Główna zawartość
Algebra 2
Course: Algebra 2 > Jednostka 5
Lekcja 3: Zachowanie wielomianów w plus i minus nieskończonościZachowanie wielomianów w plus i minus nieskończoności
Dowiedz się, czym jest zachowanie na końcach przedziałów wielomianu i jak możemy je znaleźć na podstawie równania wielomianu.
Na tej lekcji nauczysz się co tej jest "zachowanie asymptotyczne" wielomianu i jak odczytać je z wykresu lub z równania wielomianu.
Co to jest "zachowanie asymptotyczne"?
Zachowanie końcowe funkcji f opisuje zachowanie jej wykresu na "końcach" osi X-ów.
Innymi słowy, zachowanie asymptotyczne funkcji opisuje trend jej wykresu, kiedy spojrzymy na prawy koniec osi X-ów (gdy x zbliża się do plus, infinity) i na lewy koniec osi X-ów (gdy x zbliża się do minus, infinity).
Na przykład, popatrzmy na ten wykres wielomianu f. Zauważ, że w miarę jak się przesuwamy w prawo wzdłuż osi X-ów, wykres f idzie do góry. To oznacza, że gdy x staje się coraz większe, f, left parenthesis, x, right parenthesis też robi się coraz większe.
Matematycznie zapisujemy to w ten sposób: gdy x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. (Mówimy, "gdy x dąży do plus nieskończoności, f, left parenthesis, x, right parenthesis dąży do plus nieskończoności.")
Po drugiej stronie wykresu, w miarę jak się przesuwamy w lewo wzdłuż osi X-ów (wyobraź sobie x zbliżające się do minus, infinity), wykres f idzie w dół. To oznacza, że gdy x staje się coraz bardziej ujemne, f, left parenthesis, x, right parenthesis też osiąga coraz bardziej ujemną wartość.
Matematycznie zapisujemy to w ten sposób: gdy x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity. (Mówimy, "gdy x dąży do minus nieskończoności, f, left parenthesis, x, right parenthesis dąży do minus nieskończoności.")
Sprawdź, czy rozumiesz
Algebraiczne określanie zachowania asymptotycznego
Możemy też określić jak się funkcja wielomianowa zachowuje na końcach na podstawie jej równania. To przydaje się również, gdy chcemy narysować wykres funkcji, bo zachowanie na końcach pomaga nam wyobrazić sobie jak będzie wyglądał wykres
na "końcach".
Aby stwierdzić na podstawie równania, jak wielomian f zachowuje się na końcach, możemy zastanowić się nad tym, jakie wartości przyjmuje funkcja dla dużych dodatnich i dużych ujemnych argumentów x.
Dokładniej, musimy odpowiedzieć na następujące dwa pytania:
- Gdy x, right arrow, plus, infinity, jaką wartość osiąga f, left parenthesis, x, right parenthesis?
- Gdy x, right arrow, minus, infinity, jaką wartość osiąga f, left parenthesis, x, right parenthesis?
Badanie zachowania asymptotycznego jednomianów
Funkcje jednomianowe to wielomiany postaci y, equals, a, x, start superscript, n, end superscript, gdzie a jest liczbą rzeczywistą, a n jest liczbą całkowitą nieujemną.
Zbadajmy teraz algebraicznie zachowanie asymptotyczne kilku jednomianów i na tej podstawie spróbujmy wyciągnąć jakieś wnioski.
2) Rozważmy jednomian f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared.
3) Rozważmy jednomian g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared.
4) Rozważmy jednomian h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed.
5) Rozważmy jednomian j, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, cubed.
Wnioski z badania
Zwróć uwagę na to, jaki jest wpływ stopnia jednomianu left parenthesis, start color #11accd, n, end color #11accd, right parenthesis i współczynnika przy wyrazie wiodącym left parenthesis, start color #1fab54, a, end color #1fab54, right parenthesis na zachowanie asymptotyczne.
Kiedy n jest parzyste, zachowanie funkcji na obu "końcach" jest takie same. Znak współczynnika przy wyrazie wiodącym decyduje o tym, czy oba końce funkcji dążą do plus, infinity czy do minus, infinity.
Kiedy n jest nieparzyste, zachowanie funkcji na obu "końcach" jest odmienne. Znak współczynnika przy wyrazie wiodącym decyduje o tym, który koniec dąży do plus, infinity, a który do minus, infinity.
To wszystko jest podsumowane w tabeli poniżej.
| start color #11accd, n, end color #11accd jest parzyste i start color #1fab54, a, end color #1fab54, is greater than, 0 | start color #11accd, n, end color #11accd jest parzyste i start color #1fab54, a, end color #1fab54, is less than, 0 |
|---|---|
| Gdy x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity i gdy x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. | Gdy x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity i gdy x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, point |
| start color #11accd, n, end color #11accd jest nieparzyste i start color #1fab54, a, end color #1fab54, is greater than, 0 | start color #11accd, n, end color #11accd jest nieparzyste i start color #1fab54, a, end color #1fab54, is less than, 0 |
|---|---|
| Gdy x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity i gdy x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. | Gdy x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity i gdy x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, point |
Sprawdź, czy rozumiesz
Asymptotyczne zachowanie wielomianów
Wiemy już jak określić zachowanie asymptotyczne jednomianów. A jak to jest w przypadku wielomianów, które nie są jednomianami? Co jeśli mamy do czynienia z funkcją taką jak g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x?
Ogólnie, zachowanie asymptotyczne funkcji wielomianowej jest takie same jak zachowanie asymptotyczne jej wyrazu wiodącego, czyli wyrazu zawierającego najwyższą potęgę.
Więc zachowanie asymptotyczne g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x jest takie same jak zachowanie asymptotyczne jednomianu minus, 3, x, squared.
Ponieważ stopień start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, x, start superscript, start color #11accd, 2, end color #11accd, end superscript jest parzysty left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis a wyraz wiodący jest ujemny left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, zachowanie asymptotyczne g jest następujące: gdy x, right arrow, minus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity i gdy x, right arrow, plus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
Sprawdź, czy rozumiesz
Dlaczego to wyraz wiodący określa zachowanie asymptotyczne?
Tak jest, ponieważ dla dużych wartości argumentów x, wyraz wiodący ma największy wpływ na wartości funkcji.
Przyjrzyjmy się temu bliżej analizując funkcję g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x dla dużych dodatnich wartości argumentów x.
Gdy x dąży do plus, infinity wiemy, że minus, 3, x, squared dąży do minus, infinity a 7, x dąży do plus, infinity.
Ale jakie jest zachowanie asymptotyczne ich sumy? Podstawmy parę wartości x, aby się dowiedzieć.
| x | minus, 3, x, squared | 7, x | minus, 3, x, squared, plus, 7, x |
|---|---|---|---|
| 1 | minus, 3 | 7 | 4 |
| 10 | minus, 300 | 70 | minus, 230 |
| 100 | minus, 30, space, 000 | 700 | minus, 29, comma, 300 |
| 1000 | start color #ca337c, minus, 3, space, 000, space, 000, end color #ca337c | 7000 | start color #ca337c, minus, 2, comma, 993, comma, 000, end color #ca337c |
Zauważ, że gdy x rośnie, wielomian zachowuje się jak minus, 3, x, squared, point
Ale zauważmy, że wyraz proporcjonalny do x był trochę ważniejszy. Co by się stało gdybyśmy zamiast 7, x mieli 999, x?
| x | minus, 3, x, squared | 999, x | minus, 3, x, squared, plus, 999, x |
|---|---|---|---|
| 10 | minus, 300 | 9, space, 990 | 9, space, 690 |
| 100 | minus, 30, space, 000 | 99, space, 900 | 69, space, 900 |
| 1000 | minus, 3, space, 000, space, 000 | 999, space, 000 | minus, 2, space, 001, space, 000 |
| 10, space, 000 | start color #ca337c, minus, 300, space, 000, space, 000, end color #ca337c | 9, space, 990, space, 000 | start color #ca337c, minus, 290, space, 010, space, 000, end color #ca337c |
Znów widzimy, że dla dużych wartości x, wielomian zachowuje się jak minus, 3, x, squared. Chociaż potrzebowaliśmy większych x, aby zaobserwować trend, sytuacja jest podobna.
W rzeczywistości, bez względu na wartość współczynnika stojącego przy x, dla dostatecznie dużych wartości x, wyraz minus, 3, x, squared w pewnym momencie zacznie dominować!
Ćwiczenia sprawdzające
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Jest błąd w zadaniach Sprawdź, czy rozumiesz pkt 1), 6), 7), 8) i 10). Odpowiedzi powtarzają się 2x:
1=2 oraz 3=4. Dodatkowo w zadaniach brak odpowiedzi prawidłowej.(2 głosy)