Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 2

Lekcja 8: Pochodne cos(x), sin(x), 𝑒ˣ, oraz ln(x)

Wyprowadzenie wzorów na pochodne sin(x) i cos(x)

Dowód, że pochodna sin(x) równa się cos(x), a pochodna cos(x) równa się -sin(x). Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Funkcje trygonometryczne sine, left parenthesis, x, right parenthesis i cosine, left parenthesis, x, right parenthesis odgrywają ważną rolę w zastosowaniach analizy matematycznej. Ich pochodne wynoszą:

\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}[\sin(x)]&=\cos(x) \\\\ \dfrac{d}{dx}[\cos(x)]&=-\sin(x) \end{aligned}

Program kursu rachunku różniczkowego AP nie wymaga znajomości dowodu tych wzorów, ale naszym zdaniem warto je poznać, tym bardziej że leżą one całkowicie w naszym zasięgu. Zawsze warto zastanowić się nad dowodem, albo przynajmniej uzasadnieniem twierdzenia, które właśnie poznajesz.

Zaczniemy od obliczenia dwóch granic, które wykorzystamy w naszym dowodzie.

1. limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 1

Filmy wideo na Khan Academy

Limit of sin(x)/x as x approaches 0Zobacz transkrypcję filmu

2. limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 0

Filmy wideo na Khan Academy

Limit of (1-cos(x))/x as x approaches 0Zobacz transkrypcję filmu

Jesteśmy gotowi aby udowodnić, że pochodna sine, left parenthesis, x, right parenthesis wynosi cosine, left parenthesis, x, right parenthesis.

Filmy wideo na Khan Academy

Proof of the derivative of sin(x)Zobacz transkrypcję filmu

A teraz skorzystamy z faktu, że pochodna sine, left parenthesis, x, right parenthesis wynosi cosine, left parenthesis, x, right parenthesis aby udowodnić, że pochodna cosine, left parenthesis, x, right parenthesis wynosi minus, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.

Filmy wideo na Khan Academy

Proof of the derivative of cos(x)Zobacz transkrypcję filmu

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 2

Zaczniemy od obliczenia dwóch granic, które wykorzystamy w naszym dowodzie.

1. lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x}=1x→0lim​xsin(x)​=1limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 1

2. lim⁡x→01−cos⁡(x)x=0\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(x)}{x}=0x→0lim​x1−cos(x)​=0limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 0

Jesteśmy gotowi aby udowodnić, że pochodna sin⁡(x)\sin(x)sin(x)sine, left parenthesis, x, right parenthesis wynosi cos⁡(x)\cos(x)cos(x)cosine, left parenthesis, x, right parenthesis.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

1. limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 1

2. limit, start subscript, x, \to, 0, end subscript, start fraction, 1, minus, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, end fraction, equals, 0

Jesteśmy gotowi aby udowodnić, że pochodna sine, left parenthesis, x, right parenthesis wynosi cosine, left parenthesis, x, right parenthesis.