Główna zawartość
Analiza matematyczna - program rozszerzony I
Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 5
Lekcja 7: Określanie wklęsłości na przedziałach oraz znajdowanie punktów przegięcia: podejśćie algebraiczne- Badanie wypukłości za pomocą drugiej pochodnej
- Znajdowanie punktów przegięcia wielomianu za pomocą różniczkowania
- Znajdowanie punktów przegięcia. Pamiętaj, druga pochodna może nie być określona!
- Poszukiwanie punktów przegięcia: zerowanie drugiej pochodnej nie wystarcza!
- Badanie zachowania drugiej pochodnej w celu wyznaczenia punktów przegięcia
- Badanie wypukłości funkcji
- Punkty przegięcia na wykresie funkcji
- Przypomnienie wiadomości o wklęsłości i wypukłości funkcji
- Podsumowanie wiadomości o punktach przegięcia
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Badanie zachowania drugiej pochodnej w celu wyznaczenia punktów przegięcia
Wykorzystanie znajomości drugiej pochodnej w celu wyznaczenia punktów przegięcia i błędy, często popełniane przy tej okazji. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Badając drugą pochodną funkcji, możemy wyznaczyć jej punkty przegięcia.
Przykład: Znajdowanie punktów przegięcia funkcji f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 5, end superscript, plus, start fraction, 5, divided by, 3, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript
Krok 1: obliczenie drugiej pochodnej funkcji
Aby znaleźć punkty przegięcia funkcji f, musimy obliczyć f, start superscript, prime, prime, end superscript:
Krok 2: znalezienie wszystkich kandydatów na punkty przegięcia
Podobnie jak w wypadku punktów krytycznych, są to punkty, w których f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 lub f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis jest nieokreślona.
f, start superscript, prime, prime, end superscript równa się zero dla x, equals, 0 i x, equals, minus, 1 i jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. A zatem, naszymi kandydatami na punkty przegięcia są x, equals, 0 i x, equals, minus, 1.
Krok 3: analizowanie wypukłości
Przedział | Próbka x-a | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis | Wniosek |
---|---|---|---|
x, is less than, minus, 1 | x, equals, minus, 2 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 80, is less than, 0 | f jest wklęsła \cap |
minus, 1, is less than, x, is less than, 0 | x, equals, minus, 0, comma, 5 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, 2, comma, 5, is greater than, 0 | f jest wypukła \cup |
x, is greater than, 0 | x, equals, 1 | f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 40, is greater than, 0 | f jest wypukła \cup |
Krok 4: znajdowanie punktów przegięcia
Teraz, gdy wiemy już na jakich przedziałach funkcja f jest wypuka i wklęsła, możemy określić, gdzie ma ona punkty przegięcia (tj. w których punktach f zmienia się z wypukłej we wklęsłą lub na odwrót).
- f jest wklęsła na lewo od x, equals, minus, 1, a wypukła na prawo od tego punktu. Ponadto jest ona dobrze określona w punkcie x, equals, minus, 1. Zatem f ma punkt przegięcia dla x, equals, minus, 1.
- f jest wypukła na lewo i na prawo od punktu x, equals, 0, zatem nie ma ona w tym miejscu punktu przegięcia.
Możemy sprawdzić nasz wynik, przyglądając się wykresowi funkcji f:
Częsty błąd: pomijanie sprawdzenia kandydatów
Pamiętaj: Nie można po prostu zakładać, że każdy punkt spełniający f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 (lub taki, że f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis jest nieokreślone) jest punktem przegięcia. Zamiast tego należy sprawdzić kandydatów i przekonać się, czy druga pochodna zmienia w tym punkcie znak, a także, czy sama
wyjściowa funkcja jest w tym punkcie dobrze określona.
Częsty błąd: zapominanie o punktach, w których pochodna funkcji jest nieokreślona
Pamiętaj: Kandydaci na punkty przegięcia to punkty, w których druga pochodna się zeruje lub takie, dla których nie jest ona dobrze określona. Pomijanie punktów, w których druga pochodna jest nieokreślona często będzie prowadzić do niewłaściwej odpowiedzi.
Często popełniany błąd: badanie pierwszej pochodnej, zamiast drugiej pochodnej
Zapamiętaj: szukając punktów przegięcia należy zbadać zachowanie drugiej pochodnej i sprawdzić, w których punktach zmienia znak. Analiza miejsc zerowych pierwszej pochodne prowadzi do wyznaczenia kandydatów na ekstrema lokalne, a nie punkty przegięcia.
Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji