Podsumowanie wiadomości o punktach przegięcia

Punkty przegięcia są punktami, gdzie wykres funkcji zmienia swoją wypukłość (z $\cup$\cup na $\cap$\cap lub odwrotnie).

Punkty przegięcia znajduje się metodą podobną do metody znajdowania punktów krytycznych. Jednak, zamiast szukać punktów, w których pochodna zmienia znak, szukamy punktów, w których druga pochodna zmienia znak.

Znajdźmy dla przykładu punkty przegięcia funkcji $f(x)=\dfrac{1}{2}x^4+x^3-6x^2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript, plus, x, cubed, minus, 6, x, squared.

Drugą pochodną $f$f jest $f''(x)=6(x-1)(x+2)$f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis.

$f''(x)=$f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals dla $x=-2,1$x, equals, minus, 2, comma, 1 i jest zdefiniowana wszędzie. $x=-2$x, equals, minus, 2 i $x=1$x, equals, 1 dzielą oś liczbową na trzy przedziały:

Spójrzmy na znak $f''$f, start superscript, prime, prime, end superscript w każdym z tych przedziałów,

Widzimy, że wykres funkcji $f$f zmienia swoją wypukłość w obu punktach $x=-2$x, equals, minus, 2 i $x=1$x, equals, 1, więc dla obu tych argumentów funkcja $f$f ma punkt przegięcia.