Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 3

Lekcja 2: Więcej ćwiczeń o pochodnej funkcji złożonej

Dowód reguły łańcuchowej (różniczkowanie funkcji złożonej)

Dowód wzoru na pochodną funkcji złożonej. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Reguła łańcuchowa pozwala obliczyć pochodną złożenia funkcji:

\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)

Program kursu rachunku różniczkowego AP nie wymaga znajomości dowodu tego wzoru, ale naszym zdaniem warto poznać ten dowód, tym bardziej że leży on całkowicie w naszym zasięgu. Zawsze warto zastanowić się nad dowodem, albo przynajmniej uzasadnieniem twierdzenia, które właśnie poznajesz.

Najpierw udowodnimy dwa słabsze twierdzenia, z których skorzystamy przy dowodzie wzoru na pochodną funkcji złożonej.

(Twierdzenia, z których korzystamy w trakcie dowodu nazywają się lematy.)

1. Funkcja różniczkowalna jest ciągła.

Filmy wideo na Khan Academy

Proof: Differentiability implies continuityZobacz transkrypcję filmu

2. Jeśli funkcja $u$ ‍ jest ciągła w punkcie $x$ ‍, to $Δ u \to 0$ ‍ gdy $Δ x \to 0$ ‍.

Filmy wideo na Khan Academy

If function u is continuous at x, then Δu→0 as Δx→0 Zobacz transkrypcję filmu

Jesteśmy gotowi by udowodnić regułę łańcuchową!

Filmy wideo na Khan Academy

Chain rule proofZobacz transkrypcję filmu

Bonus: Możemy skorzystać ze wzoru na pochodną funkcji złożonej i wzoru na pochodną iloczynu i wyprowadzić z nich wzór na pochodną ilorazu.

Wzór na pochodną ilorazu pozwala obliczyć pochodną ilorazu dwóch funkcji:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}] & = \frac{\frac{d}{d x} [f (x)] \cdot g (x) - f (x) \cdot \frac{d}{d x} [g (x)]}{[g (x)]^{2}} \\ = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}} \end{aligned}

Filmy wideo na Khan Academy

Quotient rule from product & chain rulesZobacz transkrypcję filmu

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 3

Najpierw udowodnimy dwa słabsze twierdzenia, z których skorzystamy przy dowodzie wzoru na pochodną funkcji złożonej.

1. Funkcja różniczkowalna jest ciągła.

2. Jeśli funkcja u‍ jest ciągła w punkcie x‍ , to Δu→0‍ gdy Δx→0‍ .

Jesteśmy gotowi by udowodnić regułę łańcuchową!

Bonus: Możemy skorzystać ze wzoru na pochodną funkcji złożonej i wzoru na pochodną iloczynu i wyprowadzić z nich wzór na pochodną ilorazu.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

2. Jeśli funkcja $u$ ‍ jest ciągła w punkcie $x$ ‍, to $Δ u \to 0$ ‍ gdy $Δ x \to 0$ ‍.