dwa z szesnastu równa się cztery".
start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, \Longleftrightarrow, log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f
Oba równania wyrażają tę samą zależność pomiędzy liczbami start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, oraz start color #e07d10, 16, end color #e07d10, gdzie start color #11accd, 2, end color #11accd to podstawa, a start color #0d923f, 4, end color #0d923f to wykładnik.
Różnica między potęgą a logarytmem polega na tym, że wynikiem działania potęgi jest wynik potęgowania podstawy, czyli w tym przypadku start color #e07d10, 16, end color #e07d10, a wynikiem działania logarytmu jest wykładnik potęgi, start color #1fab54, 4, end color #1fab54.
Oto więcej przykładów równoważnych równań logarytmicznych i wykładniczych.
Postać logarytmicznaPostać wykładnicza
log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10

Definicja logarytmu

Uogólnienie przykładów podanych powyżej prowadzi nas do sformułowania formalnej definicji logarytmu.
log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, c, end color #1fab54, \Longleftrightarrow, start color #11accd, b, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, c, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, a, end color #e07d10
Oba równania przedstawiają tę samą zależność pomiędzy liczbami start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #11accd, b, end color #11accd i start color #0d923f, c, end color #0d923f:
  • start color #11accd, b, end color #11accd jest start color #11accd, start text, p, o, d, s, t, a, w, ą, end text, end color #11accd,
  • start color #0d923f, c, end color #0d923f jest start color #0d923f, start text, w, y, k, ł, a, d, n, i, k, i, e, m, end text, end color #0d923f, a
  • start color #e07d10, a, end color #e07d10 nazywamy start color #e07d10, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, e, m, end text, end color #e07d10 logarytmu.

Pomocna uwaga

Zamieniając równanie z postaci logarytmicznej w postać wykładniczą lub z postaci wykładniczej w postać logarytmiczną, należy pamiętać, że podstawa logarytmu jest taka sama jak podstawa wykładnika.

Sprawdź, czy rozumiesz

Następujące zadania polegają na przejściu między postacią wykładniczą a postacią logarytmiczną równań.
1) Które z poniższych równań jest równoważne z 2, start superscript, 5, end superscript, equals, 32?
Wybierz 1 odpowiedź:

Które z poniższych jest równe 5, cubed, equals, 125?
Wybierz 1 odpowiedź:

3) Zapisz log, start base, 2, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, 6 w postaci wykładniczej.

4) Zapisz log, start base, 4, end base, left parenthesis, 16, right parenthesis, equals, 2 w postaci wykładniczej.

Obliczanie logarytmów

Świetnie! Teraz jak już wiemy jaki związek logarytmów z potęgami, spróbujmy obliczyć wartości logarytmów.
Wyznaczmy na przykład wartość log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis.
Zacznijmy od przyrównania tego wyrażenia do x.
log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, x
Zapisując to w postaci wykładniczej otrzymujemy:
4, start superscript, x, end superscript, equals, 64
Do jakiej potęgi należy podnieść 4, żeby otrzymać 64? Ponieważ start color #11accd, 4, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, więc log, start base, start color #11accd, 4, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
Jak to przećwiczysz, to może się okazać, że przeskakujesz parę kroków i obliczasz wartość log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis pytając po prostu, "4 podniesione do której potęgi da nam 64?"

Sprawdź, czy rozumiesz

Pamiętaj, że obliczając wartość log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, możesz się zapytać: "start color #11accd, b, end color #11accd podniesione do której potęgi daje start color #e07d10, a, end color #e07d10?"
5) log, start base, 6, end base, left parenthesis, 36, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) log, start base, 3, end base, left parenthesis, 27, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7) log, start base, 4, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

8) log, start base, 5, end base, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Wyzwanie

9*) log, start base, 3, end base, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 9, end fraction, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Ograniczenia na podstawę i argument logarytmu

log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis jest zdefiniowany, tylko wtedy gdy podstawa b jest dodatnia—i nie równa 1—a argument a jest dodatni. Te ograniczenia wynikają ze związku między logarytmami a potęgami.
OgraniczenieUzasadnienie
b, is greater than, 0W definicji funkcji wykładniczej podstawa b jest zawsze dodatnia.
a, is greater than, 0log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, c znaczy, że b, start superscript, c, end superscript, equals, a. Ponieważ liczba dodatnia podniesiona do dowolnej potęgi jest dodatnia znaczy to, że b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0, skąd wynika a, is greater than, 0.
b, does not equal, 1Na chwilę przypuśćmy, że b może wynosić 1. Teraz rozważmy równanie log, start base, 1, end base, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, x. Odpowiadająca mu postać wykładnicza będzie wyglądać tak 1, start superscript, x, end superscript, equals, 3. Ale to nigdy nie będzie prawdziwe, ponieważ 1 podniesione do dowolnej potęgi daje zawsze 1. Stąd wynika, że b, does not equal, 1.

Szczególne rodzaje logarytmów

Podstawa logarytmu może mieć wiele różnych wartości, ale są dwie podstawy, które są używane częściej niż inne.
W szczególności większości kalkulatorów ma przyciski dla tych dwóch rodzajów logarytmów. Sprawdźmy to.

Logarytm dziesiętny

Logarytm dziesiętny to logarytm o podstawie równej 10.
Zapisując ten logarytm matematycznie, nie musimy pisać podstawy. Wtedy rozumiemy, że podstawa wynosi 10.
log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, log, left parenthesis, x, right parenthesis

Logarytm naturalny

Logarytm naturalny to logarytm o podstawie równej liczbie e.
Zamiast zapisywać podstawę logarytmu jako e, oznaczamy ten logarytm jako natural log.
log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis
Poniższa tabela zawiera zestawienie podstawowych informacji o tych dwóch specjalnych typach logarytmów:
NazwaPodstawaNotacjaNotacja uproszczona
Logarytm dziesiętny10log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesislog, left parenthesis, x, right parenthesis
Logarytm naturalnyelog, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesisnatural log, left parenthesis, x, right parenthesis
Chociaż mamy inną notację, zasada obliczania tych logarytmów jest dokładnie taka sama!

Dlaczego warto nauczyć się logarytmów?

Jak wiesz, logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej, której działanie odwraca. Z tego powodu logarytmy są podstawowym narzędziem do rozwiązywania równań z funkcjami wykładniczymi. Jak wkrótce zobaczysz, logarytm pozwala zamienić iloczyn na dodawanie a iloraz na odejmowanie, które znacznie łatwiej wykonać. Z tego powodu logarytmy odegrały historycznie, gdy nie było jeszcze kalkulatorów i GPS, bardzo ważną rolę np. w nawigacji morskiej.
Na przykład, rozwiązanie równania 2, start superscript, x, end superscript, equals, 5 można przedstawić jako logarytm, x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis. W tym samouczku dowiesz się, jak obliczać takie logarytmiczne wyrażenia.
Logarytmy są także bardzo interesujące same w sobie i odgrywają ważną rolę w otaczającym nas świecie. Na przykład, wiele zjawisk fizycznych opisujemy w skali logarytmicznej.

Co dalej?

Dowiedz się jakie własności mają logarytmy i jak je wykorzystać do przekształcania wyrażeń logarytmicznych. Naucz się, jak zmieniać podstawę logarytmu, co pozwoli Ci obliczyć dowolny logarytm za pomocą Twojego kalkulatora.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.