Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 5

Lekcja 4: Poszukiwanie ektremów lokalnych za pomocą badania pierwszej pochodnej

Wyznaczanie ekstremów lokalnych (badanie pierwszej pochodnej)

Badanie pierwszej pochodnej polega na analizie zachowania funkcji w oparciu o to, jak zachowuje się jej pochodna w celu wyznaczenia ekstremów funkcji. Wymaga to wykonania kilku kroków, podzielimy więc algorytm na mniejsze części, aby uniknąć przykrych w konsekwencjach pomyłek i przeoczeń. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Jak postąpić, jeśli mamy dany wzór pewnej funkcji i proszą nas, abyśmy wyznaczyli wszystkie lokalne maksima i minima tej funkcji? To się da zrobić! W tym celu należy starannie zbadać zachowanie pierwszej pochodnej naszej funkcji. Spróbujemy wyjaśnić o co chodzi w taki sposób, by uniknąć nieporozumień i błędów.

Przykład: Znajdowanie maksimów i minimów lokalnych funkcji $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ ‍

Krok 1: obliczenie $f^{'} (x)$ ‍

Aby wyznaczyć lokalne ekstrema funkcji

f

, musimy znać

f^{'}

. Zacznijmy więc od obliczenia pochodnej

f

f^{'} (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{(x - 1)^{2}}

[Pokaż mi obliczenia.]

Krok 2: wyznaczenie wszystkich punktów krytycznych i wszystkich punktów, w których $f$ ‍ jest nieokreślone.

Punktami krytycznymi funkcji

f

są te wartości argumentu

x

, należące do dziedziny funkcji

f

, w których

f^{'} (x) = 0

, lub w których

f^{'}

nie jest określona. Oprócz tego szukamy także punktów, w których sama funkcja

f

nie jest określona.

Ważne jest to, że

f^{'}

nie może zmieniać znaku pomiędzy dwoma kolejnymi takimi punktami.

W tym przypadku, chodzi o punkty

x = 0

x = 1

x = 2

[Pokaż mi obliczenia.]

Krok 3: Badanie, na których przedziałach funkcja rośnie/maleje

Można to zrobić na różne sposoby, my zrobimy to tak: wybieramy dowolny punkt z każdego z przedziałów pomiędzy kolejnymi punktami, które wyznaczyliśmy w Kroku 2 i sprawdzamy, jaki znak ma pochodna w tym punkcie.

A oto tabelka ze znakami pochodnej naszej funkcji:

Przedział	Wartość $x$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	Wniosek
$(- \infty, 0)$ ‍	$x = - 1$ ‍	$f^{'} (- 1) = 0, 75 > 0$ ‍	$f$ ‍ rośnie $↗$ ‍
$(0, 1)$ ‍	$x = 0, 5$ ‍	$f^{'} (0, 5) = - 3 < 0$ ‍	$f$ ‍ maleje $↘$ ‍
$(1, 2)$ ‍	$x = 1, 5$ ‍	$f^{'} (1, 5) = - 3 < 0$ ‍	$f$ ‍ maleje $↘$ ‍
$(2, \infty)$ ‍	$x = 3$ ‍	$f^{'} (3) = 0, 75 > 0$ ‍	$f$ ‍ rośnie $↗$ ‍

Krok 4: Wyznaczanie ekstremów lokalnych

Gdy już wiemy, na których przedziałach funkcja

f

rośnie lub maleje, możemy określić jej ekstrema. Ekstremum to punkt, w którym funkcja

f

jest dobrze określona oraz pochodna

f^{'}

zmienia swój znak.

W naszym wypadku:

$f$ ‍ rośnie przed $x = 0$ ‍, a potem maleje, ponadto wartość funkcji jest dobrze określona dla $x = 0$ ‍. Wnioskujemy stąd, że funkcja $f$ ‍ ma w punkcie $x = 0$ ‍ maksimum lokalne.
$f$ ‍ maleje przed $x = 2$ ‍,a potem rośnie, jest też ona dobrze określona dla $x = 2$ ‍. Wynika stąd, ze funkcja $f$ ‍ osiąga w punkcie $x = 2$ ‍ minimum lokalne.
$f$ ‍ jest nieokreślona dla $x = 1$ ‍, a więc nie ma tam ekstremum.

zadanie 1

Jacka poproszono o wyznaczenie ekstremów lokalnych funkcji

f (x) = 2 x^{3} + 18 x^{2} + 54 x + 50

. Oto jego rozwiązanie:

Krok 1:

f^{'} (x) = 6 (x + 3)^{2}

Krok 2: Rozwiązanie

f^{'} (x) = 0

x = - 3

Krok 3:

f

ma ekstremum lokalne w punkcie

x = - 3

Czy rozwiązanie jacka jest poprawne? Jeśli nie, wskaż błąd.

Częsty błąd: brak sprawdzenia punktów krytycznych

Pamiętaj: Nie można zakładać, że każdy punkt krytyczny to ekstremum. Zawsze należy sprawdzić, czy w punktach krytycznych sama funkcja jest dobrze określona, a jej pochodna zmienia znak.

Zadanie 2

Eryka miała wyznaczyć lokalne maksimum funkcji

g (x) = (x^{2} - 1)^{2 / 3}

. Oto jej rozwiązanie:

Krok 1:

g^{'} (x) = \frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}

Krok 2: punkt krytyczny znajduje się w

x = 0

Krok 3:

IPrzedział	Wartość $x$ ‍-value	$g^{'} (x)$ ‍	Wniosek
$(- \infty, 0)$ ‍	$x = - 3$ ‍	$g^{'} (3) = - 2 < 0$ ‍	$g$ ‍ jest funkcją malejącą $↘$ ‍
$(0, \infty)$ ‍	$x = 3$ ‍	$g^{'} (3) = 2 > 0$ ‍	$g$ ‍ jest funkcją rosnącą $↗$ ‍

Krok 4:

g

jest funkcją malejącą na lewo od

x = 0

i funkcją rosnącą na prawo od tego punktu, a zatem funkcja jedynym ekstremum funkcji

g

jest lokalne minimum w

x = 0

Czy obliczenia i wnioski Eryki są prawidłowe? A jeśli nie, to gdzie popełniła błąd?

(Choice A)
Rozwiązanie Eryki jest poprawne.
(Choice B)
Krok 2 zawiera błąd. Eryka powinna rozważyć także punkty, w których $g$ ‍ jest nieokreślona.
(Choice C)
Krok 3 zawiera błąd. $g^{'} (- 3)$ ‍ jest dodatnie, więc $g$ ‍ jest funkcją rosnącą dla argumentów mniejszych niż $x = 0$ ‍.
(Choice D)
Krok 3 jest niepoprawny. Eryka powinna była wyznaczyć $g (3)$ ‍ zamiast $g^{'} (3)$ ‍.

Częsty błąd: zapominanie o punktach, w których pochodna funkcji jest nieokreślona

Pamiętaj: analizując przedziały, w których funkcja rośnie lub maleje, musisz wziąć pod uwagę wszystkie punkty, w których pierwsza pochodna równa się zero oraz wszystkie punkty, w których pierwsza pochodna nie jest określona. Jeśli przegapisz któryś z takich punktów, jest duża szansa, że Twoja analiza będzie błędna.

Zadanie 3

Kuba ma sprawdzić, czy funkcja

h (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}

ma maksimum lokalne. Oto jego rozwiązanie:

Krok 1:

h^{'} (x) = \frac{2 (x^{4} - 1)}{x^{3}}

Krok 2: punktami krytycznymi są

x = - 1

x = 1

. Poza tym,

h

nie jest określone w punkcie

x = 0

Krok 3:

Przedział	Wartość $x$ ‍	$h^{'} (x)$ ‍	Wniosek
$(- \infty, - 1)$ ‍	$x = - 2$ ‍	$h^{'} (- 2) = - 3, 75 < 0$ ‍	$h$ ‍ jest funkcją malejącą $↘$ ‍
$(- 1, 0)$ ‍	$x = - 0, 5$ ‍	$h^{'} (- 0, 5) = 15 > 0$ ‍	$h$ ‍ jest funkcją rosnącą $↗$ ‍
$(0, 1)$ ‍	$x = 0, 5$ ‍	$h^{'} (0, 5) = - 15 < 0$ ‍	$h$ ‍ jest funkcją malejącą $↘$ ‍
$(1, \infty)$ ‍	$x = 2$ ‍	$h^{'} (2) = 3, 75 > 0$ ‍	$h$ ‍ jest funkcją rosnącą $↗$ ‍

Krok 4:

h

jest funkcją rosnącą na lewo od

x = 0

i malejącą na prawo od

x = 0

, a zatem

h

ma maksimum w punkcie

x = 0

Czy rozwiązanie Kuby jest poprawne? Jeśli nie, wskaż błąd.

(Choice A)
Rozwiązanie Kuby jest poprawne.
(Choice B)
Krok 1 zawiera błąd. Kuba nie obliczył poprawnie pochodnej funkcji $h$ ‍.
(Choice C)
W Kroku 2 jest błąd. Kuba nie wyznaczył wszystkich punktów krytycznych.
(Choice D)
Krok 4 zawiera błąd. Punkt $x = 0$ ‍ nie należy do dziedziny funkcji $h$ ‍.

Często spotykany błąd: zapominanie o określeniu dziedziny funkcji

Pamiętaj: po wyznaczeniu punktów, w których funkcja zmienia swój charakter z rosnącej na malejącą, lub odwrotnie, musisz zawsze sprawdzić, czy funkcja jest w tych punktach dobrze określona, to znaczy, czy te punkty należą do dziedziny funkcji. Jeśli nie, nie są to punkty, w których funkcja ma ekstremum lokalne.

Ćwiczenie na badanie pierwszej pochodnej

Zadanie 4

Niech

f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 15 x + 2

Dla jakiej wartości $x$ ‍ funkcja $f$ ‍ ma lokalne maksimum ?

Zadanie 5

Niech

g

będzie funkcją wielomianową, a

g^{'}

, jej pochodna, ma postać

g^{'} (x) = x (x + 2) (x + 4)^{2}

W jak wielu punktach wykres $g$ ‍ osiąga maksimum lokalne?

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 5

Przykład: Znajdowanie maksimów i minimów lokalnych funkcji f(x)=x2x−1‍

Częsty błąd: brak sprawdzenia punktów krytycznych

Częsty błąd: zapominanie o punktach, w których pochodna funkcji jest nieokreślona

Często spotykany błąd: zapominanie o określeniu dziedziny funkcji

Ćwiczenie na badanie pierwszej pochodnej

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Przykład: Znajdowanie maksimów i minimów lokalnych funkcji $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ ‍