If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Rozdział 8

Lekcja 3: Własności logarytmów
Matematyka
Algebra 2
Logarytmy
Własności logarytmów
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Wstęp do własności logarytmów

Google Classroom
Dowiedz się o własnościach logarytmów i jak z nich korzystać. Na przykład, rozwiń log₂(3a).
Logarytm iloczynulog, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Logarytm ilorazulog, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis
Logarytm potęgilog, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, dot, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis
(Te własności są prawdziwe dla dowolnych wartości M, N i b, dla których logarytm jest zdefiniowany, czyli M, N, is greater than, 0 i 0, is less than, b, does not equal, 1.)

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Powinieneś wiedzieć, co to są logarytmy. Jeśli nie wiesz, sprawdź proszę nasz artykuł wstęp do logarytmów.

Czego nauczysz się w tej lekcji

Logarytmy, tak jak wykładniki, mają wiele przydatnych własności, które można zastosować do upraszczania wyrażeń logarytmicznych i rozwiązywania równań logarytmicznych. W tym artykule zajmiemy się trzema z tych własności.
Przyjrzyjmy się każdej własności z osobna.

Logarytm iloczynu: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, N, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, plus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Ta własność mówi, że logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów jego czynników.
Możemy wykorzystać wzór na logarytm iloczynu, aby inaczej zapisać wyrażenia z logarytmami.

Przykład 1: Rozwijanie logarytmów

Mówiąc, że rozwijamy logarytm, mamy na myśli, że zapisujemy go jako sumę dwóch lub więcej logarytmów.
Rozwińmy log, start base, 6, end base, left parenthesis, 5, y, right parenthesis.
Zauważ, że czynnikami liczby logarytmowanej są start color #11accd, 5, end color #11accd i start color #1fab54, y, end color #1fab54. Możemy bezpośrednio zastosować wzór na logarytm iloczynu, żeby rozwinąć to wyrażenie.
log⁡6(5y)=log⁡6(5⋅y)=log⁡6(5)+log⁡6(y)Wzoˊr na logarytm iloczynu\begin{aligned} \log_6(\blueD5\greenD y)&=\log_6(\blueD5\cdot \greenD y) \\\\ &=\log_6(\blueD5)+\log_6(\greenD y)&&{\gray{\text{Wzór na logarytm iloczynu}}} \end{aligned}

Przykład 2: Skracanie logarytmów

Mówiąc o skracaniu sumy dwóch lub więcej logarytmów, mamy na myśli, że zapisujemy to w postaci jednego logarytmu.
Skróćmy log, start base, 3, end base, left parenthesis, 10, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, x, right parenthesis.
Ponieważ oba logarytmy mają tę samą podstawę (podstawa wynosi 3), możemy zastosować wzór na logarytm iloczynu w przeciwną stronę:
log⁡3(10)+log⁡3(x)=log⁡3(10⋅x)Wzoˊr na logarytm iloczynu=log⁡3(10x)\begin{aligned} \log_3(\blueD{10})+\log_3(\greenD x)&=\log_3(\blueD{10}\cdot \greenD x)&&{\gray{\text{Wzór na logarytm iloczynu}}} \\\\ &=\log_3({10} x) \end{aligned}

Ważna uwaga

Jeśli skracamy wyrażenia z logarytmami za pomocą wzoru na logarytm iloczynu, wszystkie logarytmy muszą mieć tę samą podstawę.
Na przykład, nie możemy użyć wzoru na logarytm iloczynu, aby uprościć coś takiego jak log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, plus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Rozwiń log, start base, 2, end base, left parenthesis, 3, a, right parenthesis .

2) Skróć log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, y, right parenthesis, plus, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis.

Logarytm ilorazu: log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, M, divided by, N, end fraction, right parenthesis, equals, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis, minus, log, start base, b, end base, left parenthesis, N, right parenthesis

Ta własność mówi, że logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów dzielnej i dzielnika.
Teraz skorzystajmy ze wzoru na logarytm ilorazu, aby przepisać te wyrażenia logarytmiczne.

