Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Metoda rozdzielenia zmiennych jest często spotykanym sposobem zapisania równania różniczkowego w postaci, która umożliwia jego rozwiązanie. Zobaczmy jak to działa na przykładzie równania $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{3y^2}$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, 2, x, divided by, 3, y, squared, end fraction:

W $(2)$left parenthesis, 2, right parenthesis i $(3)$left parenthesis, 3, right parenthesis wierszu zapisaliśmy wyjściowe równanie z wiersza $(1)$left parenthesis, 1, right parenthesis w taki sposób: $f(y)\,dy=g(x)\,dx$f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x. Innymi słowy, rozdzieliliśmy $x$x i $y$y tak, że po jednej stronie równania występowała tylko jedna zmienna, włączając w to także $dx$d, x i $dy$d, y, które razem tworzyly symbol $\dfrac{dy}{dx}$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction. To właśnie dlatego ten sposób nazywamy "metodą rozdzielenia zmiennych."

W wierszu $(4)$left parenthesis, 4, right parenthesis wzięliśmy całki nieoznaczone z obu stron równania. Zasada jest taka, że o ile $f(y)\,dy$f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y równa się $g(x)\,dx$g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, to całki nieoznaczone z obu stron także muszą być równe.

W wierszach $(5)$left parenthesis, 5, right parenthesis oraz $(6)$left parenthesis, 6, right parenthesis wykonaliśmy te całki, po $y$y (po lewej stronie równania) i po $x$x (z prawej strony równania) i wyznaczyliśmy $y$y.

Stałą całkowania $C$C uwzględniliśmy tylko po prawej stronie tego równania. Uwzględnianie stałej całkowania po obu stronach nie jest konieczne, zawsze można jedną z tych stałych przenieść na drugą stronę, tak że rozwiązanie zależy tylko od jednej stałej całkowania.

A zatem, ogólne rozwiązanie równania $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{3y^2}$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, 2, x, divided by, 3, y, squared, end fraction ma postać funkcji $y=\sqrt[3]{x^2+C}$y, equals, cube root of, x, squared, plus, C, end cube root. Podstaw teraz tak zdefiniowane $y$y do tego równania i sprawdź, że rzeczywiście jest rozwiązaniem.

Spoglądając na nasze rozwiązanie, przekonasz się że to właśnie rozdzielenie zmiennych w wierszach $(2)$left parenthesis, 2, right parenthesis i $(3)$left parenthesis, 3, right parenthesis pozwoliło nam wykonać całkowanie i przejść do równania bez pierwszej pochodnej.