Rozpoznawanie równań separowalnych

Aby móc rozwiązać równanie różniczkowe metodą rozdzielenia zmiennych, musimy być w stanie zapisać je w postaci $f(y)\,dy=g(x)\,dx$f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, gdzie $f(y)$f, left parenthesis, y, right parenthesis jest wyrażeniem niezależnym od $x$x, a $g(x)$g, left parenthesis, x, right parenthesis jest wyrażeniem niezależnym od $y$y.

Nie każde równanie różniczkowe można zapisać w tej postaci. Na przykład, równania $\dfrac{dy}{dx}=x+y$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, x, plus, y nie można sprowadzić do postaci $f(y)\,dy=g(x)\,dx$f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, niezależnie od tego jak długo byśmy próbowali.

Najtrudniejszym aspektem metody rozdzielenia zmiennych jest sprawdzenie, czy metodę tę można rzeczywiście zastosować. Równania różniczkowe, które udaje się rozwiązać tą metodą noszą nazwę równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych.

A więc, jak można sprawdzić, czy dane równanie różniczkowe jest równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych? Nie ma uniwersalnej reguły, ale warto sprawdzić najprostsze przypadki. Najczęściej spotykanym równaniem o zmiennych rozdzielonych jest równanie, w którym $\dfrac{dy}{dx}$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction równa się iloczynowi lub ilorazowi dwóch funkcji $f(y)$f, left parenthesis, y, right parenthesis oraz $g(x)$g, left parenthesis, x, right parenthesis.

Na przykład, równanie $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\blueD{g(x)}}{\maroonD{f(y)}}$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction formalnie można, po pomnożeniu przez $\maroonD{f(y)}$start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c i $dx$d, x, zapisać w postaci $\maroonD{f(y)}dy=\blueD{g(x)}dx$start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, d, y, equals, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, d, x.

Podobnie, równanie $\dfrac{dy}{dx}=\maroonD{f(y)}\blueD{g(x)}$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd można formalnie zapisać w postaci $\dfrac{1}{\maroonD{f(y)}}\,dy=\blueD{g(x)}dx$start fraction, 1, divided by, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, d, y, equals, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, d, x, jeśli podzielimy je prze $\maroonD{f(y)}$start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c i pomnożymy przez $dx$d, x.

Oto jeszcze kilka przykładów:

Czasem trzeba odpowiednio przekształcić równanie, zanim będzie można zapisać je w postaci $\dfrac{dy}{dx}=f(y)g(x)$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, f, left parenthesis, y, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis. Na przykład, prawą stronę równania $\dfrac{dy}{dx}=xy-7x$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, x, y, minus, 7, x trzeba najpierw przekształcić do postaci iloczynu dwóch czynników: