Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:9:07
0 punktów energii
Uczysz się do testu? Skorzystaj z tych 7 lekcji na temat Wprowadzenie do pochodnych.
Zobacz 7 lekcji
Transkrypcja filmu video (w języku angielskim)
Oto obraz Isaaca Newtona, bardzo znanego brytyjskiego matematyka oraz fizyka a to jest zdjęcie Gottfrieda Leibniza bardzo znanego choć może nie tak znanego jak powinien być niemieckiego filozofa i matematyka, który był współczesny Isaacowi Newtonowi. Ci dwaj panowie byli razem ojcami zalozycielami rachunku rozniczkowego i zrobili część swojej, większość swojej głownej pracy pod koniec XVII wieku i ten tutaj to Usain Bolt sprinter z Jamajki ktory kontynuuje swoją pracę w 2012 roku i jeszcze na początku 2012 roku jest najszybszym żyjącym człowiekiem i prawdopodobnie jest najszybszym człowiekiem jaki kiedykolwiek żył i może nie stworzyłeś jeszcze związku między tymi trzema panami. Może myślisz, że nie mają za dużo wspólnego ale oni wszyscy byli zafascynowani tym samym fundamentalnym pytaniem, na które rachunek różniczkowy odpowiada i tym pytaniem jest jakie jest chwilowe tempo zmiany czegoś. W przypadku Usaina Bolta, jak szybko biegnie w tej chwili? Nie tylko z jaką średnią prędkością biegł przez ostatnia sekunde albo z jaką średnia prędkością będzie biegł przez następne 10 sekund. Jak szybko biegnie w tej chwili? I o tym właśnie jest rachunek różniczkowy. Chwilowe tempo zmian. Rachunek całkowy. [Rachunek] ... i oryginalnym terminem Newtona na rachunek różniczkowy była metoda fleksji, co brzmi trochę fantazyjniej, ale chodzi o to, co się dzieje w tej chwili. W tej chwili. I zeby zrozumieć czemu nie jest to bardzo łatwy problem do rozwiązania tradycyjną algebrą, narysujmy graf. Więc na tej osi, na tej osi, będe miał odległość i mówię y jest równe dystansowi. Mogłem ustalić, że d jest równe dystansowi, ale jak potem zobaczymy w rachunku różniczkowym d jest zarezerwowane na coś innego. Wiec y jest równe dystansowi. I na tej osi, ustalimy czas. I mogłem ustalić t=czas ale raczej ustalę x=time. x=time. Więc jeśli mamy naszkicować drogę Usaina Bolta jako funkcję czasu wtedy w czasie 0 nie przebiegl nigdzie. Jest dokladnie tutaj i wiemy, ze ten pan jest w stanie przebyć 100 metrów w 9.58 sekund wiec po 9.58 sekundach zakładamy ze to jest w sekundach tutaj, przebiegł 100 metrów. 100 metrów. i uzywajac tej informacji mozemy obliczyc jego srednia predkosc jego srednia predkosc w tej chwili bedzie rowna zmianie drogi podzielonej przez zmiane czasu i uzywajac zmiennych, ustalamy ze y=droga i to jest zmiana w y podzielona przez zmiane w x od tego punktu do tego. I to moze skojarzyc ci sie z podstawowa algebra. To nachylenie pomiędzy tymi dwoma punktami. Jeśli połączę te dwa punkty linia i jeśli mam linie która połączy te dwa punkty, to to jest nachylenie tej linii. Zmiana odleglosci jest wlasnie tym odcinkiem, Zmiana w y =100m i nasza zmiana w czasie to ten odcinek wiec zmiana w czasie wynosi 9.58 sekundy, zaczynamy od 0, idziemy do 9.58 sekund. Innym sposobem by o tym myśleć jest wzrost wartości po argumentach. mogłeś o tym słyszeć na lekcjach algebry. Bedzie wynosic 100 metrow przez 9.58 sekund Wiec to jest 100m/9.58s I nachylenie wykresu jest tak naprawdę tempem zmiany, albo średnim tempem zmiany, pomiędzy tymi dwoma punktami. I później zobaczysz ze jeśli wyprowadzisz jednostki wyjdą ci jednostki szybkości. Będzie to prędkość, jeśli weźmiemy pod uwagę kierunek I możemy dowiedzieć się jaka ta prędkość jest. Niech wyciagne kalkulator. Wiec, niech wyjmę... kalkulator na ekran. Wiec liczymy 100 metrów przez 9.58 sekund to około 10.4 okolo 10.4 i jednostki to metry na sekunde I oto jego srednia predkosc. I za chwile zobaczymy jak jego srednia predkosc jest rozna od jego predkosci chwilowej Jak jest rozna od predkosci z jaka moze biec w kazdej danej chwili. I żeby mieć pojecie jak szybko to może byc niech otworze kalkulator jeszcze raz. To jest w metrach na sekundę. Jeśli chcecie wiedzieć ile metrów przebiega na godzinę, gdzie zmiana x zbiega do 0 i zdefiniujemy to bardziej ściśle w przyszłych filmach. jest 3600 sekund w godzinie. Więc byłby w stanie pobiec taką ilość metrów 3600 razy. Więc tak dużo metrów może, o ile w jakiś sposób byłby w stanie utrzymać tę prędkość przez godzinę, to jest prędkość z jaką biega w metrach na godzinę. I teraz jeżeli mielibyście powiedzieć jak dużo mil na godzinę, to jest około 1600 i nie znam dokładnej liczby ale około 1600 metrów w mili, więc podzielmy to przez 1600. I widać, że jest to lekko ponad 23, około 23 i 1/2 mili na godzinę. To jest około... Pozwólcie, że napiszę to w ten sposób, to jest około 23.5 mph. Przesunę to. Mil na godzinę. I w porównaniu do samochodu to nie dużo, ale w porównaniu do mnie jest to baaaardzo szybko. Teraz, aby zobaczyć czym to się różni od chwilowej prędkości, Pozwólcie, że pomyślę teraz o potencjalnym wykresie dystansu do czasu. On nie zamierza biec z taką prędkością od razu. On nie zamierza wystartować od razu po strzale. On nie będzie po prostu biegł 23 i 1/2 mph przez całą drogę. On będzie przyspieszał. Więc najpierw zacznie odrobinę wolniej. Jego nachylenie będzie troszkę niższy niż średnie nachylenie. On będzie troszeczkę wolniejszy. Następnie zacznie przyspieszać. Tak jak jego prędkość. I widzicie, że jego nachylenie jest coraz większe i większe i następnie, być może na końcu, zaczyna się trochę męczyć. Więc jego stosunek dystansu do czasu może być krzywą o podobnym do tego kształcie. I co my tutaj policzyliśmy to średnie dla tej zmiany w czasie. Możemy to zobaczyć w każdym momencie, nachylenie jest zawsze różne. Na początku miał mniejszą zmianę dystansu. Następnie, gdy zaczął przyspieszać, o tutaj, wygląda jakby jego zmiana dystansu byłaby mniej więcej - albo możesz to zobaczyć jako nachylenie tangensa w tym punkcie - wygląda na wyższe niż średnie. I następnie znowu zaczyna zwalniać. ?? ... Średnia to około 23.5 mil na godzinę. I spojrzałem na chwilową prędkość Usaina Bolta na jego szczytową chwilową prędkość, jest ona bliska 30 mil na godzinę. Więc to nachylenie mogłoby być 23... mil na godzinę, ale chwilowo, jego najszybszy punkt w tych 9.58 sekundach jest bliski 30 mil na godzinę. Ale widzicie, że to nie jest jakaś oczywista rzecz. Moglibyście powiedzieć: Ok, pozwólcie, że spróbuję przybliżyć nachylenie w tym miejscu i moglibyście to zrobić przez powiedzenie: Ok, cóż, jaka jest zmiana w "y" nad zmianą w "x" w okolicy tego. Moglibyście powiedzieć: Wezmę sobie zmianę w x i wykombinuje jaka jest zmiana w y w okolicy tego. Lub jeżeli to ominiemy. Więc mamy to, ale to byłoby tylko przybliżenie. Ponieważ widzicie, że nachylenie tej krzywej ciągle się zmienia. Więc to co chcecie zrobić to zobaczyć co się stanie gdy zmiana x będzie coraz mniejsza. Gdy zmiana x staje się coraz mniejsza i mniejsza dostajemy coraz lepsze przybliżenie. Zmiana w y staje się coraz mniejsza i mniejsza. Więc to co chcecie zrobić, a my będziemy zgłębiać i studiować to bardziej ściśle, to wzięcie granicy przy zmianie x dążącej do 0. Gdy zmiana x dąży do zera z zmiany w y nad zmianą w x i kiedy to zrobicie, to zbliżycie się do chwilowego tempa zmiany które moglibyście zobaczyć jako chwilowe nachylenia w danym punkcie na krzywej. Lub nachylenie tangensa w tym punkcie na krzywej. Lub jeżeli używamy terminologii z analizy, zobaczylibyśmy to jako pochodną. Więc chwilowe nachylenie to pochodna. I notacja której używamy przy pochodnej to dy nad dx. I dlatego zarezerwowałem literę y. Jak to się ma do słowa "różniczka"? To dy to różniczka, dx to różniczka. I droga aby utworzyć pojęcie tego to nieskończenie mała zmiana w y nad nieskończenie małą zmianą w x. I przez branie bardzo, bardzo, bardzo małej zmiany w y lub w x jesteście w stanie dostać to chwilowe nachylenie lub w tym przypadku chwilową prędkość Usaina Bolta w konkretnym momencie. I zauważcie, nie możecie po prostu włożyć tutaj zera. Jeżeli włożymy 0 jako zmianę w x dostaniecie coś niezdefiniowanego. Nie możecie dzielić przez 0. Bierzecie granicę