Dowód reguły de l'Hospitala w szczególnym przypadku

Twierdzenie, znane jako reguła de l'Hospitala pomaga nam obliczać granicę wyrażenia $\displaystyle\lim_{x\to c}\dfrac{u(x)}{v(x)}$limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, start fraction, u, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, v, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction w sytuacji, gdy podstawienie granic licznika i mianownika daje wyrażenie nieokreślone postaci $\dfrac00$start fraction, 0, divided by, 0, end fraction lub $\dfrac\infty\infty$start fraction, infinity, divided by, infinity, end fraction.

Krótko mówiąc, reguła mówi, że jeżeli granica $\displaystyle\lim_{x\to c}\dfrac{u'(x)}{v'(x)}$limit, start subscript, x, \to, c, end subscript, start fraction, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction istnieje, to następujące dwie granice są sobie równe:

Program kursu rachunku różniczkowego AP nie wymaga znajomości dowodu tego twierdzenia, ale naszym zdaniem warto poznać ten dowód, tym bardziej że leży on całkowicie w naszym zasięgu. Zawsze warto zastanowić się nad dowodem, albo przynajmniej uzasadnieniem twierdzenia, które właśnie poznajesz.