Przypomnienie wiadomości o maksimach i minimach globalnych

Globalnym maksimum funkcji jest punkt, w którym funkcja ta przyjmuje swoją największą wartość. Podobnie, globalnym minimum funkcji jest punkt, w którym funkcja ta przyjmuje swoją najmniejszą wartość.

Zakładając, że wiesz już, jak znaleźć minima i maksima lokalne, do znalezienia ekstremum globalnego będziesz potrzebować jeszcze jednego kroku: przeanalizowania końców odcinka.

Twierdzenie o wartościach ekstremalnych mówi nam, że funkcja na odcinku musi przyjąć swoje globalne maksimum i globalne minimum. Te wartości ekstremalne znajdują się w ekstremach lokalnych lub na końcach odcinka.

Znajdźmy dla przykładu ekstrema globalne funkcji $h(x)=2x^3+3x^2-12x$h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 12, x na odcinku $-3\leq x\leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3.

$h'(x)=6(x+2)(x-1)$h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, więc naszymi punktami krytycznymi są $x=-2$x, equals, minus, 2 i $x=1$x, equals, 1. Dzielą one odcinek $-3\leq x\leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 na trzy części:

Patrzymy teraz na punkty krytyczne i końce przedziału:

Na przedziale zamkniętym $-3 \leq x \leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3, punkty $(-3,9)$left parenthesis, minus, 3, comma, 9, right parenthesis i $(1,-7)$left parenthesis, 1, comma, minus, 7, right parenthesis są lokalnymi minimami a punkty $(-2,20)$left parenthesis, minus, 2, comma, 20, right parenthesis i $(3,45)$left parenthesis, 3, comma, 45, right parenthesis są lokalnymi maksimami.

Zauważ, że minimum globalne funkcji znajduje się wewnątrz tego przedziału a maksimum globalne w jednym z jego końców.

Nie wszystkie funkcje mają maksimum lub minimum globalne na swojej dziedzinie. Na przykład, liniowa funkcja $f(x)=x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x nie osiąga ani maksimum, ani minimum globalnego (może być tak duża lub mała, jak sobie tego tylko zażyczymy).

Z drugiej strony, niektóre funkcje osiągają ekstremum globalne na swojej dziedzinie. Przeanalizujmy dla przykładu funkcję $g(x)=xe^{3x}$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, e, start superscript, 3, x, end superscript.

$g'(x)=e^{3x}(1+3x)$g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, e, start superscript, 3, x, end superscript, left parenthesis, 1, plus, 3, x, right parenthesis, więc punktem krytycznym jest $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction.

Wyobraźmy sobie, że spacerujemy po wykresie funkcji $g$g, startując całkowicie z lewej (z $-\infty$minus, infinity) i idąc w kierunku prawego końca (aż do $+\infty$plus, infinity).

Zaczynamy idąc w dół aź do punktu $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. Następnie, podążamy już zawsze do góry. A zatem, $g$g osiąga absolutne minimum w punkcie $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. Ta funkcja nie ma absolutnego maksimum.