If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Symetria wielomianów

Naucz się jak rozpoznawać, czy wielomian jest parzysty, nieparzysty, czy żaden z tych.

Co powinno się wiedzieć przed przystąpieniem do tej lekcji

Funkcję nazywamy parzystą, jeśli jej wykres jest symetryczny względem osi O, Y.
Algebraicznie, f jest funkcją parzystą, jeśli f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis dla wszystkich x.
Funkcja jest nieparzysta, jeśli jej wykres jest symetryczny względem punktu znajdującego się w początku układu współrzędnych.
Algebraicznie, f jest funkcją nieparzystą, jeśli f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis dla wszystkich x.
Jeżeli jest to dla Ciebie nowe, zalecamy, abyś przeczytał nasz artykuł na temat wstępu do symetrii funkcji.

Czego nauczysz się w tej lekcji

Dowiesz się jak określić czy wielomian jest parzysty, nieparzysty albo ani taki, ani taki, na podstawie równania wielomianu.

Rozważanie: Symetria jednomianów

Jednomian to jednowyrazowy wielomian. Jednomiany mają formę f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, n, end superscript gdzie a jest liczbą rzeczywistą, a n jest liczbą całkowitą większą bądź równą 0.
W tym badaniu przeanalizujemy symetrię kilku jednomianów, aby określić czy potrafimy podać ogólne warunki, kiedy jednomiany są parzyste lub nieparzyste.
Ogólnie, aby stwierdzić czy nasza funkcja f jest parzysta, nieparzysta, albo ani taka, ani taka, analizujemy ile wynosi wyrażenie f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis:
  • Jeśli f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis wynosi tyle samo co f, left parenthesis, x, right parenthesis, wtedy wiemy, że f jest parzysta.
  • Jeśli f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis jest równe minus f, left parenthesis, x, right parenthesis, wtedy wiemy, że f jest nieparzysta.
  • W przeciwnym przypadku nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
Jako pierwszy przykład określmy czy f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, cubed jest parzysta, nieparzysta, czy ani taka, ani taka.
f(x)=4(x)3=4(x3)(x)3=x3=4x3Uprosˊcˊ=f(x)Bo f(x)=4x3\begin{aligned}f(\blueD{-x})&=4(\blueD{-x})^3\\ \\ &=4(-x^3)&&\small{\gray{(-x)^3=-x^3}}\\ \\ &=-4x^3&&\small{\gray{\text{Uprość}}}\\ \\ &=-f(x)&&\small{\gray{\text{Bo $f(x)=4x^3$}}}\\ \end{aligned}
Tutaj f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, a więc funkcja f jest funkcją nieparzystą.
Teraz spróbuj sam rozwiązać parę przykładów, aby zobaczyć czy znajdziesz jakąś prawidłowość.
1) Czy g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared jest parzysta, nieparzysta, czy ani taka, ani taka?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

2) Czy h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, start superscript, 5, end superscript jest parzysta, nieparzysta, czy ani taka, ani taka?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Wnioski z badania

Na podstawie powyższych zadań możemy stwierdzić, że jeśli f jest jednomianem parzystego stopnia, to funkcja f jest funkcją parzystą. Podobnie, jeśli f jest jednomianem nieparzystego stopnia, to funkcja f jest funkcją nieparzystą.
Funkcja parzystaFunkcja nieparzysta
Przykłady g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscripth, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, start superscript, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, end superscript
Ogólnief, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, start color #aa87ff, n, end color #aa87ff, end superscript gdzie n jest start color #aa87ff, start text, p, a, r, z, y, s, t, e, end text, end color #aa87fff, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, start color #1fab54, n, end color #1fab54, end superscript gdzie n jest start color #1fab54, start text, n, i, e, p, a, r, z, y, s, t, e, end text, end color #1fab54
Jest tak, ponieważ left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, n, end superscript, equals, x, start superscript, n, end superscript gdy n jest parzyste i left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, n, end superscript, equals, minus, x, start superscript, n, end superscript gdy n jest nieparzyste.
To jest prawdopodobnie powód dlaczego tak nazwano funkcje parzyste i nieparzyste!

Rozważanie: Symetria wielomianów

W tym badaniu, przeanalizujemy symetrię wielomianów o więcej niż jednym wyrazie.

