Główna zawartość
Analiza matematyczna - program rozszerzony I
Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 4
Lekcja 4: Wprowadzenie do obliczeń tempa zmian powiązanych ze sobą wielkości- Wprowadzenie do tempa zmian powiązanych wielkości
- Rozwiązywanie zadań o tempie zmian wielkości powiązanych ze sobą
- Analizowanie wyrażeń związanych z wielkościami, których tempa zmian są algebraicznie powiązane.
- Rozwiązywanie zadań o tempie zmian wielkości powiązanych ze sobą: które równanie wybrać?
- Różniczkowanie funkcji zadanych w postaci uwikłanej
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Rozwiązywanie zadań o tempie zmian wielkości powiązanych ze sobą
Rozwiązywanie zadań o tempie zmian wielkości, które są ze sobą powiązane, polega na tym, że staramy się znaleźć związek danej wielkości, której tempo zmian mamy obliczyć, z inną wielkością, której tempo zmian znamy i na tej podstawie znaleźć rozwiązanie. Zobaczmy, jak to się robi. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
W zadaniach, w których mamy wyznaczyć tempo zmiany powiązanych wielkości chodzi o to, aby oblicz tempo zmian pewnej wielkości poprzez powiązanie jej z innymi wielkościami, których tempo zmian znamy.
Przykład obliczenia tempa zmian powiązanych wielkości
Przypuśćmy, że mamy rozwiązać następujące zadanie:
Promień koła, r, left parenthesis, t, right parenthesis, rośnie w tempie 3 centymetrów na sekundę. W pewnej chwili t, start subscript, 0, end subscript, promień wynosi 8 centymetrów.
Ile wynosi tempo zmian pola powierzchni A, left parenthesis, t, right parenthesis koła w tej właśnie chwili czasu?
Spróbujmy zrozumieć związki pomiędzy tymi wielkościami i tempem ich zmian
W tym zadaniu zajmujemy się kołem, którego promień zmienia się w czasie. W zagadnieniu występują dwie różne wielkości:
r, left parenthesis, t, right parenthesis to promień koła w chwili t sekund od momentu rozpoczęcia liczenia czasu. Promień to długość, mierzymy go na przykład w centymetrach.
A, left parenthesis, t, right parenthesis to pole powierzchni tego samego koła w chwili t sekund od momentu rozpoczęcia liczenia czasu. Pole powierzchni mierzymy w centymetrach kwadratowych.
Q zadaniu występują także tempa zmian obu tych wielkości. Tempo zmian to po prostu pochodna danej wielkości po czasie:
r, prime, left parenthesis, t, right parenthesis oznacza tempo zmian promienia koła w chwili t, mierzone w centymetrach na sekundę.
A, prime, left parenthesis, t, right parenthesis oznacza tempo zmian pola powierzchni koła w chwili t, mierzone w centymetrach kwadratowych na sekundę.
Spróbujmy zrozumieć, o co tu chodzi
Wiemy, że promień koła rośnie z szybkością 3 centymetrów na sekundę. To oznacza, że w dowolnej chwili t, start color #1fab54, r, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 3, end color #1fab54.
Wiemy także, że w pewnej chwili t, start subscript, 0, end subscript promień koła wynosił 8 centymetrów. To oznacza, że start color #11accd, r, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 8, end color #11accd. To równanie jest słuszne tylko dla chwili t, start subscript, 0, end subscript i nie jest prawdziwe dla innej chwili czasu t.
Nasze zadanie polega na obliczeniu tempa zmian pola powierzchni koła A, left parenthesis, t, right parenthesis w tej właśnie chwili t, start subscript, 0, end subscript. Matematycznie, powiedzielibyśmy że chcemy obliczyć start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10.
Związek pomiędzy polem powierzchni i promieniem koła
Rozumiemy już, z jakimi wielkościami mamy do czynienia, pora więc znaleźć wzór, który je łączy. Chcemy znaleźć związek pomiędzy polem powierzchni a promieniem koła. Te dwie wielkości wiąże wzór na pole powierzchni koła:
Różniczkowanie
Najprostszy sposób by obliczyć start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10 to po prostu zróżniczkować po czasie obie strony tego równania. W ten sposób będziemy mogli przedstawić start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10 za pomocą wielkości, które znamy, to znaczy r, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis i start color #1fab54, r, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #1fab54 i w ten sposób obliczyć start color #e07d10, A, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #e07d10.
Skorzystajmy teraz ze wzoru na A, left parenthesis, r, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis i różniczkujmy. Wynik będzie zależał od r, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, tzn. pochodnej promienia koła po czasie.
To jest sedno naszego rozwiązania: dzięki temu, że powiązaliśmy ze sobą wielkości występujące w zadaniu (tzn.. A i r), różniczkując po czasie mogliśmy powiązać także odpowiednie tempa ich zmian (tzn. A, prime i r, prime). Dlatego właśnie mówimy tutaj o "tempie zmian powiązanych ze sobą wielkości"!
Rozwiązanie
Równanie, które otrzymaliśmy, jest prawdziwe dla dowolnej chwili t, a więc także w chwili t, start subscript, 0, end subscript. Podstawiająć start color #11accd, r, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 8, end color #11accd i start color #1fab54, r, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 3, end color #1fab54 do tego równania, otrzymamy:
Podsumowując, obliczyliśmy że w chwili t, start subscript, 0, end subscript pole powierzchni tego koła rośnie w tempie 48, pi centymetrów kwadratowych na sekundę.
Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.
Częsty problem: kłopoty ze zrozumieniem, które wielkości się zmieniają, a które są stałe
W typowym zadaniu o powiązanych ze sobą tempach zmian różnych wielkości mamy do czynienia z różnymi wyrażeniami. Jedne z nich opisują wielkości, inne tempa ich zmian w czasie. Jeszcze inne są stałymi w czasie współczynnikami.
To bardzo ważne, byś rozumiał(a) znaczenie poszczególnych wyrażeń i umiał(a) przypisać im odpowiednie wartości, jeśli takie dane są w treści zadania.
Warto powtórzyć jeszcze raz analizę podobną do tych z przykładu z kołem i z zadania z trójkątem: jaką interpretację mają występujące w zadaniu wielkości? W jakich jednostkach je wyrażamy? Ile wynoszą odpowiednio tempa ich zmian? Ile wynoszą ich wartości?
Częsty błąd: opieramy się na równaniu, które nie opisuje sytuacji danej w tym zadaniu
Prawidłowe równanie, które wiąże wielkości występujące w zadaniu, odgrywa podstawową rolę w znalezieniu jego rozwiązania. W typowej sytuacji pomocny będzie rysunek, na którym pojawią się wszystkie te wielkości. Na przykład, w tym zadaniu odległości samochodów od środka skrzyżowania i odległość pomiędzy samochodami tworzą razem trójkąt prostokątny..
Rysunek wyraźnie pokazuje że chodzi o związek pomiędzy długościami trzech boków trójkąta prostokątnego. które spełniają twierdzenie Pitagorasa:
Gdyby rysunku nie było, moglibyśmy przypadkowo potraktować d, left parenthesis, t, right parenthesis jako pole powierzchni trójkąta...
...albo potraktować x, left parenthesis, t, right parenthesis, y, left parenthesis, t, right parenthesis oraz d, left parenthesis, t, right parenthesis jak trzy kąty w trójkącie...
...czy na przykład potraktować d, left parenthesis, t, right parenthesis tak, jakby to był kąt i próbować użyć go jako argumentu w funkcji trygonometrycznej.
tangent, open bracket, d, left parenthesis, t, right parenthesis, close bracket, equals, start fraction, y, left parenthesis, t, right parenthesis, divided by, x, left parenthesis, t, right parenthesis, end fraction.
Czasem w zadaniu może chodzić o sumę kątów, a czasem o pole lub kąt w trójkącie,, ale w tym zadaniu chodzi o przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego.
Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji