Główna zawartość

Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Rozdział 5

Lekcja 4: Zbierając to wszystko razem...

Wykresy wielomianów
Wykresy wielomianów: zadania z wyzwania

Matematyka>

Algebra 2>

Wykresy wielomianów>

Zbierając to wszystko razem...

Warunki użytkowania politykę prywatności Informacja o plikach cookie

Wykresy wielomianów

Google Classroom

Przeanalizuj wielomiany żeby naszkicować ich wykres.

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Zachowanie końcowe funkcji

f

‍ przedstawia zachowanie jej wykresu na "końcach" osi

O X

‍. Algebraicznie, zachowanie asymptotyczne zależy od odpowiedzi na następujące dwa pytania:

Gdy $x \to + \infty$ ‍, jaką wartość osiąga $f (x)$ ‍?
Gdy $x \to - \infty$ ‍, jaką wartość osiąga $f (x)$ ‍?

Jeśli jest to dla Ciebie nowe, zalecamy abyś przeczytał nasz artykuł na temat zachowania końcowego wykresów wielomianów.

MIejsca zerowe funkcji

f

‍ odpowiadają przecięciom jej wykresu z osią

O X

‍. Jeśli

f

‍ ma miejsce zerowe o nieparzystej krotności, jej wykres przetnie oś

X

‍-ów dla tego argumentu

x

‍. Jeśli

f

‍ ma miejsce zerowe o parzystej krotności, jej wykres dotknie oś

X

‍-ów w tym punkcie.

Jeśli jest to dla Ciebie nowe, zalecamy żebyś przeczytał nasz artykuł o miejscach zerowych wielomianu.

Czego nauczysz się w tej lekcji

W tej lekcji zastosujemy powyższe cechy, aby przeanalizować i narysować wykresy wielomianów. Następnie wykorzystamy wykresy, aby znaleźć dodatnie i ujemne przedziały wielomianów.

Badanie funkcji wielomianowych

Przeanalizujemy teraz parę cech wykresu wielomianu

f (x) = (3 x - 2) (x + 2)^{2}

‍.

Znalezienie przecięcia z osią $O Y$ ‍

Aby znaleźć miejsce przecięcia z osią

O Y

‍ wykresu

f

‍, możemy znaleźć

f (0)

‍.

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ f (0) & = (3 (0) - 2) (0 + 2)^{2} \\ f (0) & = (- 2) (4) \\ f (0) & = - 8 \end{aligned}$ ‍

Punkt przecięcia z osią

O Y

‍ dla

y = f (x)

‍ to

(0, - 8)

‍.

Znalezienie przecięcia z osią $O X$ ‍

Aby znaleźć miejsce przecięcia z osią

O X

‍, możemy rozwiązać równanie

f (x) = 0

‍.

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ 0 & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ 3 x - 2 & = 0 & lub x + 2 & = 0 & Iloczyn wynosi zero! \\ x & = \frac{2}{3} & lub x & = - 2 \end{aligned}$ ‍

Punkty przecięcia z osią

O X

‍ wykresu

y = f (x)

‍ to

(\frac{2}{3}, 0)

‍ i

(- 2, 0)

‍.

Nasze obliczenia wskazują także, że

\frac{2}{3}

‍ jest miejscem zerowym o krotności równej

1

‍ i

- 2

‍ jest miejscem zerowym o krotności równej

2

‍. To znaczy, że wykres funkcji przetnie oś

X

‍-ów w

(\frac{2}{3}, 0)

‍ i dotknie osi

X

‍-ów w

(- 2, 0)

‍.

Znalezienie zachowania końcowego

Aby znaleźć zachowanie asymptotyczne funkcji, możemy zbadać jej wyraz wiodący, jeśli funkcja ta jest zapisana w postaci standardowej.

Napiszmy równanie w formie standardowej

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ f (x) & = (3 x - 2) (x^{2} + 4 x + 4) \\ f (x) & = 3 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x - 2 x^{2} - 8 x - 8 \\ f (x) & = 3 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x - 8 \end{aligned}$ ‍

[Czy to jest potrzebne?]

Wyraz wiodący wielomianu to

3 x^{3}

‍ zachowanie asymptotyczne funkcji

f

‍ będzie takie same jak zachowanie asymptotyczne

3 x^{3}

‍.

Ponieważ stopień wielomianu jest nieparzysty i wyraz wiodący jest dodatni, zachowanie asymptotyczne będzie równe: gdy

x \to + \infty

‍,

f (x) \to + \infty

‍ i gdy

x \to - \infty

‍,

f (x) \to - \infty

‍.

Rysowanie wykresu

Możemy wykorzystać to czego się nauczyliśmy powyżej, aby narysować wykres

y = f (x)

‍.

Zacznijmy od zachowania końcowego:

Gdy $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
Gdy $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.

Oznacza to, że na "końcach" wykres funkcji będzie wyglądał jak

y = x^{3}

‍.

Teraz możemy dołączyć to co wiemy na temat przecięcia z osią

O X

‍:

Wykres funkcji dotyka oś $X$ ‍-ów w punkcie $(- 2, 0)$ ‍, ponieważ $- 2$ ‍ jest miejscem zerowym o parzystej krotności.
Wykres przecina oś $X$ ‍-ów w punkcie $(\frac{2}{3}, 0)$ ‍, ponieważ $\frac{2}{3}$ ‍ jest miejscem zerowym o nieparzystej krotności.

Wreszcie, możemy narysować przecięcie z osią

O Y

‍ w punkcie

(0, - 8)

‍ i wypełnienie luk za pomocą ciągłej, płynnej krzywej.

Chociaż nie wiemy dokładnie gdzie są punkty zwrotne funkcji, uzyskujemy dobry, ogólny obraz kształtu naszej funkcji!

Przedziały, w których funkcja jest dodatnia lub ujemna

Teraz jak mamy naszkicowany wykres

f

‍, łatwo jest stwierdzić dla których przedziałów

f

‍ jest dodatnia i dla których przedziałów jest ujemna.

Widzimy, że

f

‍ jest dodatnia kiedy

x > \frac{2}{3}

‍ i ujemna kiedy

x < - 2

‍ lub

- 2 < x < \frac{2}{3}

‍.

Sprawdź, czy rozumiesz

1) Teraz sam krok po kroku naszkicujesz wykres

g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)

‍.

a) Jaki jest punkt przecięcia z osią $O Y$ ‍ wykresu funkcji $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍?
$(0$ ‍,
Prawidłowa odpowiedź to:
liczba całkowita, taka jak $6$ ‍
właściwy uproszczony ułamek, taki jak $3 / 5$ ‍
niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak $7 / 4$ ‍
liczba mieszana, taka jak $1 3 / 4$ ‍
dokładny ułamek dziesiętny, taki jak $0, 75$ ‍
wielokrotność pi, taka jak $12 pi$ ‍ lub $2 / 3 pi$ ‍
$)$ ‍

[Potrzebuję pomocy!]

b) Jakie jest zachowanie asymptotyczne wykresu funkcji $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍?
Wybierz 1 odpowiedź:
(Choice A)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Choice B)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Choice C)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Choice D)
Gdy $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, i gdy $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

[Potrzebuję pomocy!]

c) Jakie są przecięcia z osią $O X$ ‍ wykresu funkcji $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍?
Wybierz 1 odpowiedź:
(Choice A)
$(1, 0)$ ‍, $(- 2, 0)$ ‍, i $(5, 0)$ ‍
(Choice B)
$(- 1, 0)$ ‍, $(2, 0)$ ‍, i $(- 5, 0)$ ‍

[Potrzebuję pomocy!]

d) Które z poniższych może przedstawiać wykres funkcji $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍?
Wybierz 1 odpowiedź:
(Choice A)
(Choice B)
(Choice C)
(Choice D)

[Potrzebuję pomocy!]

2) Które z poniższych może przedstawiać wykres $y = (2 - x) (x + 1)^{2}$ ‍

Wybierz 1 odpowiedź:

(Choice A)
(Choice B)
(Choice C)
(Choice D)

[Potrzebuję pomocy!]

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

olaf oleszczyk
Opublikowane 2 lata temu. Odnosi się do postu olaf oleszczyk's o treści “w zadaniu "b" czym różni ...”
w zadaniu "b" czym różni się odpowiedź 1 od odpowiedzi 2?
Kliknij, aby przejść do strony rejestracjiSkomentuj wpis użytkownika olaf oleszczyk o treści „w zadaniu "b" czym różni ...”
(2 głosy)
Odpowiedź
s21960
Opublikowane 2 lata temu. Odnosi się do postu s21960's o treści “Zadanie *Sprawdź, czy roz...”
Zadanie Sprawdź, czy rozumiesz pkt b) ma błąd powtarzających się odpowiedzi.
Kliknij, aby przejść do strony rejestracjiKliknij, aby przejść do strony rejestracji
(2 głosy)
Odpowiedź

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Rozdział 5

Co trzeba wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Czego nauczysz się w tej lekcji

Badanie funkcji wielomianowych

Znalezienie przecięcia z osią OY‍

Znalezienie przecięcia z osią OX‍

Znalezienie zachowania końcowego

Rysowanie wykresu

Przedziały, w których funkcja jest dodatnia lub ujemna

Sprawdź, czy rozumiesz

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Znalezienie przecięcia z osią $O Y$ ‍

Znalezienie przecięcia z osią $O X$ ‍