Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 5

Lekcja 4: Poszukiwanie ektremów lokalnych za pomocą badania pierwszej pochodnej

Minima i maksima lokalne - podsumowanie

Przypomnij sobie jak rachunek różniczkowy pozwala zidentyfikować punkty, w których funkcja ma ekstrema lokalne (minima lub maksima).

Znajdowanie minimów i maksimów lokalnych przy użyciu rachunku różniczkowego

Lokalnym maksimum jest punkt, w którym funkcja zmienia się z rosnącej na malejącą (a zatem jest to "wierzchołek" wykresu).

Podobnie, lokalnym minimum jest punkt, w którym funkcja zmienia się z malejącej na rosnącą (a zatem jest to "dołek" wykresu).

Zakładając, że już wiesz, jak znaleźć przedziały monotoniczności funkcji, znalezienie lokalnym ekstremów wymaga tylko jednego dodatkowego kroku: znalezienia punktów, w których funkcja zmienia swoją monotoniczność.

Chcesz dowiedzieć się więcej o lokalnych ekstremach i rachunku różniczkowym? Obejrzyj ten film.

Przykład

Znajdźmy lokalne ekstrema funkcji

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 7

. NAjpierw trzeba zróżniczkować

f

f^{'} (x) = 3 (x + 3) (x - 1)

[Pokaż mi wszystkie obliczenia]

Nasze ekstrema leżą w punktach

x = - 3

x = 1

Znajdźmy wartość

f^{'}

w każdym z przedziałów monotoniczności, by sprawdzić, jaki ma tam znak.

Przedział	wartość $x$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍	Wynik
$x < - 3$ ‍	$x = - 4$ ‍	$f^{'} (- 4) = 15 > 0$ ‍	$f$ ‍ rośnie. $↗$ ‍
$- 3 < x < 1$ ‍	$x = 0$ ‍	$f^{'} (0) = - 9 < 0$ ‍	$f$ ‍ maleje. $↘$ ‍
$x > 1$ ‍	$x = 2$ ‍	$f^{'} (2) = 15 > 0$ ‍	$f$ ‍ rośnie. $↗$ ‍

Spójrzmy teraz na punkty ekstremalne:

$x$ ‍	Przed	Po	Wniosek
$- 3$ ‍	$↗$ ‍	$↘$ ‍	Maksimum
$1$ ‍	$↘$ ‍	$↗$ ‍	Minimum

W związku z powyższym, funkcja ma lokalne maksimum w punkcie $x = - 3$ ‍ i lokalne minimum w punkcie $x = 1$ ‍.

Sprawdź, czy rozumiesz

zadanie 1

h (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 4

Dla jakiej wartości $x$ ‍ funkcja $h$ ‍ ma lokalne maksimum ?

Czy chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj tutaj.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.