Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 5

Lekcja 7: Określanie wklęsłości na przedziałach oraz znajdowanie punktów przegięcia: podejśćie algebraiczne

Badanie zachowania drugiej pochodnej w celu wyznaczenia punktów przegięcia

Wykorzystanie znajomości drugiej pochodnej w celu wyznaczenia punktów przegięcia i błędy, często popełniane przy tej okazji. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Badając drugą pochodną funkcji, możemy wyznaczyć jej punkty przegięcia.

Przykład: Znajdowanie punktów przegięcia funkcji f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 5, end superscript, plus, start fraction, 5, divided by, 3, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript

Krok 1: obliczenie drugiej pochodnej funkcji

Aby znaleźć punkty przegięcia funkcji f, musimy obliczyć f, start superscript, prime, prime, end superscript:

\begin{aligned} f'(x)&=5x^4+\dfrac{20}{3}x^3 \\\\ f''(x)&=20x^3+20x^2 \\\\ &=20x^2(x+1) \end{aligned}

Krok 2: znalezienie wszystkich kandydatów na punkty przegięcia

Podobnie jak w wypadku punktów krytycznych, są to punkty, w których f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 lub f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis jest nieokreślona.

f, start superscript, prime, prime, end superscript równa się zero dla x, equals, 0 i x, equals, minus, 1 i jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. A zatem, naszymi kandydatami na punkty przegięcia są x, equals, 0 i x, equals, minus, 1.

Krok 3: analizowanie wypukłości

Przedział	Próbka x-a	f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis	Wniosek
x, is less than, minus, 1	x, equals, minus, 2	f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 80, is less than, 0	f jest wklęsła \cap
minus, 1, is less than, x, is less than, 0	x, equals, minus, 0, comma, 5	f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, 2, comma, 5, is greater than, 0	f jest wypukła \cup
x, is greater than, 0	x, equals, 1	f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 40, is greater than, 0	f jest wypukła \cup

Krok 4: znajdowanie punktów przegięcia

Teraz, gdy wiemy już na jakich przedziałach funkcja f jest wypuka i wklęsła, możemy określić, gdzie ma ona punkty przegięcia (tj. w których punktach f zmienia się z wypukłej we wklęsłą lub na odwrót).

f jest wklęsła na lewo od x, equals, minus, 1, a wypukła na prawo od tego punktu. Ponadto jest ona dobrze określona w punkcie x, equals, minus, 1. Zatem f ma punkt przegięcia dla x, equals, minus, 1.
f jest wypukła na lewo i na prawo od punktu x, equals, 0, zatem nie ma ona w tym miejscu punktu przegięcia.

Możemy sprawdzić nasz wynik, przyglądając się wykresowi funkcji f:

zadanie 1

Olgę poproszono o znalezienie punktów przegięcia funkcji f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript. Oto jej rozwiązanie:

Krok 1:

\begin{aligned} f'(x)&=4(x-2)^3 \\\\\\ f''(x)&=12(x-2)^2 \end{aligned}

Krok 2: Rozwiązanie równania f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 to x, equals, 2.

Krok 3: f ma punkt przegięcia w punkcie x, equals, 2.

Czy rozwiązanie Olgi jest poprawne? Jeśli nie, wskaż błąd.

(Choice A)
Rozwiązanie Olgi jest poprawne.
(Choice B)
Krok 1 zawiera błąd. Olga źle wyliczyła pochodną funkcji f, prime.
(Choice C)
Krok 2 zawiera błąd. x, equals, 2 nie jest rozwiązaniem równania f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0.
(Choice D)
Krok 3 jest błędny: x, equals, 2 to tylko kandydat na ekstrmum

Częsty błąd: pomijanie sprawdzenia kandydatów

Pamiętaj: Nie można po prostu zakładać, że każdy punkt spełniający f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 (lub taki, że f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis jest nieokreślone) jest punktem przegięcia. Zamiast tego należy sprawdzić kandydatów i przekonać się, czy druga pochodna zmienia w tym punkcie znak, a także, czy sama wyjściowa funkcja jest w tym punkcie dobrze określona.

Zadanie 2

Roberta poproszono o sprawdzenie, gdzie funkcja g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cube root of, x, end cube root ma punkty przegięcia. Oto jego rozwiązanie:

Krok 1:

\begin{aligned} g'(x)&=\dfrac13x^{-\frac23} \\\\\\ g''(x)&=-\dfrac29x^{-\frac53} \\\\ &=-\dfrac{2}{9\sqrt[3]{x^5}} \end{aligned}

Krok 2: równanie g, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 nie ma rozwiązania.

Krok 3: funkcja g nie ma punktów przegięcia.

Czy rozwiązanie Roberta jest poprawne? Jeśli nie, wskaż błąd.

(Choice A)
Rozwiązanie Roberta jest poprawne.
(Choice B)
Krok 1 zawiera błąd. Robert źle wyliczył pochodną funkcji g.
(Choice C)
Krok 2 zawiera błąd. W rzeczywistości równanie g, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 posiada rozwiązanie.
(Choice D)
Krok 3 zawiera błąd. Robert nie rozważył punktów, w których g, start superscript, prime, prime, end superscript jest nieokreślona.

Częsty błąd: zapominanie o punktach, w których pochodna funkcji jest nieokreślona

Pamiętaj: Kandydaci na punkty przegięcia to punkty, w których druga pochodna się zeruje lub takie, dla których nie jest ona dobrze określona. Pomijanie punktów, w których druga pochodna jest nieokreślona często będzie prowadzić do niewłaściwej odpowiedzi.

Zadanie 3

Tomka mam za zadanie sprawdzić, czy funkcja h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 4, x ma punkt przegięcia. Oto jego rozwiązanie:

Krok 1: h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, plus, 4

Krok 2: h, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, 0, to znaczy, że x, equals, minus, 2 jest kandydatem na punkt przegięcia.

Krok 3:

Przedział	Wartość x	h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis	Wniosek
left parenthesis, minus, infinity, comma, minus, 2, right parenthesis	x, equals, minus, 3	h, prime, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 2, is less than, 0	h jest wklęsła \cap
left parenthesis, minus, 2, comma, infinity, right parenthesis	x, equals, 0	h, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 4, is greater than, 0	h jest wypukła \cup

Krok 4: h jest wklęsła na lewo od x, equals, minus, 2, a wypukła na prawo od tego punktu. A zatem, funkcja h ma punkt przegięcia dla x, equals, minus, 2.

Czy wynik Tomka jest prawidłowy. A jeśli nie, to gdzie popełnił błąd?

(Choice A)
Rozwiązanie Tomka jest poprawne.
(Choice B)
Krok 1 zawiera błąd. Tomek źle obliczył pochodną funkcji h.
(Choice C)
Krok 2 zawiera błąd. Tomek powinien rozważać h, start superscript, prime, prime, end superscript, a nie h, prime.
(Choice D)
Krok 4 zawiera błąd. Punkt przegięcia oznacza, że wykres funkcji zmienia kształt z wypukłego na wsklęsły.

Często popełniany błąd: badanie pierwszej pochodnej, zamiast drugiej pochodnej

Zapamiętaj: szukając punktów przegięcia należy zbadać zachowanie drugiej pochodnej i sprawdzić, w których punktach zmienia znak. Analiza miejsc zerowych pierwszej pochodne prowadzi do wyznaczenia kandydatów na ekstrema lokalne, a nie punkty przegięcia.

Zadanie 4

Niech g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 12, x, cubed, minus, 42, x, squared, plus, 7.

Dla jakich x wykres funkcji g ma punkty przegięcia?

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.