If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Jednostka 2

Lekcja 10: Wzór na pochodną ilorazu funkcji
Matematyka
Analiza matematyczna - program rozszerzony I
Różniczkowanie: definicja i podstawowe własności
Wzór na pochodną ilorazu funkcji
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Podsumowanie wiadomości na temat różniczkowania ilorazu funkcji

Google Classroom
Powtórz sobie, co wiesz o różniczkowaniu ilorazu funkcji i wykorzystaj te wiadomości do rozwiązania kilku zadań.

Jak obliczyć pochodną ilorazu funkcji?

Wzór na pochodną ilorazu mówi nam, jak zróżniczkować wyrażenia będące ilorazem dwóch prostszych wyrażeń:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start fraction, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, close bracket, equals, start fraction, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, divided by, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction
Krótko mówiąc, należy obliczyć iloczyn pochodnej f i funkcji g, odjąć iloczyn funkcji f i pochodnej funkcji g a pod koniec wszystko podzielić przez open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared.
Chcesz wiedzieć więcej o pochodnej ilorazu? Obejrzyj ten film.

Jakiego typu zadania mogę rozwiązać przy użyciu pochodnej ilorazu?

Przykład 1

Obliczmy pochodną funkcji start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, squared, end fraction:
=ddx(sin⁡(x)x2)=ddx(sin⁡(x))x2−sin⁡(x)ddx(x2)(x2)2Pochodna ilorazu=cos⁡(x)⋅x2−sin⁡(x)⋅2x(x2)2Zroˊz˙niczkuj sin⁡(x) i x2=x(xcos⁡(x)−2sin⁡(x))x4Uprosˊcˊ=xcos⁡(x)−2sin⁡(x)x3Skroˊcˊ wyrazy podobne\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\sin(x)}{x^2}\right) \\\\ &=\dfrac{\dfrac{d}{dx}(\sin(x))x^2-\sin(x)\dfrac{d}{dx}(x^2)}{(x^2)^2}&&\gray{\text{Pochodna ilorazu}} \\\\ &=\dfrac{\cos(x)\cdot x^2-\sin(x)\cdot 2x}{(x^2)^2}&&\gray{\text{Zróżniczkuj }\sin(x)\text{ i }x^2} \\\\ &=\dfrac{x\left(x\cos(x)-2\sin(x)\right)}{x^4}&&\gray{\text{Uprość}} \\\\ &=\dfrac{x\cos(x)-2\sin(x)}{x^3}&&\gray{\text{Skróć wyrazy podobne}} \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

zadanie 1
  • Prąd elektryczny
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, e, start superscript, x, end superscript, end fraction
f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Przykład 2

Załóżmy, że mamy podaną następującą tabelę wartości dwóch funkcji i ich pochodnych:
xf, left parenthesis, x, right parenthesisg, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisg, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
4minus, 4minus, 208
Niech H, left parenthesis, x, right parenthesis będzie równe start fraction, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction. Ile wynosi H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis?
Ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji wynika, że start fraction, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction. To znaczy, że H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis równa się start fraction, f, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, divided by, open bracket, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction. Podstawmy do tego wyrażenia wartości podane w tabeli:
H′(4)=f′(4)g(4)−f(4)g′(4)[g(4)]2=(0)(−2)−(−4)(8)(−2)2=324=8\begin{aligned} H'(4)&=\dfrac{f'(4)g(4)-f(4)g'(4)}{[g(4)]^2} \\\\ &=\dfrac{(0)(-2)-(-4)(8)}{(-2)^2} \\\\ &=\dfrac{32}{4} \\\\ &=8 \end{aligned}

Sprawdź, czy rozumiesz

zadanie 1
  • Prąd elektryczny
xg, left parenthesis, x, right parenthesish, left parenthesis, x, right parenthesisg, prime, left parenthesis, x, right parenthesish, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 241minus, 12
F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, g, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, h, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction
F, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.