Główna zawartość
Analiza matematyczna - program rozszerzony I
Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 5
Lekcja 7: Określanie wklęsłości na przedziałach oraz znajdowanie punktów przegięcia: podejśćie algebraiczne- Badanie wypukłości za pomocą drugiej pochodnej
- Znajdowanie punktów przegięcia wielomianu za pomocą różniczkowania
- Znajdowanie punktów przegięcia. Pamiętaj, druga pochodna może nie być określona!
- Poszukiwanie punktów przegięcia: zerowanie drugiej pochodnej nie wystarcza!
- Badanie zachowania drugiej pochodnej w celu wyznaczenia punktów przegięcia
- Badanie wypukłości funkcji
- Punkty przegięcia na wykresie funkcji
- Przypomnienie wiadomości o wklęsłości i wypukłości funkcji
- Podsumowanie wiadomości o punktach przegięcia
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Badanie zachowania drugiej pochodnej w celu wyznaczenia punktów przegięcia
Wykorzystanie znajomości drugiej pochodnej w celu wyznaczenia punktów przegięcia i błędy, często popełniane przy tej okazji. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Badając drugą pochodną funkcji, możemy wyznaczyć jej punkty przegięcia.
Przykład: Znajdowanie punktów przegięcia funkcji
Krok 1: obliczenie drugiej pochodnej funkcji
Aby znaleźć punkty przegięcia funkcji , musimy obliczyć :
Krok 2: znalezienie wszystkich kandydatów na punkty przegięcia
Podobnie jak w wypadku punktów krytycznych, są to punkty, w których lub jest nieokreślona.
Krok 3: analizowanie wypukłości
Przedział | Próbka | Wniosek | |
---|---|---|---|
Krok 4: znajdowanie punktów przegięcia
Teraz, gdy wiemy już na jakich przedziałach funkcja jest wypuka i wklęsła, możemy określić, gdzie ma ona punkty przegięcia (tj. w których punktach zmienia się z wypukłej we wklęsłą lub na odwrót).
jest wklęsła na lewo od , a wypukła na prawo od tego punktu. Ponadto jest ona dobrze określona w punkcie . Zatem ma punkt przegięcia dla . jest wypukła na lewo i na prawo od punktu , zatem nie ma ona w tym miejscu punktu przegięcia.
Możemy sprawdzić nasz wynik, przyglądając się wykresowi funkcji :
Częsty błąd: pomijanie sprawdzenia kandydatów
Pamiętaj: Nie można po prostu zakładać, że każdy punkt spełniający (lub taki, że jest nieokreślone) jest punktem przegięcia. Zamiast tego należy sprawdzić kandydatów i przekonać się, czy druga pochodna zmienia w tym punkcie znak, a także, czy sama
wyjściowa funkcja jest w tym punkcie dobrze określona.
Częsty błąd: zapominanie o punktach, w których pochodna funkcji jest nieokreślona
Pamiętaj: Kandydaci na punkty przegięcia to punkty, w których druga pochodna się zeruje lub takie, dla których nie jest ona dobrze określona. Pomijanie punktów, w których druga pochodna jest nieokreślona często będzie prowadzić do niewłaściwej odpowiedzi.
Często popełniany błąd: badanie pierwszej pochodnej, zamiast drugiej pochodnej
Zapamiętaj: szukając punktów przegięcia należy zbadać zachowanie drugiej pochodnej i sprawdzić, w których punktach zmienia znak. Analiza miejsc zerowych pierwszej pochodne prowadzi do wyznaczenia kandydatów na ekstrema lokalne, a nie punkty przegięcia.
Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji