Główna zawartość

Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Rozdział 9

Lekcja 3: Symetrie

Symetria wielomianów

Naucz się jak rozpoznawać, czy wielomian jest parzysty, nieparzysty, czy żaden z tych.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Funkcję nazywamy parzystą, jeśli jej wykres jest symetryczny względem osi

O Y

Algebraicznie,

f

jest funkcją parzystą, jeśli

f (- x) = f (x)

dla wszystkich

x

Funkcja jest nieparzysta, jeśli jej wykres jest symetryczny względem punktu znajdującego się w początku układu współrzędnych.

Algebraicznie,

f

jest funkcją nieparzystą, jeśli

f (- x) = - f (x)

dla wszystkich

x

Jeżeli jest to dla Ciebie nowe, zalecamy, abyś przeczytał nasz artykuł na temat wstępu do symetrii funkcji.

Czego nauczysz się w tej lekcji

Dowiesz się jak określić czy wielomian jest parzysty, nieparzysty albo ani taki, ani taki, na podstawie równania wielomianu.

Rozważanie: Symetria jednomianów

Jednomian to jednowyrazowy wielomian. Jednomiany mają formę

f (x) = a x^{n}

gdzie

a

jest liczbą rzeczywistą, a

n

jest liczbą całkowitą większą bądź równą

0

W tym badaniu przeanalizujemy symetrię kilku jednomianów, aby określić czy potrafimy podać ogólne warunki, kiedy jednomiany są parzyste lub nieparzyste.

Ogólnie, aby stwierdzić czy nasza funkcja

f

jest parzysta, nieparzysta, albo ani taka, ani taka, analizujemy ile wynosi wyrażenie

f (- x)

Jeśli $f (- x)$ ‍ wynosi tyle samo co $f (x)$ ‍, wtedy wiemy, że $f$ ‍ jest parzysta.
Jeśli $f (- x)$ ‍ jest równe minus $f (x)$ ‍, wtedy wiemy, że $f$ ‍ jest nieparzysta.
W przeciwnym przypadku nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Jako pierwszy przykład określmy czy

f (x) = 4 x^{3}

jest parzysta, nieparzysta, czy ani taka, ani taka.

$\begin{aligned} f (- x) & = 4 (- x)^{3} \\ = 4 (- x^{3}) & (- x)^{3} = - x^{3} \\ = - 4 x^{3} & Uprość \\ = - f (x) & Bo f (x) = 4 x^{3} \end{aligned}$ ‍

Tutaj

f (- x) = - f (x)

, a więc funkcja

f

jest funkcją nieparzystą.

[Chcę zobaczyć wykres i sprawdzić czy rzeczywiście f jest nieparzysta.]

Teraz spróbuj sam rozwiązać parę przykładów, aby zobaczyć czy znajdziesz jakąś prawidłowość.

1) Czy $g (x) = 3 x^{2}$ ‍ jest parzysta, nieparzysta, czy ani taka, ani taka?

[Potrzebuję pomocy!]

2) Czy $h (x) = - 2 x^{5}$ ‍ jest parzysta, nieparzysta, czy ani taka, ani taka?

[Potrzebuję pomocy!]

Wnioski z badania

Na podstawie powyższych zadań możemy stwierdzić, że jeśli

f

jest jednomianem parzystego stopnia, to funkcja

f

jest funkcją parzystą. Podobnie, jeśli

f

jest jednomianem nieparzystego stopnia, to funkcja

f

jest funkcją nieparzystą.

	Funkcja parzysta	Funkcja nieparzysta
Przykłady	$g (x) = 3 x^{2}$ ‍	$h (x) = - 2 x^{5}$ ‍
Ogólnie	$f (x) = a x^{n}$ ‍ gdzie $n$ ‍ jest $parzyste$ ‍	$f (x) = a x^{n}$ ‍ gdzie $n$ ‍ jest $nieparzyste$ ‍

Jest tak, ponieważ

(- x)^{n} = x^{n}

gdy

n

jest parzyste i

(- x)^{n} = - x^{n}

gdy

n

jest nieparzyste.

To jest prawdopodobnie powód dlaczego tak nazwano funkcje parzyste i nieparzyste!

Rozważanie: Symetria wielomianów

W tym badaniu, przeanalizujemy symetrię wielomianów o więcej niż jednym wyrazie.

Przykład 1: $f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍

Aby stwierdzić czy

f

jest parzysta, nieparzysta, czy ani taka, ani taka, obliczmy

f (- x)

\begin{aligned} f (- x) & = 2 (- x)^{4} - 3 (- x)^{2} - 5 \\ = 2 (x^{4}) - 3 (x^{2}) - 5 & (- x)^{n} = x^{n} gdy n jest nieparzyste \\ = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5 & Uprość \\ = f (x) & Bo f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5 \end{aligned}

Ponieważ

f (- x) = f (x)

, funkcja

f

jest parzysta.

Zauważ, że

f

ma wszystkie wyrazy parzystego stopnia.

Przykład 2: $g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍

Znów zaczynamy od obliczenia

g (- x)

\begin{aligned} g (- x) & = 5 (- x)^{7} - 3 (- x)^{3} + (- x) \\ = 5 (- x^{7}) - 3 (- x^{3}) + (- x) & (- x)^{n} = - x^{n} gdy n jest nieparzyste \\ = - 5 x^{7} + 3 x^{3} - x & Uprość \end{aligned}

W tym miejscu zwróć uwagę, że każdy wyraz

g (- x)

ma przeciwny znak niż każdy wyraz

g (x)

. Innymi słowy,

g (- x) = - g (x)

, a więc

g

jest nieparzysta.

Zauważ, że

g

ma wszystkie wyrazy nieparzystego stopnia.

Przykład 3: $h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍

Obliczmy

h (- x)

\begin{aligned} h (- x) & = 2 (- x)^{4} - 7 (- x)^{3} \\ = 2 (x^{4}) - 7 (- x^{3}) & (- x)^{4} = x^{4} i (- x)^{3} = - x^{3} \\ = 2 x^{4} + 7 x^{3} & Uprość \end{aligned}

2 x^{4} + 7 x^{3}

nie jest ani takie same jak

h (x)

, ani nie jest przeciwnego znaku niż

h (x)

Matematycznie,

h (- x) \neq h (x)

h (- x) \neq - h (x)

, a więc

h

jest ani taka, ani taka.

Zauważ, że

h

ma jeden wyraz parzystego stopnia i jeden wyraz nieparzystego stopnia.

Wnioski z badania

Ogólnie, możemy stwierdzić, czy wielomian jest parzysty, nieparzysty czy ani taki, ani taki, analizując każdy pojedynczy wyraz.

‍	Ogólna reguła	Przykład wielomianu
Parzysty	Wielomian jest parzysty, jeżeli każdy wyraz jest funkcją parzystą	$f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 5$ ‍
Nieparzysty	Wielomian jest nieparzaysty, jeżeli każdy wyraz jest funkcją nieparzystą.	$g (x) = 5 x^{7} - 3 x^{3} + x$ ‍
Ani taki, ani taki	Wielomian nie jest ani parzysty, ani nie jest nieparzysty, jeżeli jest zbudowany z funkcji parzystych i nieparzystych.	$h (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3}$ ‍