Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:3:54
0 punktów energii
Uczysz się do testu? Skorzystaj z tych 8 lekcji na temat Całki oznaczone i podstawowe twierdzenie rachunku całkowego.
Zobacz 8 lekcji
Transkrypcja filmu video (w języku angielskim)
Zdefiniujmy funkcję F(x) równą całce oznaczonej od pi do x, z cotangens(t) do kwadratu. Całkujemy po t. Chcemy znaleźć pochodną F(x). Ile wynosi ta pochodna? Oczywiście zastosujemy podstawowe twierdzenie rachunku całkowego. Znajdźmy więc pochodną po x (przekopiujmy po prostu tę całkę oznaczoną) . Liczymy więc pochodną po x z tej całki. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego mówi nam, że szukana pochodna będzie równa funkcji podcałkowej, zależącej nie od t, ale od x. Więc szukana pochodna jest równa cotangens(x) do kwadratu. Czasem, widząc takie zadanie na egzaminie, myślimy: "O nie, muszę znaleźć funkcję pierwotną,znaleźć jej wartości w granicach całkowania, odjąć i jeszcze obliczyć pochodną!". Wcale nie! Wystarczy zastosować podstawowe twierdzenie rachunku całkowego. To naprawdę robi się szybko i bardzo łatwo. Teraz zrobimy coś bardziej skomplikowanego. Rozpatrzymy całkę oznaczoną od pi, ale tym razem nie do x, ale do x do kwadratu. Zapiszmy to x^2 innym kolorem, aby się wyróżniało. Znowu funkcją podcałkową będzie cotangens(t) do kwadratu. Całkujemy po t. Chcemy znaleźć pochodną po x z tej całki. Jak to zrobić? Przypomnijmy sobie, jak była określona funkcja F(x). Tu zamiast x mamy x^2. A więc szukana pochodna będzie równa pochodnej po x z funkcji F, której argumentem jest nie x, ale x^2. Po prostu zamiast x wstawiamy x^2 i obliczamy pochodną po x z funkcji F(x^2). Musimy więc obliczyć pochodną złożenia. Obliczamy więc pochodną po x^2 z funkcji F, czyli F'(x^2) przemnożone przez pochodną po x z x^2. Zauważmy, że najpierw różniczkujemy F po x^2, a potem mnożymy przez pochodną z x^2 po x. Różniczkujemy tu po prostu złożenie funkcji. Jaka jest pochodna z F po x^2? Jeśli do znalezionej wcześniej pochodnej funkcji F, zamiast x wstawimy x^2, otrzymamy cotangens(x^2) do kwadratu. A więc pochodna z F po x^2 będzie po prostu równa cotangens(x^2) do kwadratu. Na koniec musimy jeszcze pomnożyć przez pochodną z x^2 po x, czyli przez 2x. A więc szukana pochodna wynosi: 2x przemnożone przez cotangens(x^2) do kwadratu.