Główna zawartość
Algebra 2
Kurs: Algebra 2 > Rozdział 11
Lekcja 8: Rysowanie wykresu funkcji sinusoidalnejOdczytywanie sinusoidy z wykresu
Znajdujemy równianie sinusoidy, której wykres osiąga minimum w (-2,5) i maksimum (2,1). Stworzone przez: Sal Khan.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji
Transkrypcja filmu video
Napisz równanie funkcji f
od x o powyższym wykresie. Czyli mamy tę wybitnie
okresową funkcję. Czyli natychmiast
moglibyście powiedzieć, cóż, to będzie albo funkcja sinus,
albo cosinus. Jednak jej oś symetrii
i jej amplituda nie należą do zwykłej
funkcji sinus, lub cosinus. I możemy to zobaczyć
o tutaj. Oś symetrii jest w połowie
drogi między maksimum i minimum. Maksimum jest tutaj
i osiąga wartość y równy 1. W minimum wartość
y jest równa minus 5. Czyli w połowie drogi
między nimi, średnia z 1 i minus 5, 1 dodać
odjąć 5 to minus 4. Podzielone przez 2 to
minus 2. Czyli tutaj jest
oś symetrii. Czyli to jest
y równe minus 2. Czyli wyraźnie jest
to przesunięte w dół. Właściwie, będę
mówić za moment, jak się to może wyrażać. Lecz teraz, także,
pomyślmy o amplitudzie. Tu amplituda - czyli jak
daleko można odejść od osi symetrii
- widzimy tutaj. Tu możemy iść 3 jednostki
ponad oś symetrii. Idąc od minus 2 do 1,
to wymaga 3 jednostki ponad oś symetrii do maksimum. I także możemy iść 3 jednostki
poniżej osi symetrii aż do minimum. Czyli wyraźnie amplituda
tutaj wynosi 3. Czyli natychmiast możemy
powiedzieć, cóż, spójrzcie. To będzie mieć formę
coś na kształt f od x równe czemuś
o amplitudzie 3. Jeszcze nie doszliśmy
do wniosku czy to będzie funkcja sinus,
czy cosinus. Więc napiszę "cosinus"
wpierw. Cosinus może od jakiś
współczynnik razy x dodać oś symetrii. Oś symetrii
- już doszliśmy do wniosku - to minus 2. Czyli to może przybrać
tę formułę, lub f od x równy 3 razy
- to mogłoby być sinus od x, lub sinus od jakiś
współczynnik razy x. Sinus od kx odjąć 2 dodać
oś symetrii - czyli minus 2. Tak więc jak się dowiemy
która z tych form to jest? Cóż, pomyślmy o
właściwościach tej funkcji gdy x jest równy 0. Gdy x jest równy 0,
jeśli to jest kx, wówczas argument dla
funkcji cosinus będzie równy 0. Cosinus dla 0 to 1. Bez względu na to, czy
mówicie o stopniach, czy radianach, cosinus dla 0 jest równy 1. Podczas gdy sinus dla 0
- więc gdy x to 0, to k razy 0 to też będzie 0 - sinus
dla 0 to 0. Czyli która z tych rzeczy zachodzi
dla x równego 0? Cóż, gdy x jest równy 0,
jesteśmy na osi symetrii. Jeśli jesteśmy na osi symetrii,
oznacza to, że to wszystko tutaj wynosi 0. Czyli, ponieważ gdy x jest
równy 0, to wszystko jest równe 0, możemy
wykluczyć funkcję cosinus. Gdy x jest równe 0 tu,
to nie jest równe 0. Czyli możemy wykluczyć
to tutaj. Czyli zostaliśmy z tym. Czyli naprawdę potrzebujemy
się dowiedzieć - ile może wynosić
ta stała? I aby o tym pomyśleć
spójrzmy na okres tej funkcji. Zobaczmy. Jeśli poszliśmy
z tego punktu - gdzie dzielimy oś symetrii
pod dodatnim nachyleniem, kolejny punkt, gdzie tak się
dzieje jest tutaj. Czyli nasz okres to 8. Czyli jaki współczynnik
moglibyśmy mieć tutaj by okres naszej
funkcji byłby równy 8? Cóż, przypomnijmy sobie jaki jest okres sinusa od x. Więc, okres
sinusa od x - napiszę tu słowo
"okres" - to 2 pi. Zwiększasz kąt o
2 pi, lub zmniejszasz go i jesteś w tym samym punkcie
okręgu jednostkowego. Więc jaki byłby okres
sinusa od kx? Cóż, teraz, wasz x, argument
wzrasta k razy szybciej. Czyli wrócimy do tego samego
punkty k razy szybciej. Czyli teraz okres to
będzie 1/k początkowego. Czyli teraz okres to
będzie 2 pi przez k. Zauważcie, gdy x wzrasta,
argument funkcji sinus wzrasta k razy szybciej. Mnożycie go przez k. Czyli wasz okres będzie
krótki. To zajmie mniejszy dystans
dla argumentu by wrócić do początkowego
punktu na okręgu jednostkowym. Pomyślmy o tym
w ten sposób - gdybyśmy powiedzieli, że
2 pi przez k jest równe 8, cóż, to jakie jest nasze k? Cóż, moglibyśmy wziąć
odwrotność po obu stronach. Otrzymujemy k przez 2 pi
jest równe 1/8. Mnożymy obie strony przez 2 pi. I otrzymujemy k jest
równe - spójrzmy. To jest 1. To jest 4. k jest równe pi/4. I to wszystko. I możemy to zweryfikować
wypróbowując trochę punktów spośród tych. Ta funkcja jest równa 3
sinus od pi przez 4x odjąć 2.