If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Aby się zalogować i korzystać z wszystkich funkcji Khan Academy, włącz obsługę JavaScript w Twojej przeglądarce.

Główna zawartość

Kurs: Algebra 2 > Rozdział 5

Lekcja 2: Przedziały, w których wielomian jest dodatni lub ujemny

Przedziały, w których wielomian jest dodatni lub ujemny

Odkryj związek pomiędzy miejscami zerowymi wielomianu i przedziałami, w których jest on dodatni lub ujemny. Tłumaczenie na język polski zrealizowane przez Fundację Edukacja dla Przyszłości, dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Miejsca zerowe wielomianu

f

odpowiadają przecięciom z osią

O X

wykresu

y = f (x)

Na przykład przypuśćmy, że

f (x) = (x + 3) (x - 1)^{2}

. Ponieważ miejsca zerowe

f

- 3

1

, wykres

y = f (x)

będzie miał przecięcia z osią

O X

w punktach

(- 3, 0)

(1, 0)

Jeśli jest to dla Ciebie nowe, zalecamy żebyś przeczytał nasz artykuł o miejscach zerowych wielomianu.

Czego nauczysz się w tej lekcji

Chociaż przecięcia z osią

O X

są ważną cechą wykresu funkcji, potrzebujemy wiedzieć więcej, aby ją dobrze naszkicować.

Poznanie znaku wielomianu między dwoma miejscami zerowymi może nam pomóc uzupełnić niektóre luki.

W tym artykule nauczymy sie jak określić przedziały w których wielomian jest dodatni a w których jest ujemny i połączyć to z wykresem.

Przedziały, w których funkcja jest dodatnia/ujemna

Znak wielomianu między dowolnymi dwoma kolejnymi miejscami zerowymi jest albo zawsze dodatni albo zawsze ujemny.

Na przykład rozważmy funkcję

f (x) = (x + 1) (x - 1) (x - 3)

narysowaną obok.

Z tego wykresu widzimy, że

f (x)

jest zawsze...

...ujemna, gdy $- \infty < x < - 1$ ‍.
...dodatnia, gdy $- 1 < x < 1$ ‍.
...ujemna, gdy $1 < x < 3$ ‍.
...dodatnia, gdy $3 < x < \infty$ ‍.

Jednakże nie zawsze funkcja wielomianowa zmienia znak między swoimi miejscami zerowymi.

Na przykład rozważmy funkcję

g (x) = x (x + 2)^{2}

narysowaną obok.

Z tego wykresu widzimy, że

g (x)

jest zawsze...

...ujemna kiedy $- \infty < x < - 2$ ‍.
...ujemna kiedy $- 2 < x < 0$ ‍.
...dodatnia kiedy $0 < x < \infty$ ‍.

Zauważ, że

g (x)

nie zmienia znaku w pobliżu

x = - 2

Określenie przedziałów, w których wielomian jest dodatni lub ujemny

Znajdźmy przedziały, w których wielomian

f (x) = (x + 3) (x - 1)^{2}

jest dodatni i przedziały, w których wielomian ten jest ujemny.

Miejsca zerowe

f

- 3

1

. Stąd mamy trzy przedziały w których znak

f

jest stały:

Znajdźmy znak

f

dla

- \infty < x < - 3

Wiemy, że

f

będzie albo zawsze dodatnia albo zawsze ujemna w tym przedziale. Możemy określić z którym przypadkiem mamy do czynienia znajdując wartość

f

dla jednego argumentu z tego przedziału. Skoro

- 4

należy do tego przedziału to znajdźmy

f (- 4)

Ponieważ interesuje nas tutaj tylko znak tego wielomianu, nie musimy dokładnie liczyć ile to wynosi:

\begin{aligned} f (x) & = (x + 3) (x - 1)^{2} \\ f (- 4) & = (- 4 + 3) (- 4 - 1)^{2} \\ = (-) (-)^{2} & Określ tylko znak wyniku. \\ = (-) (+) & Minus jeden do kwadratu daje liczbę dodatnią. \\ = - & Minus razy plus daje minus. \end{aligned}

Widzimy tutaj, że

f (- 4)

jest ujemne, więc

f (x)

będzie zawsze ujemne dla

- \infty < x < - 3

Możemy powtórzyć to samo dla pozostałych przedziałów.

Przedział: $- 3 < x < 1$ ‍

Ponieważ

0

należy do tego przedziału, określmy jaki znak ma

f (0)

$\begin{aligned} f (x) & = (x + 3) (x - 1)^{2} \\ f (0) & = (0 + 3) (0 - 1)^{2} \\ = (+) (-)^{2} & Określ tylko znak wyniku. \\ = (+) (+) & Dwa minusy do kwadratu dają plus. \\ = + & Plus razy plus daje plus. \end{aligned}$ ‍

Ponieważ

f (0)

jest dodatnie,

f (x)

będzie dodatnia dla

- 3 < x < 1

przedział: $1 < x < \infty$ ‍

Ponieważ

2

należy do tego przedziału, znajdźmy znak

f (2)

$\begin{aligned} f (x) & = (x + 3) (x - 1)^{2} \\ f (2) & = (2 + 3) (2 - 1)^{2} \\ = (+) (+)^{2} & Określ tylko znak wyniku. \\ = (+) (+) & Dwa minusy do kwadratu dają plus \\ = + & Plus razy plus daje plus. \end{aligned}$ ‍

Ponieważ

f (2)

jest dodatnie,

f (x)

będzie dodatnia dla

1 < x < \infty

Wyniki są podsumowane w tabeli.

Przedział	Wartość konkretnej $f (x)$ ‍ wewnątrz tego przedziału	Znak $f$ ‍ w tym przedziale	Powiązanie z wykresem $f$ ‍
$- \infty < x < - 3$ ‍	$f (- 4) < 0$ ‍	ujemny	Poniżej osi $X$ ‍-ów
$- 3 < x < 1$ ‍	$f (0) > 0$ ‍	dodatni	Powyżej osi $X$ ‍-ów
$1 < x < \infty$ ‍	$f (2) > 0$ ‍	positive	Powyżej osi $X$ ‍-ów

Jest to zgodne z wykresem

y = f (x)

Sprawdź, czy rozumiesz

g (x) = (x + 1)^{2} (x + 6)

ma miejsca zerowe w

x = - 6

x = - 1

Jaki jest znak $g$ ‍ w przedziale $- 6 < x < - 1$ ‍?

h (x) = (3 - x) (x + 5) (x - 2)

ma miejsca zerowe w

x = - 5

x = 2

, i

x = 3

Jaki jest znak $h (x)$ ‍ w przedziale $- 5 < x < 2$ ‍?

Wyzwanie

3*) Który z poniższych może być wykresem $g (x) = (x - 2)^{2} (x + 1)^{3}$ ‍?

Określenie przedziałów, w których wielomian jest dodatni lub ujemny, na podstawie wykresu

Inny sposób określenia przedziałów, w których wielomian jest dodatni albo ujemny, polega na naszkicowaniu wykresu wielomianu, na podstawie jego zachowania na końcach i krotności jego miejsc zerowych.

Przeczytaj nasz artykuł na temat wykresów wielomianów dla dalszych szczegółów.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.