If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Wyznaczanie ekstremów lokalnych (badanie pierwszej pochodnej)

Badanie pierwszej pochodnej polega na analizie zachowania funkcji w oparciu o to, jak zachowuje się jej pochodna w celu wyznaczenia ekstremów funkcji. Wymaga to wykonania kilku kroków, podzielimy więc algorytm na mniejsze części, aby uniknąć przykrych w konsekwencjach pomyłek i przeoczeń. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Jak postąpić, jeśli mamy dany wzór pewnej funkcji i proszą nas, abyśmy wyznaczyli wszystkie lokalne maksima i minima tej funkcji? To się da zrobić! W tym celu należy starannie zbadać zachowanie pierwszej pochodnej naszej funkcji. Spróbujemy wyjaśnić o co chodzi w taki sposób, by uniknąć nieporozumień i błędów.

Przykład: Znajdowanie maksimów i minimów lokalnych funkcji f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, x, minus, 1, end fraction

Krok 1: obliczenie f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Aby wyznaczyć lokalne ekstrema funkcji f, musimy znać f, prime. Zacznijmy więc od obliczenia pochodnej f:
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, minus, 2, x, divided by, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, end fraction
Krok 2: wyznaczenie wszystkich punktów krytycznych i wszystkich punktów, w których f jest nieokreślone.
Punktami krytycznymi funkcji f są te wartości argumentu x, należące do dziedziny funkcji f, w których f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, lub w których f, prime nie jest określona. Oprócz tego szukamy także punktów, w których sama funkcja f nie jest określona.
Ważne jest to, że f, prime nie może zmieniać znaku pomiędzy dwoma kolejnymi takimi punktami.
W tym przypadku, chodzi o punkty x, equals, 0, x, equals, 1 i x, equals, 2.
Krok 3: Badanie, na których przedziałach funkcja rośnie/maleje
Można to zrobić na różne sposoby, my zrobimy to tak: wybieramy dowolny punkt z każdego z przedziałów pomiędzy kolejnymi punktami, które wyznaczyliśmy w Kroku 2 i sprawdzamy, jaki znak ma pochodna w tym punkcie.
A oto tabelka ze znakami pochodnej naszej funkcji:
PrzedziałWartość xf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisWniosek
left parenthesis, minus, infinity, comma, 0, right parenthesisx, equals, minus, 1f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 0, comma, 75, is greater than, 0f rośnie \nearrow
left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesisx, equals, 0, comma, 5f, prime, left parenthesis, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0f maleje \searrow
left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesisx, equals, 1, comma, 5f, prime, left parenthesis, 1, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0f maleje \searrow
left parenthesis, 2, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 3f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 0, comma, 75, is greater than, 0f rośnie \nearrow
Krok 4: Wyznaczanie ekstremów lokalnych
Gdy już wiemy, na których przedziałach funkcja f rośnie lub maleje, możemy określić jej ekstrema. Ekstremum to punkt, w którym funkcja f jest dobrze określona oraz pochodna f, prime zmienia swój znak.
W naszym wypadku:
  • f rośnie przed x, equals, 0, a potem maleje, ponadto wartość funkcji jest dobrze określona dla x, equals, 0. Wnioskujemy stąd, że funkcja f ma w punkcie x, equals, 0 maksimum lokalne.
  • f maleje przed x, equals, 2,a potem rośnie, jest też ona dobrze określona dla x, equals, 2. Wynika stąd, ze funkcja f osiąga w punkcie x, equals, 2 minimum lokalne.
  • f jest nieokreślona dla x, equals, 1, a więc nie ma tam ekstremum.
zadanie 1
Jacka poproszono o wyznaczenie ekstremów lokalnych funkcji f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 18, x, squared, plus, 54, x, plus, 50. Oto jego rozwiązanie:
Krok 1: f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared
Krok 2: Rozwiązanie f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 to x, equals, minus, 3.
Krok 3: f ma ekstremum lokalne w punkcie x, equals, minus, 3.
Czy rozwiązanie jacka jest poprawne? Jeśli nie, wskaż błąd.
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Częsty błąd: brak sprawdzenia punktów krytycznych

