Jeśli widzisz tę wiadomość oznacza to, że mamy problemy z załadowaniem zewnętrznych materiałów na naszej stronie internetowej.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Główna zawartość

Zachowanie wielomianów w plus i minus nieskończoności

Dowiedz się, czym jest zachowanie na końcach przedziałów wielomianu i jak możemy je znaleźć na podstawie równania wielomianu.
Na tej lekcji nauczysz się co tej jest "zachowanie asymptotyczne" wielomianu i jak odczytać je z wykresu lub z równania wielomianu.

Co to jest "zachowanie asymptotyczne"?

Zachowanie końcowe funkcji f opisuje zachowanie jej wykresu na "końcach" osi X-ów.
Innymi słowy, zachowanie asymptotyczne funkcji opisuje trend jej wykresu, kiedy spojrzymy na prawy koniec osi X-ów (gdy x zbliża się do +) i na lewy koniec osi X-ów (gdy x zbliża się do ).
Na przykład, popatrzmy na ten wykres wielomianu f. Zauważ, że w miarę jak się przesuwamy w prawo wzdłuż osi X-ów, wykres f idzie do góry. To oznacza, że gdy x staje się coraz większe, f(x) też robi się coraz większe.
Matematycznie zapisujemy to w ten sposób: gdy x+, f(x)+. (Mówimy, "gdy x dąży do plus nieskończoności, f(x) dąży do plus nieskończoności.")
Po drugiej stronie wykresu, w miarę jak się przesuwamy w lewo wzdłuż osi X-ów (wyobraź sobie x zbliżające się do ), wykres f idzie w dół. To oznacza, że gdy x staje się coraz bardziej ujemne, f(x) też osiąga coraz bardziej ujemną wartość.
Matematycznie zapisujemy to w ten sposób: gdy x, f(x). (Mówimy, "gdy x dąży do minus nieskończoności, f(x) dąży do minus nieskończoności.")

Sprawdź, czy rozumiesz

1) To jest wykres y=g(x).
Jakie jest zachowanie asymptotyczne g?
Wybierz 1 odpowiedź:

Algebraiczne określanie zachowania asymptotycznego

Możemy też określić jak się funkcja wielomianowa zachowuje na końcach na podstawie jej równania. To przydaje się również, gdy chcemy narysować wykres funkcji, bo zachowanie na końcach pomaga nam wyobrazić sobie jak będzie wyglądał wykres na "końcach".
Aby stwierdzić na podstawie równania, jak wielomian f zachowuje się na końcach, możemy zastanowić się nad tym, jakie wartości przyjmuje funkcja dla dużych dodatnich i dużych ujemnych argumentów x.
Dokładniej, musimy odpowiedzieć na następujące dwa pytania:
  • Gdy x+, jaką wartość osiąga f(x)?
  • Gdy x, jaką wartość osiąga f(x)?

Badanie zachowania asymptotycznego jednomianów

Funkcje jednomianowe to wielomiany postaci y=axn, gdzie a jest liczbą rzeczywistą, a n jest liczbą całkowitą nieujemną.
Zbadajmy teraz algebraicznie zachowanie asymptotyczne kilku jednomianów i na tej podstawie spróbujmy wyciągnąć jakieś wnioski.
2) Rozważmy jednomian f(x)=x2.
Które zdanie najlepiej opisuje f(x), dla dużych dodatnich wartości x?
Wybierz 1 odpowiedź:

Które zdanie najlepiej opisuje f(x), dla dużych ujemnych wartości x?
Wybierz 1 odpowiedź:

3) Rozważmy jednomian g(x)=3x2.
Które zdanie najlepiej opisuje g(x), dla dużych dodatnich wartości x?
Wybierz 1 odpowiedź:

Które zdanie najlepiej opisuje g(x), dla dużych ujemnych wartości x?
Wybierz 1 odpowiedź:

4) Rozważmy jednomian h(x)=x3.
Które zdanie najlepiej opisuje h(x), dla dużych dodatnich wartości x?
Wybierz 1 odpowiedź:

Które zdanie najlepiej opisuje h(x), dla dużych ujemnych wartości x?
Wybierz 1 odpowiedź:

5) Rozważmy jednomian j(x)=2x3.
Które zdanie najlepiej opisuje j(x), dla dużych dodatnich wartości x?
Wybierz 1 odpowiedź:

Które zdanie najlepiej opisuje j(x), dla dużych ujemnych wartości x?
Wybierz 1 odpowiedź:

Wnioski z badania

Zwróć uwagę na to, jaki jest wpływ stopnia jednomianu (n) i współczynnika przy wyrazie wiodącym (a) na zachowanie asymptotyczne.
Kiedy n jest parzyste, zachowanie funkcji na obu "końcach" jest takie same. Znak współczynnika przy wyrazie wiodącym decyduje o tym, czy oba końce funkcji dążą do + czy do .
Kiedy n jest nieparzyste, zachowanie funkcji na obu "końcach" jest odmienne. Znak współczynnika przy wyrazie wiodącym decyduje o tym, który koniec dąży do +, a który do .
To wszystko jest podsumowane w tabeli poniżej.
Zachowanie końcowe jednomianu: f(x)=axn
n jest parzyste i a>0n jest parzyste i a<0
Gdy x, f(x)+ i gdy x+, f(x)+.
Gdy x, f(x) i gdy x+, f(x).
n jest nieparzyste i a>0n jest nieparzyste i a<0
Gdy x, f(x) i gdy x+, f(x)+.
Gdy x, f(x)+ i gdy x+, f(x).

Sprawdź, czy rozumiesz

6) Jakie jest zachowanie asymptotyczne funkcji g(x)=8x3?
Wybierz 1 odpowiedź:

Asymptotyczne zachowanie wielomianów

Wiemy już jak określić zachowanie asymptotyczne jednomianów. A jak to jest w przypadku wielomianów, które nie są jednomianami? Co jeśli mamy do czynienia z funkcją taką jak g(x)=3x2+7x?
Ogólnie, zachowanie asymptotyczne funkcji wielomianowej jest takie same jak zachowanie asymptotyczne jej wyrazu wiodącego, czyli wyrazu zawierającego najwyższą potęgę.
Więc zachowanie asymptotyczne g(x)=3x2+7x jest takie same jak zachowanie asymptotyczne jednomianu 3x2.
Ponieważ stopień 3x2 jest parzysty (2) a wyraz wiodący jest ujemny (3), zachowanie asymptotyczne g jest następujące: gdy x, g(x) i gdy x+, g(x).

Sprawdź, czy rozumiesz

7) Jakie jest zachowanie asymptotyczne f(x)=8x57x2+10x1?
Wybierz 1 odpowiedź:

8) Jakie jest zachowanie asymptotyczne funkcji g(x)=6x4+8x3+4x2?
Wybierz 1 odpowiedź:

Dlaczego to wyraz wiodący określa zachowanie asymptotyczne?

Tak jest, ponieważ dla dużych wartości argumentów x, wyraz wiodący ma największy wpływ na wartości funkcji.
Przyjrzyjmy się temu bliżej analizując funkcję g(x)=3x2+7x dla dużych dodatnich wartości argumentów x.
Gdy x dąży do + wiemy, że 3x2 dąży do a 7x dąży do +.
Ale jakie jest zachowanie asymptotyczne ich sumy? Podstawmy parę wartości x, aby się dowiedzieć.
x3x27x3x2+7x
1374
1030070230
10030 00070029,300
10003 000 00070002,993,000
Zauważ, że gdy x rośnie, wielomian zachowuje się jak 3x2.
Ale zauważmy, że wyraz proporcjonalny do x był trochę ważniejszy. Co by się stało gdybyśmy zamiast 7x mieli 999x?
x3x2999x3x2+999x
103009 9909 690
10030 00099 90069 900
10003 000 000999 0002 001 000
10 000300 000 0009 990 000290 010 000
Znów widzimy, że dla dużych wartości x, wielomian zachowuje się jak 3x2. Chociaż potrzebowaliśmy większych x, aby zaobserwować trend, sytuacja jest podobna.
W rzeczywistości, bez względu na wartość współczynnika stojącego przy x, dla dostatecznie dużych wartości x, wyraz 3x2 w pewnym momencie zacznie dominować!

Ćwiczenia sprawdzające

9*) Które z poniższych mogą być wykresami h(x)=8x3+7x1?
Wybierz 1 odpowiedź:

10*) Jakie jest zachowanie asymptotyczne funkcji g(x)=(23x)(x+2)2?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.