Przykład 1: Rozwijanie logarytmów

Rozwińmy log, start base, 7, end base, left parenthesis, start fraction, a, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, zapisując to jako różnicę dwóch logarytmów poprzez bezpośrednie zastosowanie wzoru na logarytm iloczynu.
log⁡7(a2)=log⁡7(a)−log⁡7(2)Wzoˊr na logarytm ilorazu\begin{aligned} \log_7\left(\dfrac{\purpleC a}{\goldD 2}\right)&=\log_7(\purpleC a)-\log_7(\goldD 2) &{\gray{\text{Wzór na logarytm ilorazu}}} \end{aligned}

Przykład 2: Skracanie logarytmów

Zwińmy log, start base, 4, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis, minus, log, start base, 4, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.
Ponieważ oba logarytmy mają tę samą podstawę (podstawa wynosi 4), możemy zastosować wzór na logarytm ilorazu w przeciwną stronę:
log⁡4(x3)−log⁡4(y)=log⁡4(x3y)Wzoˊr na logarytm ilorazu\begin{aligned} \log_4(\purpleC{x^3})-\log_4(\goldD{y})&=\log_4\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{y}}\right)&&{\gray{\text{Wzór na logarytm ilorazu}}} \end{aligned}

Ważna uwaga

Jeśli skracamy wyrażenia z logarytmami za pomocą wzoru na logarytm ilorazu, wszystkie logarytmy muszą mieć tę samą podstawę.
Na przykład, nie możemy tego wzoru zastosować, aby skrócić coś takiego jak log, start base, 2, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, minus, log, start base, 3, end base, left parenthesis, y, right parenthesis.

Sprawdź, czy rozumiesz

3) Rozwiń log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 4, divided by, c, end fraction, right parenthesis.

4) Skróć log, left parenthesis, 3, z, right parenthesis, minus, log, left parenthesis, 8, right parenthesis.

Logarytm potęgi: log, start base, b, end base, left parenthesis, M, start superscript, p, end superscript, right parenthesis, equals, p, log, start base, b, end base, left parenthesis, M, right parenthesis

Ta własność mówi, że logarytm potęgi jest równy wykładnikowi potęgi pomnożonemu przez logarytm podstawy potęgi.
Teraz skorzystajmy ze wzoru na logarytm potęgi, aby przepisać te wyrażenia logarytmiczne.

Przykład 1: Rozwijanie logarytmów

W tym artykule, rozwinięcie logarytmu oznaczać będzie zapisanie go w formie iloczynu innego logarytmu i zmiennej, bądź liczby.
Skorzystajmy ze wzoru na logarytm potęgi, aby rozwinąć log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, cubed, right parenthesis.
log⁡2(x3)=3⋅log⁡2(x)Logarytm potęgi=3log⁡2(x)\begin{aligned} \log_2\left(x^\maroonC3\right)&=\maroonC3\cdot \log_2(x)&&{\gray{\text{Logarytm potęgi}}} \\\\ &=3\log_2(x) \end{aligned}

Przykład 2: Skracanie logarytmów

Mówiąc o upraszczaniu wyrażenia składającego się z dwóch lub więcej logarytmów, mamy na myśli, że zapisujemy je w postaci jednego logarytmu.
Skorzystajmy ze wzoru na logarytm potęgi aby skrócić 4, log, start base, 5, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis,
Kiedy skracamy wyrażenie logarytmiczne za pomocą wzoru na logarytm potęgi, musimy z mnożnika zrobić wykładnik potęgi.
4log⁡5(2)=log⁡5(24)Logarytm potęgi=log⁡5(16)\begin{aligned} \maroonC4\log_5(2)&=\log_5\left(2^\maroonC 4\right)&&{\gray{\text{Logarytm potęgi}}} \\\\ &=\log_5(16) \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

5) Rozwiń log, start base, 7, end base, left parenthesis, x, start superscript, 5, end superscript, right parenthesis.

6) Uprość 6, natural log, left parenthesis, y, right parenthesis.

Ćwiczenia sprawdzające

Żeby rozwiązać poniższe zadania, będziesz musiał zastosować różne własności w każdym z przypadków . Spróbuj!
7) Które z poniższych wyrażeń jest równe log, start base, b, end base, left parenthesis, start fraction, 2, x, cubed, divided by, 5, end fraction, right parenthesis?
Wybierz 1 odpowiedź:

8) Które z poniższych wyrażeń jest równe 3, log, start base, 2, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, 2, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.