If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Dowód reguły łańcuchowej (różniczkowanie funkcji złożonej)

Dowód wzoru na pochodną funkcji złożonej. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Reguła łańcuchowa pozwala obliczyć pochodną złożenia funkcji:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Program kursu rachunku różniczkowego AP nie wymaga znajomości dowodu tego wzoru, ale naszym zdaniem warto poznać ten dowód, tym bardziej że leży on całkowicie w naszym zasięgu. Zawsze warto zastanowić się nad dowodem, albo przynajmniej uzasadnieniem twierdzenia, które właśnie poznajesz.

Najpierw udowodnimy dwa słabsze twierdzenia, z których skorzystamy przy dowodzie wzoru na pochodną funkcji złożonej.

(Twierdzenia, z których korzystamy w trakcie dowodu nazywają się lematy.)

1. Funkcja różniczkowalna jest ciągła.

Filmy wideo na Khan Academy
Proof: Differentiability implies continuityZobacz transkrypcję filmu

2. Jeśli funkcja u jest ciągła w punkcie x, to delta, u, \to, 0 gdy delta, x, \to, 0.

Filmy wideo na Khan Academy
If function u is continuous at x, then Δu→0 as Δx→0 Zobacz transkrypcję filmu

Jesteśmy gotowi by udowodnić regułę łańcuchową!

Filmy wideo na Khan Academy

Bonus: Możemy skorzystać ze wzoru na pochodną funkcji złożonej i wzoru na pochodną iloczynu i wyprowadzić z nich wzór na pochodną ilorazu.

Wzór na pochodną ilorazu pozwala obliczyć pochodną ilorazu dwóch funkcji:
ddx[f(x)g(x)]=ddx[f(x)]g(x)f(x)ddx[g(x)][g(x)]2=f(x)g(x)f(x)g(x)[g(x)]2\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]&=\dfrac{\dfrac{d}{dx}[f(x)]\cdot g(x)-f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2} \\\\\\ &=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \end{aligned}
Filmy wideo na Khan Academy
Quotient rule from product & chain rulesZobacz transkrypcję filmu

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.