Główna zawartość

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 6

Lekcja 1: Badanie gromadzenia się różnych wielkości za pomocą całek oznaczonych

Badanie gromadzenia się różnych wielkości za pomocą całek oznaczonych

Całki oznaczone można interpretować jako nagromadzenie się pewnych wielkości. Zobacz, jak ta idea funkcjonuje w rozwiązywaniu rzeczywistych problemów. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Całka oznaczona może służyć do wyrażania informacji o narastaniu i zmianie netto danej wielkości. Zobaczmy, jak to się robi!

Rozważania o narastaniu w rzeczywistych sytuacjach

Powiedzmy, że zbiornik jest napełniany wodą w stałym tempie

5 L/min

(litrów na minutę) przez

6 min

. Możemy znaleźć objętość wody (w litrach) mnożąc przez siebie czas i tempo zmian.

\begin{aligned} Objętość & = Czas \times Tempo \\ = 6 min \cdot 5 \frac{l}{min} \\ = 30 \frac{min \cdot l}{min} \\ = 30 l \end{aligned}

Teraz rozważmy ten przypadek graficznie. Tempo zmian może być reprezentowane przez stałą funkcję

r_{1} (t) = 5

Każda jednostka na osi poziomej jest wyrażona w minutach, a każda jednostka na osi pionowej - w litrach na minutę, dlatego pole każdej jednostki kwadratowej jest wyrażone w litrach:

Ponadto pole prostokąta ograniczonego przez wykres funkcji

r_{1}

oraz poziomą oś pomiędzy

t = 0

t = 6

daje nam objętość wody po

6

minutach:

Teraz powiedzmy, że napełniany jest inny zbiornik, ale tym razem tempo zmian nie jest stałe:

Jak wyznaczyć objętość wody w tym zbiorniku po

6

minutach? Aby to zrobić, zastanówmy się nad przybliżeniem obszaru pod krzywą pomiędzy

t = 0

t = 6

sumami Riemanna. Dla ułatwienia zastosujmy przybliżenie, przy którym każdy prostokąt ma szerokość

1

jednostki.

Wiemy już, że każdy prostokąt reprezentuje objętość wody w litrach. W szczególności, pole każdego prostokąta w tej sumie Riemanna jest przybliżeniem objętości wody, która została dolana do zbiornika w każdej kolejnej minucie. Kiedy dodamy do siebie te pola, to znaczy kiedy wszystkie objętości są zsumowane, otrzymamy przybliżenie całkowitej objętości wody po 6 minutach.

Im więcej prostokątów o mniejszych szerokościach użyjemy, tym dokładniejsze będzie nasze przybliżenie. Jeśli przejdziemy do badania granicy przy liczbie prostokątów dążącej do nieskończoności, otrzymamy całkę oznaczoną

\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t

. Oznacza to, że dokładna objętość wody po 6 minutach jest równa polu obszaru ograniczonego przez wykres

r_{2}

i poziomą oś pomiędzy

t = 0

t = 6

Tak więc rachunek różniczkowy pozwala nam na wyznaczenie dokładnej objętości po 6 minutach:

\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t \approx 24, 5 l

Całka oznaczona z tempa zmian danej wielkości pozwala obliczyć zmianę netto tej wielkości

W powyższym przykładzie pojawiła się funkcja opisująca tempo zmian. W tym przypadku było to tempo zmian objętości wody w czasie. Całka oznaczona tej funkcji pozwoliła nam obliczyć nagromadzenie objętości - wielkości, której tempo zmian znaliśmy.

Istotny był także przedział czasu, który braliśmy pod uwagę przy obliczaniu całki. W naszym przykładzie był to początek nalewania wody

(t = 0)

i kolejne sześć minut

(t = 6)

. Zatem całka oznaczona pozwoliła nam wyznaczyć zmianę netto w ilości wody w zbiorniku pomiędzy

t = 0

t = 6

Zazwyczaj myślimy o całkach oznaczonych na dwa sposoby: opisują one nagromadzenie danej wielkości, dlatego pozwalają nam wyznaczyć jej zmianę netto.

Dlaczego "zmiana netto" ilości, a nie po prostu ilość?

Zwróć uwagę, że w powyższym przykładzie nie podano informacji, czy przed chwilą

t = 0

w zbiorniku znajdowała się woda. Jeśli zbiornik był pusty, wówczas

\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t \approx 24, 5 l

jest w rzeczywistości ilością wody w zbiorniku po

6

minutach. Ale jeśli zbiornik zawierał wcześniej, powiedzmy,

7

litrów wody, to objętość wody po 6 minutach wynosi:

\underset{objętość w chwili t = 0}{\underset{⏟}{7}} + \overset{zmiana, narastanie objętości od t = 0 do t = 6}{\overset{⏞}{\int_{0}^{6} r_{2} (t) d t}}

Ca daje nam w przybliżeniu

7 + 24, 5 = 31, 5 L

Zapamiętaj: Całka oznaczona zawsze daje nam zmianę netto danej wielkości, nie jej rzeczywistą wartość. Aby znaleźć rzeczywistą wartość, należy dodać wynik całkowania do wartości początkowej.

Zadanie 1.A

Zadanie 1 przeprowadzi Cię przez proces analizy zagadnienia dotyczącego nagromadzenia:

W czasie

t

, populacja bakterii rośnie w tempie

r (t)

gramów na dzień, gdzie

t

jest wyrażone w dniach.

W jakich jednostkach jest wyrażona całka oznaczona $\int_{0}^{8} r (t) d t$ ‍?

Często popełniany błąd: niewłaściwy wybór jednostki

Jak we wszystkich zadaniach tekstowych, jednostki odgrywają tu ważną rolę. Pamiętaj, że jeśli

r

to funkcja tempa wzrostu mierzonego w

\frac{Wielkość A}{Wielkość B}

, to jej całka oznaczona jest wyrażona w

wielkości A

Na przykład, w zadaniu 1

r

było wyrażone w

\frac{gramach}{dzień}

, dlatego całka z

r

jest wyrażona w

gramach

Zadanie 2

Eden spacerował w tempie

r (t)

kilometrów na godzinę (gdzie

t

oznacza czas w godzinach).

Jaką informację możemy odczytać z faktu, że $\int_{2}^{3} r (t) d t = 6$ ‍?

(Choice A)
Eden pokonał 6 kiometrów podczas każdej godziny.
(Choice B)
Eden pokonał 6 kilometrów przez 3 godziny.
(Choice C)
Eden pokonał 6 kilometrów podczas trzeciej godziny.
(Choice D)
Tempo Edena wzrosło o $6$ ‍ kilometrów na godzinę pomiędzy $2$ ‍ a $3$ ‍ godziną.

Często popełniany błąd: Niezrozumienie przedziału całkowania

Dla każdej funkcji tempa zmian

r

, jej całka oznaczona

\int_{a}^{b} r (t) d t

opisuje nagromadzenie wartości pomiędzy $t = a$ ‍ a $t = b$ ‍.

Częstym błędem jest pominięcie jednej z granic (najczęściej dolnej), co skutkuje błędną interpretacją zadania.

Na przykład, w zadaniu 2 błędem byłoby interpretowanie

\int_{2}^{3} r (t) d t

jako odległości pokonanej przez Edena w czasie

3

godzin. Dolna granica całkowania to

2

, więc

\int_{2}^{3} r (t) d t

to odległość, jaką pokonał Eden pomiędzy

2

3

godziną. Co więcej, w sytuacjach takich jak ta, kiedy przedział czasu ma dokładnie jedną jednostkę długości, zazwyczaj mówimy "podczas

3

godziny".

Zadanie 3

Dochody Julii wynoszą

r (t)

zł miesięcznie (gdzie

t

to odpowiedni miesiąc roku). Julia zarobiła

3

tysiące złotych w pierwszym miesiącu roku.

Jaką informację możemy odczytać z faktu, że $3 + \int_{1}^{5} r (t) d t = 19$ ‍?

(Choice A)
Julia zarobiła dodatkowe $19$ ‍ tysięcy złotych pomiędzy $1$ ‍ a $5$ ‍ miesiącem.
(Choice B)
Julia zarabiała średnio $19$ ‍ tysięcy złotych miesięcznie.
(Choice C)
Julia zarobiła $19$ ‍ tysięcy złotych w piątym miesiącu.
(Choice D)
Do końca piątego miesiąca Julia zarobiła łącznie $19$ ‍ tysięcy złotych.

Często popełniany błąd: Ignorowanie warunków początkowych

Dla funkcji tempa zmian

f

i jej funkcji pierwotnej

F

, całka

\int_{a}^{b} f (t) d t

daje nam zmianę netto wartości

F

pomiędzy

t = a

t = b

. Jeśli dodamy do niej warunek początkowy, otrzymamy rzeczywistą wartość

F

Na przykład, w zadaniu 3

\int_{1}^{5} r (t) d t

odpowiada zminie w ilości pieniędzy, które zarobiła Julia pomiędzy

1

5

miesiącem. Ponieważ jednak dodaliśmy

3

, czyli ilość pieniędzy zarobionych przez Julię w

1

miesiącu, całe wyrażenie odpowiada rzeczywistej ilości pieniędzy zarobionych po

5

miesiącach.

Związek z tempem zmian

W rachunku różniczkowym dowiedzieliśmy się, że pochodna

f^{'}

funkcji

f

daje chwilowe tempo zmian wartości

f

dla danego argumentu. Teraz zajmujemy sie sytuacją odwrotną. Dla dowolnej funkcji tempa zmian

f

, jej funkcja pierwotna

F

daje wartość zgromadzonej wielkości, której tempo zmian jest opisane przez

f

	Wielkość	Tempo zmian
Rachunek różniczkowy	$f (x)$ ‍	$f^{'} (x)$ ‍
Rachunek całkowy	$F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ‍	$f (x)$ ‍

Zadanie 4

Funkcja

k (t)

opisuje ilość ketchupu (w kilogramach) wyprodukowanego przez fabrykę sosów w czasie

t

(w godzinach) danego dnia.

Co reprezentuje $\int_{0}^{4} k^{'} (t) d t$ ‍?

(Choice A)
Ilość ketchupu wyprodukowanego podczas perwszych 4 godzin.
(Choice B)
Chwilowe tempo zmian produkcji w chwili $t = 4$ ‍.
(Choice C)
Czas potrzebny na wyprodukowanie $4$ ‍ kilogramów ketchupu.
(Choice D)
Średnie tempo zmian produkcji ketchupu przez pierwsze 4 godziny.

Chcesz jeszcze poćwiczyć? Spróbuj rozwiązać to ćwiczenie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.