If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Przypomnienie wiadomości o maksimach i minimach globalnych

Przypomnij sobie jak rachunek różniczkowy pozwala zidentyfikować punkty, w których funkcja ma absolutne ekstrema (minima lub maksima).

Znajdowanie minimów i maksimów globalnych za pomocą rachunku różniczkowego

Globalnym maksimum funkcji jest punkt, w którym funkcja ta przyjmuje swoją największą wartość. Podobnie, globalnym minimum funkcji jest punkt, w którym funkcja ta przyjmuje swoją najmniejszą wartość.
Zakładając, że wiesz już, jak znaleźć minima i maksima lokalne, do znalezienia ekstremum globalnego będziesz potrzebować jeszcze jednego kroku: przeanalizowania końców odcinka.
Chcesz dowiedzieć się więcej o globalnych ekstremach i rachunku różniczkowym? Obejrzyj ten film.

Jak znaleźć ekstremum globalne na zamkniętym przedziale?

Twierdzenie o wartościach ekstremalnych mówi nam, że funkcja na odcinku musi przyjąć swoje globalne maksimum i globalne minimum. Te wartości ekstremalne znajdują się w ekstremach lokalnych lub na końcach odcinka.
Znajdźmy dla przykładu ekstrema globalne funkcji h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 12, x na odcinku minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3.
h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, więc naszymi punktami krytycznymi są x, equals, minus, 2 i x, equals, 1. Dzielą one odcinek minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 na trzy części:
Przedziałwartość xh, prime, left parenthesis, x, right parenthesisWynik
minus, 3, is less than, x, is less than, minus, 2x, equals, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fractionh, prime, left parenthesis, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, equals, start fraction, 21, divided by, 2, end fraction, is greater than, 0h jest rosnąca \nearrow
minus, 2, is less than, x, is less than, 1x, equals, 0h, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 12, is less than, 0h jest malejąca \searrow
1, is less than, x, is less than, 3x, equals, 2h, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 24, is greater than, 0h jest rosnąca \nearrow
Patrzymy teraz na punkty krytyczne i końce przedziału:
xh, left parenthesis, x, right parenthesisPrzedPoWniosek
minus, 39minus\nearrowMinimum
minus, 220\nearrow\searrowMaksimum
1minus, 7\searrow\nearrowMinimum
345\nearrowminusMaksimum
Na przedziale zamkniętym minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3, punkty left parenthesis, minus, 3, comma, 9, right parenthesis i left parenthesis, 1, comma, minus, 7, right parenthesis są lokalnymi minimami a punkty left parenthesis, minus, 2, comma, 20, right parenthesis i left parenthesis, 3, comma, 45, right parenthesis są lokalnymi maksimami.
Punkt left parenthesis, 1, comma, minus, 7, right parenthesis odpowiada minimum lokalnemu o najmniejszej wartości, a więc jest to zarazem punkt, w którym funkcja osiąga absolutne minimum. Punkt left parenthesis, 3, comma, 45, right parenthesis odpowiada maksimum lokalnemu o największej wartości, a więc jest to zarazem punkt, w którym funkcja osiąga absolutne maksimum.
Zauważ, że minimum globalne funkcji znajduje się wewnątrz tego przedziału a maksimum globalne w jednym z jego końców.
zadanie 1
  • Prąd elektryczny
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, minus, 3, x, squared, plus, 12
Jakie jest maksimum globalne funkcji f na zamkniętym przedziale open bracket, minus, 2, comma, 4, close bracket?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Znajdowanie ekstremów globalnych na całej dziedzinie

Nie wszystkie funkcje mają maksimum lub minimum globalne na swojej dziedzinie. Na przykład, liniowa funkcja f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x nie osiąga ani maksimum, ani minimum globalnego (może być tak duża lub mała, jak sobie tego tylko zażyczymy).
Z drugiej strony, niektóre funkcje osiągają ekstremum globalne na swojej dziedzinie. Przeanalizujmy dla przykładu funkcję g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, e, start superscript, 3, x, end superscript.
g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, e, start superscript, 3, x, end superscript, left parenthesis, 1, plus, 3, x, right parenthesis, więc punktem krytycznym jest x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction.
Przedziałwartość xg, prime, left parenthesis, x, right parenthesisWynik
left parenthesis, minus, infinity, comma, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesisx, equals, minus, 1g, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, minus, start fraction, 2, divided by, e, cubed, end fraction, is less than, 0g jest malejąca \searrow
left parenthesis, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, comma, infinity, right parenthesisx, equals, 0g, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 1, is greater than, 0g jest rosnąca \nearrow
Wyobraźmy sobie, że spacerujemy po wykresie funkcji g, startując całkowicie z lewej (z minus, infinity) i idąc w kierunku prawego końca (aż do plus, infinity).
Zaczynamy idąc w dół aź do punktu x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. Następnie, podążamy już zawsze do góry. A zatem, g osiąga absolutne minimum w punkcie x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. Ta funkcja nie ma absolutnego maksimum.
Chcesz dowiedzieć się więcej o ekstremach globalnych? Obejrzyj ten film.
zadanie 1
  • Prąd elektryczny
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction
Jakie jest globalne maksimum funkcji g ?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.