Pamiętaj: Nie można zakładać, że każdy punkt krytyczny to ekstremum. Zawsze należy sprawdzić, czy w punktach krytycznych sama funkcja jest dobrze określona, a jej pochodna zmienia znak.
Zadanie 2
Eryka miała wyznaczyć lokalne maksimum funkcji g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, minus, 1, right parenthesis, start superscript, 2, slash, 3, end superscript. Oto jej rozwiązanie:
Krok 1: g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 4, x, divided by, 3, cube root of, x, squared, minus, 1, end cube root, end fraction
Krok 2: punkt krytyczny znajduje się w x, equals, 0.
Krok 3:
IPrzedziałWartość x-valueg, prime, left parenthesis, x, right parenthesisWniosek
left parenthesis, minus, infinity, comma, 0, right parenthesisx, equals, minus, 3g, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, minus, 2, is less than, 0g jest funkcją malejącą \searrow
left parenthesis, 0, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 3g, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 2, is greater than, 0g jest funkcją rosnącą \nearrow
Krok 4: g jest funkcją malejącą na lewo od x, equals, 0 i funkcją rosnącą na prawo od tego punktu, a zatem funkcja jedynym ekstremum funkcji g jest lokalne minimum w x, equals, 0.
Czy obliczenia i wnioski Eryki są prawidłowe? A jeśli nie, to gdzie popełniła błąd?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Częsty błąd: zapominanie o punktach, w których pochodna funkcji jest nieokreślona

Pamiętaj: analizując przedziały, w których funkcja rośnie lub maleje, musisz wziąć pod uwagę wszystkie punkty, w których pierwsza pochodna równa się zero oraz wszystkie punkty, w których pierwsza pochodna nie jest określona. Jeśli przegapisz któryś z takich punktów, jest duża szansa, że Twoja analiza będzie błędna.
Zadanie 3
Kuba ma sprawdzić, czy funkcja h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction ma maksimum lokalne. Oto jego rozwiązanie:
Krok 1: h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 2, left parenthesis, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 1, right parenthesis, divided by, x, cubed, end fraction
Krok 2: punktami krytycznymi są x, equals, minus, 1 i x, equals, 1. Poza tym, h nie jest określone w punkcie x, equals, 0.
Krok 3:
PrzedziałWartość xh, prime, left parenthesis, x, right parenthesisWniosek
left parenthesis, minus, infinity, comma, minus, 1, right parenthesisx, equals, minus, 2h, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 3, comma, 75, is less than, 0h jest funkcją malejącą \searrow
left parenthesis, minus, 1, comma, 0, right parenthesisx, equals, minus, 0, comma, 5h, prime, left parenthesis, minus, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, 15, is greater than, 0h jest funkcją rosnącą \nearrow
left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesisx, equals, 0, comma, 5h, prime, left parenthesis, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 15, is less than, 0h jest funkcją malejącą \searrow
left parenthesis, 1, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 2h, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 3, comma, 75, is greater than, 0h jest funkcją rosnącą \nearrow
Krok 4: h jest funkcją rosnącą na lewo od x, equals, 0 i malejącą na prawo od x, equals, 0, a zatem h ma maksimum w punkcie x, equals, 0.
Czy rozwiązanie Kuby jest poprawne? Jeśli nie, wskaż błąd.
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Często spotykany błąd: zapominanie o określeniu dziedziny funkcji

Pamiętaj: po wyznaczeniu punktów, w których funkcja zmienia swój charakter z rosnącej na malejącą, lub odwrotnie, musisz zawsze sprawdzić, czy funkcja jest w tych punktach dobrze określona, to znaczy, czy te punkty należą do dziedziny funkcji. Jeśli nie, nie są to punkty, w których funkcja ma ekstremum lokalne.

Ćwiczenie na badanie pierwszej pochodnej

Zadanie 4
Niech f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 6, x, squared, minus, 15, x, plus, 2.
Dla jakiej wartości x funkcja f ma lokalne maksimum ?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 5
Niech g będzie funkcją wielomianową, a g, prime, jej pochodna, ma postać g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared.
W jak wielu punktach wykres g osiąga maksimum lokalne?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.