Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 5

Lekcja 10: Związek pomiędzy przebiegiem zmienności funkcji, jej pierwsze pochodnej i jej drugiej pochodnej

Badanie zachowania drugiej pochodnej

"Analiza przebiegu zmienności funkcji " na podstawie zachowania jej drugiej pochodnej pozwala wyznaczyć przedziały, których funkcja jest wypukła lub wklęsła oraz położenie punktów przegięcia. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości, dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego.

Wiemy już, że pierwsza pochodna f, prime daje nam wiedzę o tym, gdzie funkcja rośnie lub maleje i w których punktach osiąga ekstrema

Druga pochodna f, start superscript, prime, prime, end superscript mówi nam o wypukłości wyjściowej funkcji f oraz o tym, gdzie ma ona punkty przegięcia.

Przypomnijmy, na czym polega wypukłość funkcji

Funkcja jest wypukła, jeśli jej nachylenie rośnie. Graficznie sprowadza się to do tego, że, wykres funkcji wypukłej ma kształt kubka, \cup.

Analogicznie funkcja jest wklęsła, gdy jej nachylenie maleje. Graficznie oznacza to, że wykres funkcji wklęsłej przyjmuje kształt czapki, \cap.

Punkt przegięcia to taki punkt, w którym zmienia się wypukłość funkcji (przechodzi ona z funkcji wklęsłej w wypukłą lub na odwrót).

W jaki sposób f, start superscript, prime, prime, end superscript mówi nam o wypukłości f

Gdy druga pochodna f, start superscript, prime, prime, end superscript jest dodatnia, pierwsza pochodna f, prime rośnie, a to z kolei oznacza, że wyjściowa funkcja f jest wypukła. Analogicznie przy ujemnej drugiej pochodnej f, start superscript, prime, prime, end superscript pierwsza pochodna f, prime maleje, a funkcja f jest wklęsła.

f, start superscript, prime, prime, end superscript	f, prime	f
dodatnia plus	rosnąca \nearrow	wypukła \cup
ujemna minus	malejaca \searrow	wklęsła \cap
przecina oś X (zmienia znak)	extremum (zmienia kierunek)	punkt przegięcia (zmienia wypukłość)

A oto przykładowe wykresy funkcji:

f, start superscript, prime, prime, end superscript	f, prime	f

Zwróć uwagę, że f jest start color #aa87ff, start text, w, k, l, ę, s, ł, a, end text, end color #aa87ff na lewo od x, equals, c oraz start color #1fab54, start text, w, y, p, u, k, ł, a, end text, end color #1fab54 na prawo od x, equals, c.

zadanie 1

Niech f będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Oto wykres jej drugiej pochodnej, f, prime:

Na jakim przedziale f jest wypukła?

Częsty błąd: mylenie zależności między f, f, prime i f, start superscript, prime, prime, end superscript

Należy zawsze pamiętać, że, aby f była wypukła, f, prime musi być rosnąca, a f, start superscript, prime, prime, end superscript - dodatnia. Inne rodzaje zależności między f, f, prime oraz f, start superscript, prime, prime, end superscript niekoniecznie muszą zachodzić.

Na przykład w powyższym zadaniu 1 funkcja f, start superscript, prime, prime, end superscript jest wypukła na przedziale open bracket, minus, 8, comma, minus, 2, close bracket, ale nie oznacza to wcale, że wypukła na tym przedziale jest sama funkcja f.

Zadanie 2

Niech h będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Oto wykres jej drugiej pochodnej, h, start superscript, prime, prime, end superscript:

Które z zaznaczonych punktów są punktami przegięcia funkcji h?

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Częsty błąd: mylenie wykresów

Przypuśćmy, że uczeń rozwiązujący powyższe zadanie 2 pomyłkowo sądzi, że ma do czynienia z wykresem pierwszej pochodnej funkcji h. W takim wypadku h miałaby punkt przegięcia w punktach A i B, bo w tych miejscach funkcja na wykresie zmienia kierunek. Uczeń ten popełniłby błąd, bowiem jest to wykres drugiej pochodnej, a poprawna odpowiedź to D.

Pamiętaj, by zawsze upewnić się, że właściwie rozumiesz dane zadania. Zastanów się, czy dysponujesz wykresem wyjściowej funkcji f, jej pierwszej pochodnej prime, f, czy też drugiej pochodnej f, start superscript, prime, prime, end superscript.

Zadanie 3

Oto wykres funkcji dwukrotnie różniczkowalnej g i jej drugiej pochodnej, g, start superscript, prime, prime, end superscript:

Czterech uczniów poproszono o podanie właściwego opartego na rachunku różniczkowym uzasadnienia tego, że g ma punkt przegięcia dla x, equals, minus, 2.

Połącz uwagi nauczyciela z odpowiednimi uzasadnieniami:

Rozstrzyganie czy eksremum to minimum lub maksimum za pomocą drugiej pochodnej

Przypuśćmy, że dana jest funkcja f mająca ekstremum w punkcie x, equals, 1 oraz wypukła na przedziale open bracket, 0, comma, 2, close bracket. Czy na podstawie tej informacji można stwierdzić, czy jest to maksimum czy minimum?

Odpowiedź brzmi: TAK. Przypomnijmy, że funkcja wypukła na kształt kubka \cup. Krzywa o takiej postaci może mieć jedynie minimum lokalne.

Analogicznie, jeśli funkcja jest wklęsła i ma ona ekstremum, musi to być z konieczności maksimum lokalne.

Zadanie 4

Oto wykres funkcji dwukrotnie różniczkowalnej h i jej drugiej pochodnej, h, start superscript, prime, prime, end superscript:

Zakładając, że h, prime, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, 0, jakie jest poprawne uzasadnienie oparte na rachunku różniczkowym tego, że h ma w punkcie x, equals, minus, 4 maksimum lokalne?

(Choice A)
h, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis jest ujemne.
(Choice B)
h rośnie na lewo od x, equals, minus, 4 i maleje na prawo od tego punktu.
(Choice C)
h, start superscript, prime, prime, end superscript osiąga minimum lokalne w punkcie x, equals, minus, 4.
(Choice D)
h, start superscript, prime, prime, end superscript jest wypukła.

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.