If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Lewostronna i prawostronna suma Riemanna

Pole pod krzywymi może być oszacowane za pomocą prostokątów. Takie oszacowanie nazywamy sumami Riemanna.
Załóżmy, że chcemy znaleźć pole pod tą krzywą:
Można usiłować znaleźć dokładne pole, ale możemy też przybliżyć je za pomocą prostokątów.
Nasze przybliżenie robi się lepsze, gdy używamy większej liczby prostokątów:
Takie przybliżenia nazywamy sumami Riemanna i są one podstawowym narzędziem rachunku całkowego. Naszym celem będzie teraz opis dwóch rodzajów sum Riemanna: lewostronnej sumy Riemanna i prawostronnej sumy Riemanna.

Lewostronne i prawostronne sumy Riemanna

Aby stworzyć sumę Riemanna musimy najpierw zdecydować, w jaki sposób będziemy tworzyć nasze prostokąty. Jedną z możliwości jest narysowanie prostokątów, które będą dotykać krzywej swoimi lewymi górnymi wierzchołkami. Otrzymamy wówczas lewostronną sumę Riemanna.
Możemy też narysować prostokąty dotykające krzywej prawymi górnymi wierzchołkami. Wtedy otrzymamy prawostronną sumę Riemanna.
Żadna z możliwości nie jest ściśle lepsza od drugiej.
zadanie 1
Który rodzaj sumy Riemanna jest przedstawiony na wykresie?
Wybierz 1 odpowiedź:

Podział sumy Riemanna

Terminy często stosowane przy pracy z sumami Riemanna to "podprzedziały" i "punkty podziału". Odnoszą się one do liczby części na które podzieliliśmy przedział x,aby otrzymać prostokąty. Mówiąc prościej, liczba podprzedziałów (lub punktów podziału) to liczba prostokątów, których używamy.
Podprzedziały mogę być jednorodne, co oznacza, że są takiej samej długości, albo niejednorodne.
Jednorodne podprzedziałyNiejednorodne podprzedziały
Zadanie 2
Jaki jest prawidłowy opis podprzedziałów w tej sumie Riemanna?
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadania z sumami Riemanna na wykresach

Wyobraźmy sobie, że poproszono nas o przybliżenie obszaru pomiędzy y=g(x) a osią X od x=2 do x=5.
Postanowiliśmy użyć lewostronnej sumy Riemanna z czterema jednorodnymi podprzedziałami.
Uwaga: Każdy prostokąt dotyka krzywej swoim lewym górnym wierzchołkiem, ponieważ używamy lewostronnej sumy Riemanna.
Sumując powierzchnie prostokątów, otrzymujemy 20 jednostek2, co stanowi przybliżenie powierzchni pod krzywą.
Zadanie 3
Przybliż pole powierzchni obszaru między g(x) a osią X dla argumentów od x=2 do x=4 używając prawostronnej sumy Riemanna z podziałem na trzy równe odcinki.
Wybierz 1 odpowiedź:

Teraz wykonajmy przybliżenia bez pomocy wykresów.

Wyobraźmy sobie, że poproszono nas o przybliżenie obszaru pomiędzy osią X a wykresem funkcji f od x=1 do x=10 za pomocą prawostronnej sumy Riemanna z trzema równymi podprzedziałami. Aby to zrobić, musimy znać wartości f, które podano w tabelce.
x14710
f(x)6835
Pierwszym krokiem powinno być znalezienie szerokości każdego odcinka. Szerokość całego obszaru, który przybliżamy, to 101=9 jednostek. Jeśli używamy trzech równych przedziałów odcinka, szerokość każdego prostokąta wynosi 9:3=3.
Teraz musimy znaleźć wysokość każdego z prostokątów. Nasz pierwszy prostokąt jest umieszczony na przedziale [1,4]. Ponieważ używamy prawostronnej sumy Riemanna, jego prawy górny wierzchołek powinien leżeć na krzywej. W tym punkcie x=4, więc jego wartość y wynosi f(4)=8.
W podobny sposób możemy wywnioskować, że drugi prostokąt, umieszczony na przedziale [4,7], ma swój prawy górny wierzchołek w f(7)=3.
Nasz trzeci (i ostatni) prostokąt ma prawy górny wierzchołek w f(10)=5.
Teraz pozostaje nam tylko wykonać obliczenia.
Pierwszy prostokątDrugi prostokątTrzeci prostokąt
Szerokość333
Wysokość835
Pole38=2433=935=15
Następnie, po znalezieniu poszczególnych pół, zsumujemy je aby otrzymać nasze przybliżenie: 48 jednostek2.
Zadanie 4
Przybliż pole powierzchni obszaru między osią X a y=g(x) dla argumentów od x=10 do x=16 używając lewostronnej sumy Riemanna z trzema równymi podprzedziałami.
x10121416
g(x)5177
Pole w przybliżeniu wynosi
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi
jednostek2.

Teraz wyobraźmy sobie, że poproszono nas o przybliżenie obszaru pomiędzy osią X a wykresem funkcji f(x)=2x dla argumentów od x=3 do x=3 przy pomocy prawostronnej sumy Riemanna w trzema równymi podprzedziałami.
Cały przedział [3,3] ma 6 jednostek długości, dlatego szerokość każdego z prostokątów powinna wynosić 6:3=2 jednostki.
Pierwszy prostokąt jest umieszczony na przedziale [3,1], więc jego wysokość wynosi f(1)=21=0,5. Podobnie, wysokość drugiego prostokąta wynosi f(1)=21=2, a wysokość trzeciego prostokąta to f(3)=23=8.
Pierwszy prostokątDrugi prostokątTrzeci prostokąt
Szerokość222
Wysokość0,528
Pole20,5=122=428=16
Zatem nasze przybliżenie wynosi 21 jednostek2.
Zadanie 5
Przybliż pole obszaru pomiędzy osią X a h(x)=3x dla argumentów od x=0 do x=1,5 za pomocą prawostronnej sumy Riemanna z 3 równymi przedziałami.
Pole w przybliżeniu wynosi
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3/5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7/4
  • liczba mieszana, taka jak 1 3/4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0,75
  • wielokrotność pi, taka jak 12 pi lub 2/3 pi
jednostek2.

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać to zadanie.

Sumy Riemanna czasem prowadzą do przeszacowania, a czasem niedoszacowania

Sumy Riemanna stanowią przybliżenie obszaru pod krzywą, dlatego prawie zawsze będą nieco większe (przeszacowanie) lub nieco mniejsze (niedoszacowanie) od rzeczywistej powierzchni.
Zadanie 6
Czy przedstawiona suma Riemanna to przeszacowanie czy niedoszacowanie rzeczywistego obszaru?
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 7
Rozważ lewostronne i prawostronne sumy Riemanna, które przybliżają obszar pod wykresem y=g(x) pomiędzy x=2 a x=8.
Czy przybliżenia są przeszacowaniami czy niedoszacowaniami? Wypełnij luki.
Lewostronna suma Riemanna znajduje się całkowicie
krzywą, więc jest to
.
Prawostronna suma Riemanna znajduje się całkowicie
krzywą, więc jest to
.

Zadanie 8
Na wykresie przedstawiono funkcję ciągłą g.
Interesuje nas obszar pod krzywą pomiędzy x=7 a x=7 i rozważamy zastosowanie sum Riemanna, aby go przybliżyć.
Uporządkuj obszary od najmniejszego (na górze) do największego (na dole)
1

Zadanie 9
W tabeli przedstawiono wybrane wartości ciągłej i rosnącej funkcji g.
x2381318
g(x)1319283141
Interesuje nas obszar pod krzywą pomiędzy x=2 a x=18 i rozważamy zastosowanie lewostonnej i prawostronnej sumy Riemanna, każdej z czterema równymi podprzedziałami, aby go przybliżyć.
Uporządkuj obszary od najmniejszego (na górze) do największego (na dole)
1

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać to ćwiczenie.
Uwaga: To, czy suma Riemanna jest przeszacowaniem czy niedoszacowaniem zależy od tego, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca na danym przedziale, oraz od tego, czy jest to lewostronna czy prawostronna suma Riemanna.

Kluczowe fakty do zapamiętania

Przybliżanie obszaru pod krzywą za pomocą prostokątów

Pierwszą rzeczą o której myślisz słysząc hasło "suma Riemanna" powinno być używanie prostokątów do przybliżania obszaru pod krzywą. W twojej głowie powinien powstać obraz podobny do tego:

Im więcej przedziałów, tym lepsze przybliżenie

Ogólnie, im więcej podprzedziałów (to znaczy prostokątów) użyjemy do przybliżenia, tym dokładniejsze one będzie.

Lewostronne vs. prawostronne sumy Riemanna

Postaraj się ich nie mylić. Lewostronna suma Riemanna korzysta z prostokątów, których lewe górne wierzchołki leżą na krzywej. Prawostronna suma Riemanna korzysta z prostokątów, których prawe górne wierzchołki leżą na krzywej.
Lewostronna suma RiemannaPrawostronna suma Riemanna

Przeszacowanie i niedoszacowanie

Używając sum Riemanna, czasem otrzymujemy przeszacowanie, a innym razem niedoszacowanie. Warto wiedzieć, kiedy dana suma Riemanna przeszacowuje rzeczywisty obszar, a kiedy go niedoszacowuje.
Ogólnie, jeśli funkcja jest ronąca na całym przedziale albo malejąca na całym przedziale, możemy stwierdzić czy suma Riemanna będzie przeszacowaniem czy niedoszacowaniem, opierając się na informacji czy jest to prawostronna czy lewostronna suma Riemanna.
MonotonicznośćLewostronna suma RiemannaPrawostronna suma Riemanna
RosnącaNiedoszacowaniePrzeszacowanie
MalejącaPrzeszacowanieNiedoszacowanie

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.