Główna zawartość
Analiza matematyczna - program rozszerzony I
Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 5
Lekcja 4: Poszukiwanie ektremów lokalnych za pomocą badania pierwszej pochodnej- Wprowadzenie do punktów minimum i maksimum
- Wyznaczanie ekstremów lokalnych (badanie pierwszej pochodnej)
- Przykład znajdowania minimów i maksimów lokalnych
- Typowe błędy popełniane przy wyznaczaniu ekstremów funkcji (przykład 1)
- Typowe błędy popełniane przy wyznaczaniu ekstremów funkcji (przykład 2)
- Wyznaczanie ekstremów lokalnych (badanie pierwszej pochodnej)
- Minima i maksima lokalne
- Minima i maksima lokalne - podsumowanie
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Wyznaczanie ekstremów lokalnych (badanie pierwszej pochodnej)
Badanie pierwszej pochodnej polega na analizie zachowania funkcji w oparciu o to, jak zachowuje się jej pochodna w celu wyznaczenia ekstremów funkcji. Wymaga to wykonania kilku kroków, podzielimy więc algorytm na mniejsze części, aby uniknąć przykrych w konsekwencjach pomyłek i przeoczeń. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Jak postąpić, jeśli mamy dany wzór pewnej funkcji i proszą nas, abyśmy wyznaczyli wszystkie lokalne maksima i minima tej funkcji? To się da zrobić! W tym celu należy starannie zbadać zachowanie pierwszej pochodnej naszej funkcji. Spróbujemy wyjaśnić o co chodzi w taki sposób, by uniknąć nieporozumień i błędów.
Przykład: Znajdowanie maksimów i minimów lokalnych funkcji
Krok 1: obliczenie
Aby wyznaczyć lokalne ekstrema funkcji , musimy znać . Zacznijmy więc od obliczenia pochodnej :
Krok 2: wyznaczenie wszystkich punktów krytycznych i wszystkich punktów, w których jest nieokreślone.
Punktami krytycznymi funkcji są te wartości argumentu , należące do dziedziny funkcji , w których , lub w których nie jest określona. Oprócz tego szukamy także punktów, w których sama funkcja nie jest określona.
Ważne jest to, że nie może zmieniać znaku pomiędzy dwoma kolejnymi takimi punktami.
W tym przypadku, chodzi o punkty , i .
Krok 3: Badanie, na których przedziałach funkcja rośnie/maleje
Można to zrobić na różne sposoby, my zrobimy to tak: wybieramy dowolny punkt z każdego z przedziałów pomiędzy kolejnymi punktami, które wyznaczyliśmy w Kroku 2 i sprawdzamy, jaki znak ma pochodna w tym punkcie.
A oto tabelka ze znakami pochodnej naszej funkcji:
Przedział | Wartość | Wniosek | |
---|---|---|---|
Krok 4: Wyznaczanie ekstremów lokalnych
Gdy już wiemy, na których przedziałach funkcja rośnie lub maleje, możemy określić jej ekstrema. Ekstremum to punkt, w którym funkcja jest dobrze określona oraz pochodna zmienia swój znak.
W naszym wypadku:
rośnie przed , a potem maleje, ponadto wartość funkcji jest dobrze określona dla . Wnioskujemy stąd, że funkcja ma w punkcie maksimum lokalne. maleje przed ,a potem rośnie, jest też ona dobrze określona dla . Wynika stąd, ze funkcja osiąga w punkcie minimum lokalne. jest nieokreślona dla , a więc nie ma tam ekstremum.
Częsty błąd: brak sprawdzenia punktów krytycznych
Pamiętaj: Nie można zakładać, że każdy punkt krytyczny to ekstremum. Zawsze należy sprawdzić, czy w punktach krytycznych sama funkcja jest dobrze określona, a jej pochodna zmienia znak.
Częsty błąd: zapominanie o punktach, w których pochodna funkcji jest nieokreślona
Pamiętaj: analizując przedziały, w których funkcja rośnie lub maleje, musisz wziąć pod uwagę wszystkie punkty, w których pierwsza pochodna równa się zero oraz wszystkie punkty, w których pierwsza pochodna nie jest określona. Jeśli przegapisz któryś z takich punktów, jest duża szansa, że Twoja analiza będzie błędna.
Często spotykany błąd: zapominanie o określeniu dziedziny funkcji
Pamiętaj: po wyznaczeniu punktów, w których funkcja zmienia swój charakter z rosnącej na malejącą, lub odwrotnie, musisz zawsze sprawdzić, czy funkcja jest w tych punktach dobrze określona, to znaczy, czy te punkty należą do dziedziny funkcji. Jeśli nie, nie są to punkty, w których funkcja ma ekstremum lokalne.
Ćwiczenie na badanie pierwszej pochodnej
Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji