If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:15:22

Transkrypcja filmu video

Kiedy pierwszy raz poznaliśmy ułamki, czy inaczej, liczby wymierne, przyzwyczailiśmy się do idei zapisywania ich w postaci nieskracalnej. Czyli jeśli mamy na przykład 3/6, wiemy dobrze że 3 i 6 mają wspólny dzielnik. Licznika nie rozłożymy na czynniki, ale mianownik, czyli liczbę 6, można zapisać jako 2 razy 3. Ponieważ mają wspólny dzielnik, w tym wypadku 3, możemy podzielić licznik przez 3 i mianownik przez 3, albo moglibyśmy powiedzieć że to jest 3/3 i trójki po prostu się kasują. Czyli zapisując to jako nieskracalny ułamek, dostajemy 1/2. Rozważmy jeszcze jeden przykład, weźmy 8/24, ponownie wiemy że możemy zapisać ten ułamek w innej postaci, mianowicie jako 8 podzielone przez 8 razy 3, czyli to samo co 1/3 pomnożone przez 8/8. Oczywiście 8/8 sie kasuje, i mamy ułamek nieskracalny 1/3. Dokładnia ten sam pomysł można zastosować do wyrażeń wymiernych. To są liczby wymierne. Natomiast wyrażenia wymierne to w zasadzie to samo, tylko zamiast licznika będącego zwykłą liczbą i mianownika będącego liczbą, mamy wyrażenia z jakimiś zmiennymi. Rozważymy teraz przykład obrazujący co mam na myśli. Powiedzmy że mamy 9x + 3 podzielone przez 12x + 4. Licznik możemu tu rozłożyć na czynniki. Widzimy, że możemy go zapisać jako 3 razy 3x + 1. Tyle wynosi licznik Teraz w mianowniku dokonamy tego samego. To znaczy możemy wyciągnąć 4 przed cały mianownik, ponieważ 12 przez 4 to 3, to 12x przez 4 daje 3x. Plus 4 podzielone przez 4 daje 1. Zatem tutaj, dokładnie tak jak poprzednio, licznik i mianownik mają wspólny dzielnik. W tym przypadku to 3x + 1. Tym razem, to wyrażenie ze zmienną x. Nie jest to ustalona liczba, ale możemy zrobić to co poprzednio. To znaczy skrócić to wyrażenie. Czyli gdybyśmy mieli zapisać to wyrażenie w postaci nieskracalnej, to możemy powiedzieć że jest równe 3/4. Zróbmy jeszcze jeden przykład. Powiedzmy że mamy x^2 -- zaraz znajdę dobry przykład. Powiedzmy że mamy x^2 - 9 przez 5x + 15. Czemu równa się to wyrażenie? Licznik umiemy rozłożyć na czynniki. Jest to różnica kwadratów. Mamy x + 3 razy x - 3. W mianowniku możemy wyciągnąć 5 przed nawias. Wtedy mamy 5 razy x + 3. Jak widać znowu mamy wspólny dzielnik licznika i mianownika, więc możemy przez niego skrócić. Poruszyliśmy ten temat w jednym z poprzednich filmików, musimy być tutaj bardzo ostrożni. Możemy skrócić te wyrażenia. Czyli powiedzieć że to wyrażenie jest równe x - 3 przez 5, ale musimy odrzucić wartości x dla których mianownik byłby 0, czyli dla których całe wyrażenie byłoby źle zdefiniowane. Czyli możemy to zapisać jako x - 3 przez 5, ale x nie może być równe -3. Dla x równego -3 mianownik całe wyrażenie w mianowniku byłoby równe 0. Zatem to wyrażenie i cały ten układ po prawej są rownoważne. To wyrażenie nie jest równoważne temu tutaj, ponieważ to jest zdefiniowane dla x równego -3, natomiast to nie jest dobrze określone dla x = -3. Zatem żeby mówić o równoważności, muszę dodać warunek, że x nie może być równe -3. Powiedzmy zatem, że chcemy narysować wykres funkcji y = 9x + 3 przez 12x + 4 i żeby to zrobić upraszczamy wyrażenie, to znaczy skracamy licznik przez 3x + 1 oraz tak samo w mianowniku. Czyli się znoszą. Chciałoby się w tym momencie powiedzieć, że wykres tej funkcji to po prostu wykres funkcji y = 3/4, czyli poziomej prostej na poziomie 3/4. Ale musimy pamiętać o naszym dodatkowym warunku. Musimy pominąć wartości x, dla których mianownik się zeruje, ponieważ wyrażenie nie ma wtedy sensu, a w tym przypadku jest tak dla -1/3. Jeśli x jest równy -1/3, to mianownik wyrażenia jest równy zero. Czyli musimy w tym przypadku zaznaczyć, że x nie może być równy -1/3. Ten warunek jest konieczny żeby móc powiedzieć że zachodzi tu równość, musimy podkreślic że x nie może być rowny -1/3. Zróbmy jeszcze kilka przykładów. Zmienię kolor na różowy. Powiedzmy ze mam x^2 + 6x + 8 podzielone przez x^2 + 4x. Albo nie, mam lepszy przykład. Weźmy zamiast tego następujący: x^2 + 6x + 5 przez x^2 - x - 2. Ponownie chcemy rozłożyć na czynniki licznik oraz mianownik, tak jak to robiliśmy z liczbami gdy uczylismy się o ułamkach nierozkładalnych. Chcemy rozłożyć licznik, jakie 2 liczby pomnożone przez siebie dają 5, a dodane dają 6? Liczby które mi przyszły do głowy to 5 oraz 1. Licznik to x + 5 razy x + 1. Teraz w mianowniku robimy to samo, jakie 2 liczby pomnożone daja -2, dodane dają -1. Liczby -2 i 1 spełniają te warunki. Oj, tutaj źle napisalem, powinno być + 1. Wtedy mamy x + 1 razy x + 5, 1 razy 5 to 5, 5x + 1x to 6x, wszystko się zgadza. Zatem tutaj mamy 1 i -2. Czyli x - 2 razy x + 1. Czyli znaleźliśmy wspólny dzielnik licznika oraz mianownika. Możemy zatem skrócić te wyrażenia. Czyli można powiedzieć że to jest równe x + 5 przez x -2. Ale żeby rzeczywiście mieć równość, musimy dodać warunek. Warunek mówiący że x nie może być równy -1, ponieważ wtedy to wyrażenie jest źle zdefiniowane. Trzeba dodać ten warunek, bo mając samo to wyrażenie moglibyśmy wstawić -1 i dostać liczbę. Ale to nie jest dobrze zdefiniowane dla x równego -1, więc dla równoważności musimy dodać wspomniany warunek. Zróbmy jakiś trudniejszy przykład. Powiedzmy że mamy 3x^2 + 3x -18 podzielone przez 2x^2 + 5x - 3. Trochę więcej kłopotu sprawia rozkład gdy mamy tu inny współczynnik niż 1, ale wiemy już jak to robić. Możemy to zrobić przez grupowanie. To będzie dobry trening tej techniki. Zatem do roboty. Czyli chcemy rozłożyć wpierw 3x^2 + 3x - 18 na czynniki. Musimy wymyślić 2 liczby, przypominam technikę grupowania, szukamy 2 liczb takich, że po pomnożeniu dadzą 3 razy -18 czyli -54, a dodane do siebie dadzą 3x, ponieważ rozdzielamy 3x na ax + bx. W zasadzie powinniśmy napisać 3 a nie 3x. Zatem jakie a, b możemy tu dobrać? Zajrzyjmy do tabliczki mnożenia, jedna musi być dodatnia i jedna ujemna, 9 razy 6 daje 54, jak weźmiemy 9 i -6 to równania są spełnione. Wtedy 9 - 6 = 3 oraz 9 razy - 6 to -54. Czyli możemy przepisać to wyrażenie, jako 3x^2 + 9x - 6x -18. Warto zauważyć, że jedyne co zrobiłem, to rozdzieliłem 3x na 9x - 6x. To jedyna różnica pomiędzy tymi wyrażeniami. Rozdzieliliśmy 3x na 9x - 6x żeby móc teraz odpowiednio zgrupować. Przeważnie grupujemy ze sobą wyrażenia tego samego znaku, albo takie które mają wspólne dzielniki. Tutaj wszystko się dzieli przez 3, ale ja zgrupowałem 3x^2 z 9x bo oba są dodatnie. Zatem wyciągnijmy 3x przed nawias, w wyrażeniu z lewej. Wyciągamy 3x, mamy 3x razy x + 3. Jak z tego po prawej wyciągniemy -6 przed nawias, to dostajemy -6 razy x + 3. Widzimy że grupowanie się udało. Czyli całość możemy przepisać, jako 3x - 6 razy x + 3. Po wymnożeniu tych nawiasów dostalibyśmy to wyrażenie. Podsumowując, możemy przepisać licznik, zrobimy to w tym samym kolorze, przepisujemy jako 3x-6 razy x + 3. Przepisaliśmy to wyrażenie. Zaznaczę je ptaszkiem. Teraz rozłożymy drugą część ułamka. Jeśli chcę rozlożyć 2x^2 + 5x + 3, to muszę wymyślić takie 2 liczby, że ich iloczyn to 2 razy 3 czyli 6, a ich suma to 5. Łatwo zgadnąć że pasują tutaj liczby 2 i 3. Przepiszemy wyrażenie jako 2x^2 + 2x + 3x + 3. No to zapisaliśmy, teraz dodam nawiasy w ten sposób, postanowiłem zgrupować 2x^2 z 2x bo dzielą się przez 2, i podobnie zgrupowałem 3x z 3. W tych równaniach mamy odpowiednio 2 i 3. Zatem tutaj możemy wyciągnąć przed nawias 2x, dostajemy 2x razy x + 1, a tutaj wyciagamy 3, i dostajemy 3 razy x + 1. Jak widać grupowanie zakończyło się sukcesem. Całość zapisujemy jako 2x + 3 razy x + 1. Czyli tutaj też się udalo rozłożyć na czynniki. Udało nam się rozłożyć mianownik. Właśnie zdałem sobie sprawę, że popełniłem błąd. Przepisałem +3 zamiast -3 niestety. Musimy się niestety trochę cofnąć. To byłby potworny błąd. Musielibyśmy powtórzyć cały filmik. Pozwólcie że zetrę cały ten napis. Już usunąłem. Przepisuję 2x^2 + 5x - 3. Czyli a razy b ma być równe -3 razy 2 co daje -6. W dodatku a dodać b ma być równe 5. W tym przypadku wygląda na to, że 6 i -1 są dobrym wyborem liczb. No bo 6 - 1 = 5 i 6 * -1 = -6. Szczęśliwie uniknęliśmy błędu. Możemy przepisać to wyrażenie grupując 2x^2 z 6x, ponieważ mają wspólny dzielnik. Piszemy zatem 6x - x, bo to to samo co 5x, wystarczyło się zorientować na jakie części podzielić 5x. Wybraliśmy 6x i -x, teraz dodamy nawiasy, z pierwszego wyciągnę 2x dostając 2x razy x + 3. W drugim wyciągnę -1, dostając -1 razy x + 3. Grupowanie znowu daje wyniki! Zmienię może kolor pisaka. Dostajemy 2x - 1 razy x + 3. Zatem mianownik naszego ułamka jest równy 2x - 1 razy x + 3. Ponownie mamy wspólny dzielnik w liczniku i mianowniku, mianowicie x + 3. Musimy jeszcze dodać warunek, że x nie może być równe -3, bo inaczej mianownik mógłby być 0 i wyrażenie nie miałoby sensu. Zapisujemy zatem, x różne od -3. Czyli wyrażenie na górze jest równe 3x - 6 przez 2x - 1, o ile dorzucimy warunek że x jest różne od -3. Mam nadzieję że to było pouczające.