Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 3

Lekcja 2: Więcej ćwiczeń o pochodnej funkcji złożonej

Dowód reguły łańcuchowej (różniczkowanie funkcji złożonej)

Dowód wzoru na pochodną funkcji złożonej. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Reguła łańcuchowa pozwala obliczyć pochodną złożenia funkcji:

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis

Program kursu rachunku różniczkowego AP nie wymaga znajomości dowodu tego wzoru, ale naszym zdaniem warto poznać ten dowód, tym bardziej że leży on całkowicie w naszym zasięgu. Zawsze warto zastanowić się nad dowodem, albo przynajmniej uzasadnieniem twierdzenia, które właśnie poznajesz.

Najpierw udowodnimy dwa słabsze twierdzenia, z których skorzystamy przy dowodzie wzoru na pochodną funkcji złożonej.

(Twierdzenia, z których korzystamy w trakcie dowodu nazywają się lematy.)

1. Funkcja różniczkowalna jest ciągła.

Filmy wideo na Khan Academy

Proof: Differentiability implies continuityZobacz transkrypcję filmu

2. Jeśli funkcja u jest ciągła w punkcie x, to delta, u, \to, 0 gdy delta, x, \to, 0.

Filmy wideo na Khan Academy

If function u is continuous at x, then Δu→0 as Δx→0 Zobacz transkrypcję filmu

Jesteśmy gotowi by udowodnić regułę łańcuchową!

Filmy wideo na Khan Academy

Chain rule proofZobacz transkrypcję filmu

Bonus: Możemy skorzystać ze wzoru na pochodną funkcji złożonej i wzoru na pochodną iloczynu i wyprowadzić z nich wzór na pochodną ilorazu.

Wzór na pochodną ilorazu pozwala obliczyć pochodną ilorazu dwóch funkcji:

\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]&=\dfrac{\dfrac{d}{dx}[f(x)]\cdot g(x)-f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2} \\\\\\ &=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \end{aligned}

Filmy wideo na Khan Academy

Quotient rule from product & chain rulesZobacz transkrypcję filmu

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 3

Najpierw udowodnimy dwa słabsze twierdzenia, z których skorzystamy przy dowodzie wzoru na pochodną funkcji złożonej.

1. Funkcja różniczkowalna jest ciągła.

2. Jeśli funkcja uuuu jest ciągła w punkcie xxxx, to Δu→0\Delta u\to 0Δu→0delta, u, \to, 0 gdy Δx→0\Delta x\to 0Δx→0delta, x, \to, 0.

Jesteśmy gotowi by udowodnić regułę łańcuchową!

Bonus: Możemy skorzystać ze wzoru na pochodną funkcji złożonej i wzoru na pochodną iloczynu i wyprowadzić z nich wzór na pochodną ilorazu.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

2. Jeśli funkcja u jest ciągła w punkcie x, to delta, u, \to, 0 gdy delta, x, \to, 0.