Przykład 1: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, x, squared, minus, 5

Aby stwierdzić czy f jest parzysta, nieparzysta, czy ani taka, ani taka, obliczmy f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.
f(x)=2(x)43(x)25=2(x4)3(x2)5(x)n=xn gdy n jest nieparzyste=2x43x25Uprosˊcˊ=f(x)Bo f(x)=2x43x25\begin{aligned}f(\blueD{-x})&=2(\blueD{-x})^4-3(\blueD{-x})^2-5\\ \\ &=2(x^4)-3(x^2)-5&&\small{\gray{(-x)^n=x^n\text{ gdy $n$ jest nieparzyste}}}\\ \\ &=2x^4-3x^2-5&&\small{\gray{\text{Uprość}}}\\\\ &=f(x)&&\small{\gray{\text{Bo } f(x)=2x^4-3x^2-5}} \end{aligned}
Ponieważ f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, funkcja f jest parzysta.
Zauważ, że f ma wszystkie wyrazy parzystego stopnia.

Przykład 2: g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 3, x, cubed, plus, x

Znów zaczynamy od obliczenia g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.
g(x)=5(x)73(x)3+(x)=5(x7)3(x3)+(x)(x)n=xn gdy n jest nieparzyste=5x7+3x3xUprosˊcˊ\begin{aligned}g(\blueD{-x})&=5(\blueD{-x})^7-3(\blueD{-x})^3+(\blueD{-x})\\ \\ &=5(-x^7)-3(-x^3)+(-x)&&\small{\gray{(-x)^n=-x^n\text{ gdy $n$ jest nieparzyste}}}\\ \\ &=-5x^7+3x^3-x&&\small{\gray{\text{Uprość}}}\\ \end{aligned}
W tym miejscu zwróć uwagę, że każdy wyraz g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis ma przeciwny znak niż każdy wyraz g, left parenthesis, x, right parenthesis. Innymi słowy, g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, a więc g jest nieparzysta.
Zauważ, że g ma wszystkie wyrazy nieparzystego stopnia.

Przykład 3: h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, cubed

Obliczmy h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.
h(x)=2(x)47(x)3=2(x4)7(x3)(x)4=x4 i (x)3=x3=2x4+7x3Uprosˊcˊ\begin{aligned}h(\blueD{-x})&=2(\blueD{-x})^4-7(\blueD{-x})^3\\ \\ &=2(x^4)-7(-x^3)&&\small{\gray{(-x)^4=x^4\text{ i } (-x)^3=-x^3}}\\ \\ &=2x^4+7x^3&&\small{\gray{\text{Uprość}}}\\\\ \end{aligned}
2, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 7, x, cubed nie jest ani takie same jak h, left parenthesis, x, right parenthesis, ani nie jest przeciwnego znaku niż h, left parenthesis, x, right parenthesis.
Matematycznie, h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, does not equal, h, left parenthesis, x, right parenthesis i h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, does not equal, minus, h, left parenthesis, x, right parenthesis, a więc h jest ani taka, ani taka.
Zauważ, że h ma jeden wyraz parzystego stopnia i jeden wyraz nieparzystego stopnia.

Wnioski z badania

Ogólnie, możemy stwierdzić, czy wielomian jest parzysty, nieparzysty czy ani taki, ani taki, analizując każdy pojedynczy wyraz.
empty spaceOgólna regułaPrzykład wielomianu
ParzystyWielomian jest parzysty, jeżeli każdy wyraz jest funkcją parzystąf, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, x, squared, minus, 5
NieparzystyWielomian jest nieparzaysty, jeżeli każdy wyraz jest funkcją nieparzystą.g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 3, x, cubed, plus, x
Ani taki, ani takiWielomian nie jest ani parzysty, ani nie jest nieparzysty, jeżeli jest zbudowany z funkcji parzystych i nieparzystych.h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, cubed

Sprawdź, czy rozumiesz

3) Czy f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, squared, plus, 5 jest parzysta, nieparzysta, czy ani taka, ani taka?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

4) Czy g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 6, x, cubed, plus, x, squared jest parzysta, nieparzysta, czy ani taka, ani taka?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

5) Czy h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 10, x, start superscript, 5, end superscript, plus, 2, x, cubed, minus, x jest parzysta, nieparzysta, czy ani taka, ani taka?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź: