If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 4

Lekcja 4: Wprowadzenie do obliczeń tempa zmian powiązanych ze sobą wielkości
Matematyka
Analiza matematyczna - program rozszerzony I
Różne zastosowania rachunku różniczkowego
Wprowadzenie do obliczeń tempa zmian powiązanych ze sobą wielkości
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Rozwiązywanie zadań o tempie zmian wielkości powiązanych ze sobą

Google Classroom
Rozwiązywanie zadań o tempie zmian wielkości, które są ze sobą powiązane, polega na tym, że staramy się znaleźć związek danej wielkości, której tempo zmian mamy obliczyć, z inną wielkością, której tempo zmian znamy i na tej podstawie znaleźć rozwiązanie. Zobaczmy, jak to się robi. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
W zadaniach, w których mamy wyznaczyć tempo zmiany powiązanych wielkości chodzi o to, aby oblicz tempo zmian pewnej wielkości poprzez powiązanie jej z innymi wielkościami, których tempo zmian znamy.

Przykład obliczenia tempa zmian powiązanych wielkości

Przypuśćmy, że mamy rozwiązać następujące zadanie:
Promień koła, r, left parenthesis, t, right parenthesis, rośnie w tempie 3 centymetrów na sekundę. W pewnej chwili t, start subscript, 0, end subscript, promień wynosi 8 centymetrów.
Ile wynosi tempo zmian pola powierzchni A, left parenthesis, t, right parenthesis koła w tej właśnie chwili czasu?

Spróbujmy zrozumieć związki pomiędzy tymi wielkościami i tempem ich zmian

W tym zadaniu zajmujemy się kołem, którego promień zmienia się w czasie. W zagadnieniu występują dwie różne wielkości:
r, left parenthesis, t, right parenthesis to promień koła w chwili t sekund od momentu rozpoczęcia liczenia czasu. Promień to długość, mierzymy go na przykład w centymetrach.
A, left parenthesis, t, right parenthesis to pole powierzchni tego samego koła w chwili t sekund od momentu rozpoczęcia liczenia czasu. Pole powierzchni mierzymy w centymetrach kwadratowych.
Q zadaniu występują także tempa zmian obu tych wielkości. Tempo zmian to po prostu pochodna danej wielkości po czasie:
r, prime, left parenthesis, t, right parenthesis oznacza tempo zmian promienia koła w chwili t, mierzone w centymetrach na sekundę.
A, prime, left parenthesis, t, right parenthesis oznacza tempo zmian pola powierzchni koła w chwili t, mierzone w centymetrach kwadratowych na sekundę.

Spróbujmy zrozumieć, o co tu chodzi

Wiemy, że promień koła rośnie z szybkością 3 centymetrów na sekundę. To oznacza, że w dowolnej chwili t, start color #1fab54, r, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 3, end color #1fab54.
Wiemy także, że w pewnej chwili t, start subscript, 0, end subscript promień koła wynosił 8 centymetrów. To oznacza, że start color #11accd, r, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 8, end color #11accd. To równanie jest słuszne tylko dla chwili t, start subscript, 0, end subscript i nie jest prawdziwe dla innej chwili czasu t.
Nasze zadanie polega na obliczeniu tempa zmian pola powierzchni koła A, left parenthesis, t, right parenthesis w tej właśnie chwili t, start subscript, 0, end subscript. Matematycznie, powiedzielibyśmy że chcemy obliczyć start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10.

Związek pomiędzy polem powierzchni i promieniem koła

Rozumiemy już, z jakimi wielkościami mamy do czynienia, pora więc znaleźć wzór, który je łączy. Chcemy znaleźć związek pomiędzy polem powierzchni a promieniem koła. Te dwie wielkości wiąże wzór na pole powierzchni koła:
A, equals, pi, r, squared

Różniczkowanie

Najprostszy sposób by obliczyć start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10 to po prostu zróżniczkować po czasie obie strony tego równania. W ten sposób będziemy mogli przedstawić start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10 za pomocą wielkości, które znamy, to znaczy r, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis i start color #1fab54, r, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #1fab54 i w ten sposób obliczyć start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10.
Skorzystajmy teraz ze wzoru na A, left parenthesis, r, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis i różniczkujmy. Wynik będzie zależał od r, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, tzn. pochodnej promienia koła po czasie.
A(t)=π[r(t)]2ddt[A(t)]=ddt[π[r(t)]2]A′(t)=2πr(t)r′(t)\begin{aligned} A(t)&=\pi [r(t)]^2 \\\\ \dfrac{d}{dt}[A(t)]&=\dfrac{d}{dt}\Bigl[\pi [r(t)]^2\Bigr] \\\\ \goldD{A'(t)}&=2\pi\blueD{r(t)}\greenD{r'(t)} \end{aligned}
To jest sedno naszego rozwiązania: dzięki temu, że powiązaliśmy ze sobą wielkości występujące w zadaniu (tzn.. A i r), różniczkując po czasie mogliśmy powiązać także odpowiednie tempa ich zmian (tzn. A, prime i r, prime). Dlatego właśnie mówimy tutaj o "tempie zmian powiązanych ze sobą wielkości"!

Rozwiązanie

Równanie, które otrzymaliśmy, jest prawdziwe dla dowolnej chwili t, a więc także w chwili t, start subscript, 0, end subscript. Podstawiająć start color #11accd, r, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 8, end color #11accd i start color #1fab54, r, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 3, end color #1fab54 do tego równania, otrzymamy:
A′(t0)=2πr(t0)r′(t0)=2π(8)(3)=48π\begin{aligned} \goldD{A'(t_0)}&=2\pi\blueD{r(t_0)}\greenD{r'(t_0)} \\\\ &=2\pi(\blueD 8)(\greenD 3) \\\\ &=48\pi \end{aligned}
Podsumowując, obliczyliśmy że w chwili t, start subscript, 0, end subscript pole powierzchni tego koła rośnie w tempie 48, pi centymetrów kwadratowych na sekundę.
Zadanie 1.A
  • Prąd elektryczny
W tym zadaniu poprowadzimy Cię jeszcze raz przez analizę obliczania tempa zmian powiązanych wielkości na przykładzie następującego zadania:
Podstawa trójkąta zmniejsza się w tempie 13 start text, m, slash, h, end text (metrów na godzinę), a wysokość tego trójkąta zwiększa się w tempie 6 start text, m, slash, h, end text. W pewnej chwili t, start subscript, 0, end subscript podstawa wynosi 5 start text, m, end text, a wysokość 1 start text, m, end text. Jakie jest tempo zmian pola trójkąta A, left parenthesis, t, right parenthesis w tej właśnie chwili?
Dopasuj odpowiednie jednostki do każdej z podanych wielkości.
start text, m, end text
start text, m, slash, h, end text
start text, m, end text, squared
start text, m, end text, squared, start text, slash, h, end text
b, prime, left parenthesis, t, right parenthesis
A, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
h, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
start fraction, d, A, divided by, d, t, end fraction

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Częsty problem: kłopoty ze zrozumieniem, które wielkości się zmieniają, a które są stałe

W typowym zadaniu o powiązanych ze sobą tempach zmian różnych wielkości mamy do czynienia z różnymi wyrażeniami. Jedne z nich opisują wielkości, inne tempa ich zmian w czasie. Jeszcze inne są stałymi w czasie współczynnikami.
To bardzo ważne, byś rozumiał(a) znaczenie poszczególnych wyrażeń i umiał(a) przypisać im odpowiednie wartości, jeśli takie dane są w treści zadania.
Warto powtórzyć jeszcze raz analizę podobną do tych z przykładu z kołem i z zadania z trójkątem: jaką interpretację mają występujące w zadaniu wielkości? W jakich jednostkach je wyrażamy? Ile wynoszą odpowiednio tempa ich zmian? Ile wynoszą ich wartości?
Zadanie 2
Rozważ następujące zadanie:
Dwa samochody zbliżają się do skrzyżowania jadąc w dwóch, prostopadłych do siebie kierunkach. Prędkość pierwszego samochodu wynosi 50, start text, space, k, m, slash, h, end text, a prędkość drugiego równa się 90, start text, space, k, m, slash, h, end text. W pewnej chwili t, start subscript, 0, end subscript pierwszy samochód znajduje się w odległości x, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis równej 0, comma, 5, start text, space, k, m, end text od środka skrzyżowania, a odległość drugiego samochodu od środka skrzyżowania w tej samej chwili wynosi y, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis równe 1, comma, 2, start text, space, k, m, end text. Ile wynosi tempo zmian odległości d, left parenthesis, t, right parenthesis pomiędzy samochodami w tej chwili czasu?
Którego z poniższych równań należy użyć, aby rozwiązać to zadanie?
Wybierz 1 odpowiedź:

Częsty błąd: opieramy się na równaniu, które nie opisuje sytuacji danej w tym zadaniu

Prawidłowe równanie, które wiąże wielkości występujące w zadaniu, odgrywa podstawową rolę w znalezieniu jego rozwiązania. W typowej sytuacji pomocny będzie rysunek, na którym pojawią się wszystkie te wielkości. Na przykład, w tym zadaniu odległości samochodów od środka skrzyżowania i odległość pomiędzy samochodami tworzą razem trójkąt prostokątny..
Rysunek wyraźnie pokazuje że chodzi o związek pomiędzy długościami trzech boków trójkąta prostokątnego. które spełniają twierdzenie Pitagorasa:
open bracket, d, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, squared, equals, open bracket, x, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, squared, plus, open bracket, y, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, squared
Gdyby rysunku nie było, moglibyśmy przypadkowo potraktować d, left parenthesis, t, right parenthesis jako pole powierzchni trójkąta...
d, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, start fraction, x, left parenthesis, t, right parenthesis, dot, y, left parenthesis, t, right parenthesis, divided by, 2, end fraction
...albo potraktować x, left parenthesis, t, right parenthesis, y, left parenthesis, t, right parenthesis oraz d, left parenthesis, t, right parenthesis jak trzy kąty w trójkącie...
d, left parenthesis, t, right parenthesis, plus, x, left parenthesis, t, right parenthesis, plus, y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 180
...czy na przykład potraktować d, left parenthesis, t, right parenthesis tak, jakby to był kąt i próbować użyć go jako argumentu w funkcji trygonometrycznej.
tangent, open bracket, d, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, equals, start fraction, y, left parenthesis, t, right parenthesis, divided by, x, left parenthesis, t, right parenthesis, end fraction.
Czasem w zadaniu może chodzić o sumę kątów, a czasem o pole lub kąt w trójkącie,, ale w tym zadaniu chodzi o przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego.
Zadanie 3
Rozważ następujące zadanie:
Drabina o długości 20 opiera się górnym końcem o ścianę. Odległość x, left parenthesis, t, right parenthesis pomiędzy dolnym, opartym o ziemię końcem, a ścianą rośnie w tempie of 3 metrów na minutę. W pewnej chwili t, start subscript, 0, end subscript odległość od ziemi górnego końca drabiny y, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis wynosi 15 metrów. W jakim tempie, w tej właśnie chwili, zmienia się kąt theta, left parenthesis, t, right parenthesis pomiędzy drabiną a ziemią?
Którego z poniższych równań należy użyć, aby rozwiązać to zadanie?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.