If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Zastosowania pojęcia tempa zmian w różnych praktycznych zadaniach

Tempo zmian jest podstawowym pojęciem rachunku różniczkowego. Zobaczmy, jak przekłada się to na rozwiązania praktycznych problemów. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Jedna z podstawowych interpretacji pochodnej f, prime danej funkcji f określa f, prime, left parenthesis, k, right parenthesis jako chwilowe tempo zmian funkcji f w punkcie x, equals, k. Zobaczmy, jak ta interpretacja funkcjonuje w praktyce.
Załóżmy, że napełniamy zbiornik wodą. Objętość wody w zbiorniku, w litrach, w czasie t sekund od momentu rozpoczęcia napełniania dana jest przez funkcję liniowąV, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, t.
Nachylenie tej funkcji liniowej wynosi start fraction, 2, divided by, 3, end fraction i opisuje jej tempo zmian. Innymi słowy, zbiornik napełnia się w tempie start fraction, 2, divided by, 3, end fraction litra na sekundę.
Tempo zmian funkcji liniowej jest stałe, co czyni całą sprawę łatwiejszą do zrozumienia.
Wyobraźmy sobie teraz inny zbiornik, który napełnia się wodą w taki sposób, że jego objętość zmienia się w czasie zgodnie z funkcją V, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 0, comma, 1, t, squared, która tym razem nie jest funkcją liniową.
Zauważ, że teraz wykres z początku wznosi się wolno, a potem coraz szybciej i szybciej. Tym razem tempo zmian funkcji V, start subscript, 2, end subscript nie jest stałe.
Jeśli zastanawiamy się nad tempem zmian V, start subscript, 2, end subscript, wygodnie jest zbadać chwilowe tempo zmian w danej chwili czasu. I właśnie to chwilowe tempo zmian funkcji opisuje jej pochodna.
V, start subscript, 2, end subscript, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 0, comma, 2, t
Na przykład, V, start subscript, 2, end subscript, prime, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 1. To znaczy, że nachylenie wykresu funkcji V, start subscript, 2, end subscript dla x, equals, 5 wynosi 1. Co to znaczy, wracając do naszego zbiornika z wodą?
Prosta styczna do krzywej w danej chwili czasu ilustruje nachylenie wykresu w tej chwili. Wiemy już, że nachylenie prostej równe jest tempu zmian, możemy więc zinterpretować V, start subscript, 2, end subscript, prime, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 1 w następujący sposób:
W chwili t, equals, 5 sekund, zbiornik wypełniał się wodą w tempie 1 litr na sekundę.
Jest kilka rzeczy, na które warto zwrócić w tej interpretacji uwagę:
Po pierwsze, tempo zmian wyraziliśmy w litrach na sekundę. Jednostki, w jakich wyrażamy pochodną zawsze są stosunkiem jednostek, w jakich wyrażamy daną wielkość (w tym przypadku litrów) i jednostki, w jakich wyrażamy wielkość, w której zachodzi zmiana (w tym przypadku sekund).
Po drugie, tempo zmian odnosi się do ustalonej wartości zmiennej niezależnej (np.t, equals, 5 sekund). To właśnie związane jest z tym, że mamy do czynienia z chwilowym tempem zmian. W innej chwili czasu tempo zmian będzie inne. Jeśli analizujemy okres czasu, tempo zmian nie będzie na ogół stałe.
Zadanie 1.A
Przeanalizujmy następująca sytuację:
Lena idzie z domu do szkoły. Odległość jaką przeszła, w metrach, w chwili t minut od wyjścia z domu dana jest przez różniczkowalną funkcję D, left parenthesis, t, right parenthesis.
W jakich jednostkach wyrażamy pochodną D, prime, left parenthesis, t, right parenthesis?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 2
Funkcja H, left parenthesis, t, right parenthesis opisuje wysokość sadzonki drzewa, w centymetrach, po upływie t tygodni od posadzenia.
Nauczyciel poprosił czworo uczniów o podanie interpretacji równania H, prime, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 3 w tym przypadku.
Połącz uwagi nauczyciela z odpowiednimi interpretacjami uczniów:

Często popełniana błędy: Zły dobór jednostek, lub nieuwzględnienie jednostek w ogóle

Pamiętaj: Jeśli zadanie dotyczy konkretnego zastosowania, zawsze trzeba podawać jednostki.
Na przykład, w zadaniu 2, argumentem funkcji H jest czas, mierzony w tygodniach, a wynikiem działania funkcji jest wysokość sadzonki w centymetrach. Argumentem pochodnej H, prime jest także czas mierzony w tygodniach, ale tym razem wynikiem jest tempo zmian mierzone w centymetrach na tydzień.

Inny często spotykany błąd: używanie zwrotu “w okresie czasu” zamiast “w danej chwili czasu”

Sensem pochodnej jest chwilowość tempa zmian. To znaczy, że kiedy mówimy o tempie zmian funkcji danym przez jej pochodną, powinniśmy zawsze mówić o chwilowym tempie zmian i określać punkt, do którego to chwilowe tempo zmian się odnosi.

Rozwiązywanie zadań o chwilowym tempie zmian

Zastanów się nad następującym zadaniem:
Karol wziął lekarstwo zgodnie z zaleceniem lekarza. Ilość leku, w miligramach, we krwi Karola po upływie t godzin od połknięcia tabletki dana jest przez następującą funkcję:
M, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 20, dot, e, start superscript, start superscript, minus, 0, comma, 8, t, end superscript, end superscript
Ile wynosi chwilowa zmiana ilości leku we krwi Karola po upływie 1 godziny?
Pierwsze skojarzenie, które powinno przyjść nam do głowy po przeczytaniu tego zadania to że proszą nas o podanie chwilowego tempa zmian pewnej wielkości. A to oznacza, że chodzi o pochodną.
Jedyną funkcją, którą możemy zróżniczkować jest M, ale na wszelki wypadek upewnijmy się, że to jest to, o co chodzi: M określa ilość leku we krwi Karola w funkcji czasu, a my mamy obliczyć chwilowe tempo zmian tej wielkości. A więc, tak, chodzi o M, prime:
M, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, minus, 16, dot, e, start superscript, minus, 0, comma, 8, t, end superscript
Mamy powiedzieć, ile wynosi chwilowe tempo zmian po upływie 1 godziny od zażycia tabletki, to znaczy, że powinniśmy obliczyć M, prime w punkcie t, equals, 1:
M, prime, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, minus, 16, dot, e, start superscript, minus, 0, comma, 8, end superscript, approximately equals, minus, 7, comma, 2
W końcu, musimy pamiętać aby wyrazić naszą odpowiedź we właściwych jednostkach. Skoro M oznacza ilość leku we krwi w miligramach dla zmiennej niezależnej mierzonej w godzinach, jednostką M, primemiligramy na godzinę.
Podsumowując, chwilowe tempo zmian ilości leku we krwi po upływie 1 godziny od zażycia lekarstwa wynosi minus, 7, comma, 2 miligramów na godzinę.
Zadanie 3
Funkcja C opisuje koszt, w złotych, zniszczenia w kilogramów tajnych dokumentów pewnej firmy.
C, left parenthesis, w, right parenthesis, equals, 0, comma, 001, w, cubed, minus, 0, comma, 15, w, squared, plus, 7, comma, 5, w
Ile wynosi chwilowe tempo zmian kosztu zniszczenia dokumentów, gdy waga dokumentów równa się 10 kilogramów?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Często popełniany błąd: obliczanie wartości funkcji zamiast pochodnej

Zapamiętaj: jeśli mamy obliczyć tempo zmian funkcji f, musimy przyjrzeć się pochodnej f, prime. Obliczenie wartości funkcji f w danym punkcie nie pozwoli nam wnioskować na temat tempa zmian f w tym punkcie.