Główna zawartość
Analiza matematyczna - program rozszerzony I
Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 6
Lekcja 1: Badanie gromadzenia się różnych wielkości za pomocą całek oznaczonychBadanie gromadzenia się różnych wielkości za pomocą całek oznaczonych
Całki oznaczone można interpretować jako nagromadzenie się pewnych wielkości. Zobacz, jak ta idea funkcjonuje w rozwiązywaniu rzeczywistych problemów. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Całka oznaczona może służyć do wyrażania informacji o narastaniu i zmianie netto danej wielkości. Zobaczmy, jak to się robi!
Rozważania o narastaniu w rzeczywistych sytuacjach
Powiedzmy, że zbiornik jest napełniany wodą w stałym tempie (litrów na minutę) przez . Możemy znaleźć objętość wody (w litrach) mnożąc przez siebie czas i tempo zmian.
Teraz rozważmy ten przypadek graficznie. Tempo zmian może być reprezentowane przez stałą funkcję :
Każda jednostka na osi poziomej jest wyrażona w minutach, a każda jednostka na osi pionowej - w litrach na minutę, dlatego pole każdej jednostki kwadratowej jest wyrażone w litrach:
Ponadto pole prostokąta ograniczonego przez wykres funkcji oraz poziomą oś pomiędzy i daje nam objętość wody po minutach:
Teraz powiedzmy, że napełniany jest inny zbiornik, ale tym razem tempo zmian nie jest stałe:
Jak wyznaczyć objętość wody w tym zbiorniku po minutach? Aby to zrobić, zastanówmy się nad przybliżeniem obszaru pod krzywą pomiędzy a sumami Riemanna. Dla ułatwienia zastosujmy przybliżenie, przy którym każdy prostokąt ma szerokość jednostki.
Wiemy już, że każdy prostokąt reprezentuje objętość wody w litrach. W szczególności, pole każdego prostokąta w tej sumie Riemanna jest przybliżeniem objętości wody, która została dolana do zbiornika w każdej kolejnej minucie. Kiedy dodamy do siebie te pola, to znaczy kiedy wszystkie objętości są zsumowane, otrzymamy przybliżenie całkowitej objętości wody po 6 minutach.
Im więcej prostokątów o mniejszych szerokościach użyjemy, tym dokładniejsze będzie nasze przybliżenie. Jeśli przejdziemy do badania granicy przy liczbie prostokątów dążącej do nieskończoności, otrzymamy całkę oznaczoną . Oznacza to, że dokładna objętość wody po 6 minutach jest równa polu obszaru ograniczonego przez wykres i poziomą oś pomiędzy a .
Tak więc rachunek różniczkowy pozwala nam na wyznaczenie dokładnej objętości po 6 minutach:
Całka oznaczona z tempa zmian danej wielkości pozwala obliczyć zmianę netto tej wielkości
W powyższym przykładzie pojawiła się funkcja opisująca tempo zmian. W tym przypadku było to tempo zmian objętości wody w czasie. Całka oznaczona tej funkcji pozwoliła nam obliczyć nagromadzenie objętości - wielkości, której tempo zmian znaliśmy.
Istotny był także przedział czasu, który braliśmy pod uwagę przy obliczaniu całki. W naszym przykładzie był to początek nalewania wody i kolejne sześć minut . Zatem całka oznaczona pozwoliła nam wyznaczyć zmianę netto w ilości wody w zbiorniku pomiędzy a .
Zazwyczaj myślimy o całkach oznaczonych na dwa sposoby: opisują one nagromadzenie danej wielkości, dlatego pozwalają nam wyznaczyć jej zmianę netto.
Dlaczego "zmiana netto" ilości, a nie po prostu ilość?
Zwróć uwagę, że w powyższym przykładzie nie podano informacji, czy przed chwilą w zbiorniku znajdowała się woda. Jeśli zbiornik był pusty, wówczas jest w rzeczywistości ilością wody w zbiorniku po minutach. Ale jeśli zbiornik zawierał wcześniej, powiedzmy, litrów wody, to objętość wody po 6 minutach wynosi:
Ca daje nam w przybliżeniu .
Zapamiętaj: Całka oznaczona zawsze daje nam zmianę netto danej wielkości, nie jej rzeczywistą wartość. Aby znaleźć rzeczywistą wartość, należy dodać wynik całkowania do wartości początkowej.
Często popełniany błąd: niewłaściwy wybór jednostki
Jak we wszystkich zadaniach tekstowych, jednostki odgrywają tu ważną rolę. Pamiętaj, że jeśli to funkcja tempa wzrostu mierzonego w , to jej całka oznaczona jest wyrażona w .
Na przykład, w zadaniu 1 było wyrażone w , dlatego całka z jest wyrażona w .
Często popełniany błąd: Niezrozumienie przedziału całkowania
Dla każdej funkcji tempa zmian , jej całka oznaczona opisuje nagromadzenie wartości pomiędzy a .
Częstym błędem jest pominięcie jednej z granic (najczęściej dolnej), co skutkuje błędną interpretacją zadania.
Na przykład, w zadaniu 2 błędem byłoby interpretowanie jako odległości pokonanej przez Edena w czasie godzin. Dolna granica całkowania to , więc to odległość, jaką pokonał Eden pomiędzy a godziną. Co więcej, w sytuacjach takich jak ta, kiedy przedział czasu ma dokładnie jedną jednostkę długości, zazwyczaj mówimy "podczas godziny".
Często popełniany błąd: Ignorowanie warunków początkowych
Dla funkcji tempa zmian i jej funkcji pierwotnej , całka daje nam zmianę netto wartości pomiędzy a . Jeśli dodamy do niej warunek początkowy, otrzymamy rzeczywistą wartość .
Na przykład, w zadaniu 3 odpowiada zminie w ilości pieniędzy, które zarobiła Julia pomiędzy a miesiącem. Ponieważ jednak dodaliśmy , czyli ilość pieniędzy zarobionych przez Julię w miesiącu, całe wyrażenie odpowiada rzeczywistej ilości pieniędzy zarobionych po miesiącach.
Związek z tempem zmian
W rachunku różniczkowym dowiedzieliśmy się, że pochodna funkcji daje chwilowe tempo zmian wartości dla danego argumentu. Teraz zajmujemy sie sytuacją odwrotną. Dla dowolnej funkcji tempa zmian , jej funkcja pierwotna daje wartość zgromadzonej wielkości, której tempo zmian jest opisane przez .
Wielkość | Tempo zmian | |
---|---|---|
Rachunek różniczkowy | ||
Rachunek całkowy |
Chcesz jeszcze poćwiczyć? Spróbuj rozwiązać to ćwiczenie.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji