Jeśli widzisz tę wiadomość oznacza to, że mamy problemy z załadowaniem zewnętrznych materiałów na naszej stronie internetowej.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Główna zawartość

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Metoda rozdzielenia zmiennych jest popularnym sposobem rozwiązywania równań różniczkowych. Zobacz, kiedy i jak można ją zastosować.
Metoda rozdzielenia zmiennych jest często spotykanym sposobem zapisania równania różniczkowego w postaci, która umożliwia jego rozwiązanie. Zobaczmy jak to działa na przykładzie równania dydx=2x3y2:
(1)dydx=2x3y2(2)3y2dydx=2xPomnóż obie strony przez 3y2(3)3y2dy=2xdxPomnóż obie strony (formalnie) przez dx dx(4)3y2dy=2xdxWeź całki nieoznaczone z obu stron, po dx i po dy(5)y3=x2+COblicz całki(6)y=Ax2+C3Wyznacz y

Prześledźmy to rozwiązanie.

W (2) i (3) wierszu zapisaliśmy wyjściowe równanie z wiersza (1) w taki sposób: f(y)dy=g(x)dx. Innymi słowy, rozdzieliliśmy x i y tak, że po jednej stronie równania występowała tylko jedna zmienna, włączając w to także dx i dy, które razem tworzyly symbol dydx. To właśnie dlatego ten sposób nazywamy "metodą rozdzielenia zmiennych."
W wierszu (4) wzięliśmy całki nieoznaczone z obu stron równania. Zasada jest taka, że o ile f(y)dy równa się g(x)dx, to całki nieoznaczone z obu stron także muszą być równe.
W wierszach (5) oraz (6) wykonaliśmy te całki, po y (po lewej stronie równania) i po x (z prawej strony równania) i wyznaczyliśmy y.
Stałą całkowania C uwzględniliśmy tylko po prawej stronie tego równania. Uwzględnianie stałej całkowania po obu stronach nie jest konieczne, zawsze można jedną z tych stałych przenieść na drugą stronę, tak że rozwiązanie zależy tylko od jednej stałej całkowania.
A zatem, ogólne rozwiązanie równania dydx=2x3y2 ma postać funkcji y=Ax2+C3. Podstaw teraz tak zdefiniowane y do tego równania i sprawdź, że rzeczywiście jest rozwiązaniem.
Spoglądając na nasze rozwiązanie, przekonasz się że to właśnie rozdzielenie zmiennych w wierszach (2) i (3) pozwoliło nam wykonać całkowanie i przejść do równania bez pierwszej pochodnej.
Zadanie 1.A
W tym zadaniu poprowadzimy Cię jeszcze raz przez procedurę rozwiązywania równania różniczkowego metodą zmiennych rozdzielonych:
dydx=exy2
Jak wygląda to równanie po rozdzieleniu zmiennych?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.