If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Podsumowanie wiadomości na temat różniczkowania iloczynu funkcji

Powtórz sobie, co wiesz o różniczkowaniu iloczynu funkcji i wykorzystaj te wiadomości do rozwiązania kilku zadań.

Jak obliczyć pochodną iloczynu funkcji?

Wzór na pochodną iloczynu mówi nam jak obliczyć pochodną wyrażenia, które jest iloczynem dwóch funkcji, lub w bardziej ogólnym przypadku, dwóch innych wyrażeń:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, equals, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket
Krótko mówiąc, jeśli mamy policzyć pochodną iloczynu dwóch funkcji f i g, należy pochodną f pomnożyć przez g i dodać do tego f pomnożoną przez pochodną g.
Chcesz dowiedzieć więcej różniczkowaniu iloczynu funkcji? Obejrzyj ten film.

Jakie zadania mogę rozwiązać za pomocą wzoru na pochodną iloczynu funkcji?

Przykład 1

Na przykład, oblicz pochodną funkcji danej wzorem h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis:
=h(x)=ddx(ln(x)cos(x))=ddx(ln(x))cos(x)+ln(x)ddx(cos(x))Zastosuj wzoˊr na pochodną iloczynu=1xcos(x)+ln(x)(sin(x))Podstaw pochodne ln(x) i cos(x)=cos(x)xln(x)sin(x)Uprosˊcˊ\begin{aligned} &\phantom{=}h'(x) \\\\ &=\dfrac{d}{dx}(\ln(x)\cos(x)) \\\\ &=\dfrac{d}{dx}(\ln(x))\cos(x)+\ln(x)\dfrac{d}{dx}(\cos(x))&&\gray{\text{Zastosuj wzór na pochodną iloczynu}} \\\\ &=\dfrac{1}{x}\cdot \cos(x)+\ln(x)\cdot (-\sin(x))&&\gray{\text{Podstaw pochodne }\ln(x)\text{ i }\cos(x)} \\\\ &=\dfrac{\cos(x)}{x}-\ln(x)\sin(x)&&\gray{\text{Uprość}} \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

zadanie 1
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, e, start superscript, x, end superscript
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Przykład 2

Załóżmy, że mamy podaną następującą tabelę wartości dwóch funkcji i ich pochodnych:
xf, left parenthesis, x, right parenthesisg, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisg, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
4minus, 413space, space, space, 08
Nich H, left parenthesis, x, right parenthesis będzie równe f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis. Ile wynosi H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis.
Ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji wynika, że H, prime, left parenthesis, x, right parenthesis równa się f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis. To znaczy, że H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis równa się f, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis. Podstawmy do tego wyrażenia wartości podane w tabeli:
H(4)=f(4)g(4)+f(4)g(4)=(0)(13)+(4)(8)=32\begin{aligned} H'(4)&=f'(4)g(4)+f(4)g'(4) \\\\ &=(0)(13)+(-4)(8) \\\\ &=-32 \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

zadanie 1
xg, left parenthesis, x, right parenthesish, left parenthesis, x, right parenthesisg, prime, left parenthesis, x, right parenthesish, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 22minus, 134
F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, h, left parenthesis, x, right parenthesis
F, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.