Główna zawartość
Analiza matematyczna - program rozszerzony I
Rozdział 5: lekcja 4
Poszukiwanie ektremów lokalnych za pomocą badania pierwszej pochodnej- Wprowadzenie do punktów minimum i maksimum
- Wyznaczanie ekstremów lokalnych (badanie pierwszej pochodnej)
- Przykład znajdowania minimów i maksimów lokalnych
- Typowe błędy popełniane przy wyznaczaniu ekstremów funkcji (przykład 1)
- Typowe błędy popełniane przy wyznaczaniu ekstremów funkcji (przykład 2)
- Wyznaczanie ekstremów lokalnych (badanie pierwszej pochodnej)
- Minima i maksima lokalne
- Minima i maksima lokalne - podsumowanie
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Wyznaczanie ekstremów lokalnych (badanie pierwszej pochodnej)
Badanie pierwszej pochodnej polega na analizie zachowania funkcji w oparciu o to, jak zachowuje się jej pochodna w celu wyznaczenia ekstremów funkcji. Wymaga to wykonania kilku kroków, podzielimy więc algorytm na mniejsze części, aby uniknąć przykrych w konsekwencjach pomyłek i przeoczeń. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Jak postąpić, jeśli mamy dany wzór pewnej funkcji i proszą nas, abyśmy wyznaczyli wszystkie lokalne maksima i minima tej funkcji? To się da zrobić! W tym celu należy starannie zbadać zachowanie pierwszej pochodnej naszej funkcji. Spróbujemy wyjaśnić o co chodzi w taki sposób, by uniknąć nieporozumień i błędów.
Przykład: Znajdowanie maksimów i minimów lokalnych funkcji f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, x, minus, 1, end fraction
Krok 1: obliczenie f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Aby wyznaczyć lokalne ekstrema funkcji f, musimy znać f, prime. Zacznijmy więc od obliczenia pochodnej f:
Krok 2: wyznaczenie wszystkich punktów krytycznych i wszystkich punktów, w których f jest nieokreślone.
Punktami krytycznymi funkcji f są te wartości argumentu x, należące do dziedziny funkcji f, w których f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, lub w których f, prime nie jest określona. Oprócz tego szukamy także punktów, w których sama funkcja f nie jest określona.
Ważne jest to, że f, prime nie może zmieniać znaku pomiędzy dwoma kolejnymi takimi punktami.
W tym przypadku, chodzi o punkty x, equals, 0, x, equals, 1 i x, equals, 2.
Krok 3: Badanie, na których przedziałach funkcja rośnie/maleje
Można to zrobić na różne sposoby, my zrobimy to tak: wybieramy dowolny punkt z każdego z przedziałów pomiędzy kolejnymi punktami, które wyznaczyliśmy w Kroku 2 i sprawdzamy, jaki znak ma pochodna w tym punkcie.
A oto tabelka ze znakami pochodnej naszej funkcji:
| Przedział | Wartość x | f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | Wniosek |
|---|---|---|---|
| left parenthesis, minus, infinity, comma, 0, right parenthesis | x, equals, minus, 1 | f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 0, comma, 75, is greater than, 0 | f rośnie \nearrow |
| left parenthesis, 0, comma, 1, right parenthesis | x, equals, 0, comma, 5 | f, prime, left parenthesis, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0 | f maleje \searrow |
| left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis | x, equals, 1, comma, 5 | f, prime, left parenthesis, 1, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0 | f maleje \searrow |
| left parenthesis, 2, comma, infinity, right parenthesis | x, equals, 3 | f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 0, comma, 75, is greater than, 0 | f rośnie \nearrow |
Krok 4: Wyznaczanie ekstremów lokalnych
Gdy już wiemy, na których przedziałach funkcja f rośnie lub maleje, możemy określić jej ekstrema. Ekstremum to punkt, w którym funkcja f jest dobrze określona oraz pochodna f, prime zmienia swój znak.
W naszym wypadku:
- f rośnie przed x, equals, 0, a potem maleje, ponadto wartość funkcji jest dobrze określona dla x, equals, 0. Wnioskujemy stąd, że funkcja f ma w punkcie x, equals, 0 maksimum lokalne.
- f maleje przed x, equals, 2,a potem rośnie, jest też ona dobrze określona dla x, equals, 2. Wynika stąd, ze funkcja f osiąga w punkcie x, equals, 2 minimum lokalne.
- f jest nieokreślona dla x, equals, 1, a więc nie ma tam ekstremum.
Częsty błąd: brak sprawdzenia punktów krytycznych
Pamiętaj: Nie można zakładać, że każdy punkt krytyczny to ekstremum. Zawsze należy sprawdzić, czy w punktach krytycznych sama funkcja jest dobrze określona, a jej pochodna zmienia znak.
Częsty błąd: zapominanie o punktach, w których pochodna funkcji jest nieokreślona
Pamiętaj: analizując przedziały, w których funkcja rośnie lub maleje, musisz wziąć pod uwagę wszystkie punkty, w których pierwsza pochodna równa się zero oraz wszystkie punkty, w których pierwsza pochodna nie jest określona. Jeśli przegapisz któryś z takich punktów, jest duża szansa, że Twoja analiza będzie błędna.
Często spotykany błąd: zapominanie o określeniu dziedziny funkcji
Pamiętaj: po wyznaczeniu punktów, w których funkcja zmienia swój charakter z rosnącej na malejącą, lub odwrotnie, musisz zawsze sprawdzić, czy funkcja jest w tych punktach dobrze określona, to znaczy, czy te punkty należą do dziedziny funkcji. Jeśli nie, nie są to punkty, w których funkcja ma ekstremum lokalne.
Ćwiczenie na badanie pierwszej pochodnej
Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji