If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Zastosowania pojęcia tempa zmian w różnych praktycznych zadaniach

Tempo zmian jest podstawowym pojęciem rachunku różniczkowego. Zobaczmy, jak przekłada się to na rozwiązania praktycznych problemów. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Jedna z podstawowych interpretacji pochodnej f danej funkcji f określa f(k) jako chwilowe tempo zmian funkcji f w punkcie x=k. Zobaczmy, jak ta interpretacja funkcjonuje w praktyce.
Załóżmy, że napełniamy zbiornik wodą. Objętość wody w zbiorniku, w litrach, w czasie t sekund od momentu rozpoczęcia napełniania dana jest przez funkcję liniowąV1(t)=23t.
Nachylenie tej funkcji liniowej wynosi 23 i opisuje jej tempo zmian. Innymi słowy, zbiornik napełnia się w tempie 23 litra na sekundę.
Tempo zmian funkcji liniowej jest stałe, co czyni całą sprawę łatwiejszą do zrozumienia.
Wyobraźmy sobie teraz inny zbiornik, który napełnia się wodą w taki sposób, że jego objętość zmienia się w czasie zgodnie z funkcją V2(t)=0,1t2, która tym razem nie jest funkcją liniową.
Zauważ, że teraz wykres z początku wznosi się wolno, a potem coraz szybciej i szybciej. Tym razem tempo zmian funkcji V2 nie jest stałe.
Jeśli zastanawiamy się nad tempem zmian V2, wygodnie jest zbadać chwilowe tempo zmian w danej chwili czasu. I właśnie to chwilowe tempo zmian funkcji opisuje jej pochodna.
V2(t)=0,2t
Na przykład, V2(5)=1. To znaczy, że nachylenie wykresu funkcji V2 dla x=5 wynosi 1. Co to znaczy, wracając do naszego zbiornika z wodą?
Prosta styczna do krzywej w danej chwili czasu ilustruje nachylenie wykresu w tej chwili. Wiemy już, że nachylenie prostej równe jest tempu zmian, możemy więc zinterpretować V2(5)=1 w następujący sposób:
W chwili t=5 sekund, zbiornik wypełniał się wodą w tempie 1 litr na sekundę.
Jest kilka rzeczy, na które warto zwrócić w tej interpretacji uwagę:
Po pierwsze, tempo zmian wyraziliśmy w litrach na sekundę. Jednostki, w jakich wyrażamy pochodną zawsze są stosunkiem jednostek, w jakich wyrażamy daną wielkość (w tym przypadku litrów) i jednostki, w jakich wyrażamy wielkość, w której zachodzi zmiana (w tym przypadku sekund).
Po drugie, tempo zmian odnosi się do ustalonej wartości zmiennej niezależnej (np.t=5 sekund). To właśnie związane jest z tym, że mamy do czynienia z chwilowym tempem zmian. W innej chwili czasu tempo zmian będzie inne. Jeśli analizujemy okres czasu, tempo zmian nie będzie na ogół stałe.
Zadanie 1.A
Przeanalizujmy następująca sytuację:
Lena idzie z domu do szkoły. Odległość jaką przeszła, w metrach, w chwili t minut od wyjścia z domu dana jest przez różniczkowalną funkcję D(t).
W jakich jednostkach wyrażamy pochodną D(t)?
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 2
Funkcja H(t) opisuje wysokość sadzonki drzewa, w centymetrach, po upływie t tygodni od posadzenia.
Nauczyciel poprosił czworo uczniów o podanie interpretacji równania H(5)=3 w tym przypadku.
Połącz uwagi nauczyciela z odpowiednimi interpretacjami uczniów:
1

Często popełniana błędy: Zły dobór jednostek, lub nieuwzględnienie jednostek w ogóle

Pamiętaj: Jeśli zadanie dotyczy konkretnego zastosowania, zawsze trzeba podawać jednostki.
Na przykład, w zadaniu 2, argumentem funkcji H jest czas, mierzony w tygodniach, a wynikiem działania funkcji jest wysokość sadzonki w centymetrach. Argumentem pochodnej H jest także czas mierzony w tygodniach, ale tym razem wynikiem jest tempo zmian mierzone w centymetrach na tydzień.

Inny często spotykany błąd: używanie zwrotu “w okresie czasu” zamiast “w danej chwili czasu”

Sensem pochodnej jest chwilowość tempa zmian. To znaczy, że kiedy mówimy o tempie zmian funkcji danym przez jej pochodną, powinniśmy zawsze mówić o chwilowym tempie zmian i określać punkt, do którego to chwilowe tempo zmian się odnosi.

Rozwiązywanie zadań o chwilowym tempie zmian

Zastanów się nad następującym zadaniem:
Karol wziął lekarstwo zgodnie z zaleceniem lekarza. Ilość leku, w miligramach, we krwi Karola po upływie t godzin od połknięcia tabletki dana jest przez następującą funkcję:
M(t)=20e0,8t
Ile wynosi chwilowa zmiana ilości leku we krwi Karola po upływie 1 godziny?
Pierwsze skojarzenie, które powinno przyjść nam do głowy po przeczytaniu tego zadania to że proszą nas o podanie chwilowego tempa zmian pewnej wielkości. A to oznacza, że chodzi o pochodną.
Jedyną funkcją, którą możemy zróżniczkować jest M, ale na wszelki wypadek upewnijmy się, że to jest to, o co chodzi: M określa ilość leku we krwi Karola w funkcji czasu, a my mamy obliczyć chwilowe tempo zmian tej wielkości. A więc, tak, chodzi o M:
M(t)=16e0,8t
Mamy powiedzieć, ile wynosi chwilowe tempo zmian po upływie 1 godziny od zażycia tabletki, to znaczy, że powinniśmy obliczyć M w punkcie t=1:
M(1)=16e0,87,2
W końcu, musimy pamiętać aby wyrazić naszą odpowiedź we właściwych jednostkach. Skoro M oznacza ilość leku we krwi w miligramach dla zmiennej niezależnej mierzonej w godzinach, jednostką Mmiligramy na godzinę.
Podsumowując, chwilowe tempo zmian ilości leku we krwi po upływie 1 godziny od zażycia lekarstwa wynosi 7,2 miligramów na godzinę.
Zadanie 3
Funkcja C opisuje koszt, w złotych, zniszczenia w kilogramów tajnych dokumentów pewnej firmy.
C(w)=0,001w30,15w2+7,5w
Ile wynosi chwilowe tempo zmian kosztu zniszczenia dokumentów, gdy waga dokumentów równa się 10 kilogramów?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Często popełniany błąd: obliczanie wartości funkcji zamiast pochodnej

Zapamiętaj: jeśli mamy obliczyć tempo zmian funkcji f, musimy przyjrzeć się pochodnej f. Obliczenie wartości funkcji f w danym punkcie nie pozwoli nam wnioskować na temat tempa zmian f w tym punkcie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.