If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Rozkładanie wielomianów przez wyłączenie przed nawias wspólnego czynnika

Naucz się jak wyłączyć wspólny czynnik z wielomianu. Na przykład, rozłóż 6x²+10x do postaci 2x(3x+5).

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

NWD (największy wspólny dzielnik) dwóch lub większej liczby jednomianów to iloczyn wszystkich ich wspólnych czynników pierwszych. Na przykład NWD 6, x i 4, x, squared to 2, x.
Jeśli jest to dla Ciebie nowe, to sprawdź nasz artykuł o największych wspólnych czynnikach jednomianów .

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji nauczysz się jak wyłączać wspólne czynniki z wielomianów.

Rozdzielność mnożenia względem dodawania: a, left parenthesis, b, plus, c, right parenthesis, equals, a, b, plus, a, c

Żeby zrozumieć w jaki sposób rozkładamy wspólne czynniki, musimy zrozumieć rozdzielność.
Na przykład możemy użyć rozdzielności żeby znaleźć iloczyn 3, x, squared i 4, x, plus, 3, tak jak poniżej:
Zauważ, że każdy wyraz w dwumianie został pomnożony przez wspólny czynnik start color #01a995, 3, x, squared, end color #01a995.
Jednakże ponieważ rozdzielność daje nam w wyniku równość, to odwrotność tego działania również będzie prawdą!
Jeśli zaczniemy od 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, 3, x, squared, left parenthesis, 3, right parenthesis, to możemy użyć rodzielności żeby wyłączyć przed nawias start color #01a995, 3, x, squared, end color #01a995 i otrzymamy 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis.
Wynikowe wyrażenie będzie w postaci rozłożonej na czynniki, ponieważ jest zapisane jako iloczyn dwóch wielomianów, podczas gdy oryginalne wyrażenie to dwuwyrazowa suma.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Zapisz 2, x, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, plus, 2, x, left parenthesis, 5, right parenthesis w postaci iloczynowej.
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Wyłączanie największego wspólnego dzielnika (NWD)

Żeby wyłączyć NWD z wielomianu, wykonujemy następujące kroki:
  1. Znajdujemy NWD wszystkich wyrazów w wielomianie.
  2. Zapisujemy każdy wyraz jako iloczyn NWD i innego czynnika.
  3. Używamy rozdzielności żeby wyłączyć NWD.
Wyłączmy więc NWD z 2, x, cubed, minus, 6, x, squared.
Krok 1: Znajdź największy wspólny czynnik
  • 2, x, cubed, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, x
  • 6, x, squared, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, 3, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Tak więc NWD z 2, x, cubed, minus, 6, x, squared to start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, equals, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995.
Krok 2: Zapisz każdy wyraz jako iloczyn start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995 i innego czynnika.
  • 2, x, cubed, equals, left parenthesis, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis
  • 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis
Tak więc wielomian może zostać zapisany jako 2, x, cubed, minus, 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
Krok 3: Wyłącz NWD z wyrażenia
Teraz możemy zastosować zasadę rozdzielności działań, aby wyłączyć start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995.
Sprawdzamy nasz wynik
Możemy sprawdzić nasz rozkład ponownie mnożąc 2, x, squared przez wielomian.
Ponieważ otrzymaliśmy ten sam wielomian jak na początku, nasz rozkład jest prawidłowy!

Sprawdź, czy rozumiesz

2) Wyłącz największy wspólny dzielnik z wyrażenia 12, x, squared, plus, 18, x.
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

3) Wyłącz największy wspólny dzielnik z poniższego wielomianu.
10, x, squared, plus, 25, x, plus, 15, equals

4) Wyłącz największy wspólny dzielnik z poniższego wielomianu.
x, start superscript, 4, end superscript, minus, 8, x, cubed, plus, x, squared, equals

Czy można to zrobić szybciej?

Jeśli wcześniejszy sposób wyłączania NWD nie sprawia Ci problemu, możesz skorzystać z szybszej metody:
Gdy znamy już NWD, możemy skorzystać z tego, że postać iloczynowa jest iloczynem NWD i sumy wyrazów pierwotnego wielomianu podzielonych przez NWD.
Zobacz jak wygląda ta metoda na przykładzie wyrażenia 5, x, squared, plus, 10, x, którego NWD to start color #01a995, 5, x, end color #01a995:
5, x, squared, plus, 10, x, equals, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, left parenthesis, start fraction, 5, x, squared, divided by, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, end fraction, plus, start fraction, 10, x, divided by, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, end fraction, right parenthesis, equals, start color #01a995, 5, x, end color #01a995, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis

Wyłączanie czynników dwumianowych

Największy wspólny dzielnik wielomianu nie musi być jednomianem.
Weźmy na przykład wielomian x, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis.
Zauważ, że dwumian start color #01a995, 2, x, minus, 1, end color #01a995 jest wspólny dla obu wyrazów. Możemy wyłączyć go korzystając z rozdzielności działań:

Sprawdź, czy rozumiesz

5) Wyłącz największy wspólny dzielnik z poniższego wielomianu.
2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, plus, 5, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals

Różne sposoby rozkładania na czynniki

Może wydawać się, że opisywaliśmy tu kilka różnych procesów:
  • Rozkładaliśmy jednomiany zapisując je jako iloczyn innych jednomianów. Na przykład: 12, x, squared, equals, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, right parenthesis.
  • Wyłączaliśmy NWD z wielomianów używając rozdzielności działań. Na przykład: 2, x, squared, plus, 12, x, equals, 2, x, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis.
  • Wyłączaliśmy wspólne czynniki w formie dwumianów dzięki czemu otrzymywaliśmy wyrażenie równe iloczynowi dwóch dwumianów. Na przykład: x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, plus, 2, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis.
Chociaż używaliśmy różnych technik, zawsze zapisywaliśmy wielomian jako iloczyn dwóch lub więcej czynników. Dlatego we wszystkich trzech przykładach tak naprawdę rozkładaliśmy wielomian.

Ćwiczenia sprawdzające

6) Wyłącz największy wspólny dzielnik z poniższego wielomianu.
12, x, squared, y, start superscript, 5, end superscript, minus, 30, x, start superscript, 4, end superscript, y, squared, equals

7) Duży prostokąt o powierzchni 14, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 6, x, squared metrów kwadratowych jest podzielony na dwa mniejsze prostokąty o powierzchniach 14, x, start superscript, 4, end superscript i 6, x, squared metrów kwadratowych.
Szerokość prostokąta (w metrach) jest równa największemu wspólnemu dzielnikowi wyrażeń 14, x, start superscript, 4, end superscript i 6, x, squared.
Jaka jest długość i szerokość dużego prostokąta?
start text, S, z, e, r, o, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, end text, equals
metrów
start text, D, ł, u, g, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, end text, equals
metrów