Główna zawartość
Analiza matematyczna - program rozszerzony I
Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 5
Lekcja 5: Poszukiwanie ekstremów globalnych- Wyznaczenie ekstremów globalnych na przedziale zamkniętym
- Ekstrema globalne na przedziale zamkniętym
- Minima i maksima globalne (na całej dziedzinie)
- Minima i maksima globalne (na całej dziedzinie)
- Przypomnienie wiadomości o maksimach i minimach globalnych
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Przypomnienie wiadomości o maksimach i minimach globalnych
Przypomnij sobie jak rachunek różniczkowy pozwala zidentyfikować punkty, w których funkcja ma absolutne ekstrema (minima lub maksima).
Znajdowanie minimów i maksimów globalnych za pomocą rachunku różniczkowego
Globalnym maksimum funkcji jest punkt, w którym funkcja ta przyjmuje swoją największą wartość. Podobnie, globalnym minimum funkcji jest punkt, w którym funkcja ta przyjmuje swoją najmniejszą wartość.
Zakładając, że wiesz już, jak znaleźć minima i maksima lokalne, do znalezienia ekstremum globalnego będziesz potrzebować jeszcze jednego kroku: przeanalizowania końców odcinka.
Chcesz dowiedzieć się więcej o globalnych ekstremach i rachunku różniczkowym? Obejrzyj ten film.
Jak znaleźć ekstremum globalne na zamkniętym przedziale?
Twierdzenie o wartościach ekstremalnych mówi nam, że funkcja na odcinku musi przyjąć swoje globalne maksimum i globalne minimum. Te wartości ekstremalne znajdują się w ekstremach lokalnych lub na końcach odcinka.
Znajdźmy dla przykładu ekstrema globalne funkcji h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 12, x na odcinku minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3.
h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, więc naszymi punktami krytycznymi są x, equals, minus, 2 i x, equals, 1. Dzielą one odcinek minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 na trzy części:
Przedział | wartość x | h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | Wynik |
---|---|---|---|
minus, 3, is less than, x, is less than, minus, 2 | x, equals, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction | h, prime, left parenthesis, minus, start fraction, 5, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, equals, start fraction, 21, divided by, 2, end fraction, is greater than, 0 | h jest rosnąca \nearrow |
minus, 2, is less than, x, is less than, 1 | x, equals, 0 | h, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 12, is less than, 0 | h jest malejąca \searrow |
1, is less than, x, is less than, 3 | x, equals, 2 | h, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 24, is greater than, 0 | h jest rosnąca \nearrow |
Patrzymy teraz na punkty krytyczne i końce przedziału:
x | h, left parenthesis, x, right parenthesis | Przed | Po | Wniosek |
---|---|---|---|---|
minus, 3 | 9 | minus | \nearrow | Minimum |
minus, 2 | 20 | \nearrow | \searrow | Maksimum |
1 | minus, 7 | \searrow | \nearrow | Minimum |
3 | 45 | \nearrow | minus | Maksimum |
Na przedziale zamkniętym minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3, punkty left parenthesis, minus, 3, comma, 9, right parenthesis i left parenthesis, 1, comma, minus, 7, right parenthesis są lokalnymi minimami a punkty left parenthesis, minus, 2, comma, 20, right parenthesis i left parenthesis, 3, comma, 45, right parenthesis są lokalnymi maksimami.
Punkt left parenthesis, 1, comma, minus, 7, right parenthesis odpowiada minimum lokalnemu o najmniejszej wartości, a więc jest to zarazem punkt, w którym funkcja osiąga absolutne minimum. Punkt left parenthesis, 3, comma, 45, right parenthesis odpowiada maksimum lokalnemu o największej wartości, a więc jest to zarazem punkt, w którym funkcja osiąga absolutne maksimum.
Zauważ, że minimum globalne funkcji znajduje się wewnątrz tego przedziału a maksimum globalne w jednym z jego końców.
Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.
Znajdowanie ekstremów globalnych na całej dziedzinie
Nie wszystkie funkcje mają maksimum lub minimum globalne na swojej dziedzinie. Na przykład, liniowa funkcja f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x nie osiąga ani maksimum, ani minimum globalnego (może być tak duża lub mała, jak sobie tego tylko zażyczymy).
Z drugiej strony, niektóre funkcje osiągają ekstremum globalne na swojej dziedzinie. Przeanalizujmy dla przykładu funkcję g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, e, start superscript, 3, x, end superscript.
g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, e, start superscript, 3, x, end superscript, left parenthesis, 1, plus, 3, x, right parenthesis, więc punktem krytycznym jest x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction.
Przedział | wartość x | g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | Wynik |
---|---|---|---|
left parenthesis, minus, infinity, comma, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis | x, equals, minus, 1 | g, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, minus, start fraction, 2, divided by, e, cubed, end fraction, is less than, 0 | g jest malejąca \searrow |
left parenthesis, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, comma, infinity, right parenthesis | x, equals, 0 | g, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 1, is greater than, 0 | g jest rosnąca \nearrow |
Wyobraźmy sobie, że spacerujemy po wykresie funkcji g, startując całkowicie z lewej (z minus, infinity) i idąc w kierunku prawego końca (aż do plus, infinity).
Zaczynamy idąc w dół aź do punktu x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. Następnie, podążamy już zawsze do góry. A zatem, g osiąga absolutne minimum w punkcie x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. Ta funkcja nie ma absolutnego maksimum.
Chcesz dowiedzieć się więcej o ekstremach globalnych? Obejrzyj ten film.
Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji