Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 6

Lekcja 2: Aproksymacja pola powierzchni sumami Riemanna

Lewostronna i prawostronna suma Riemanna

Google Classroom

Pole pod krzywymi może być oszacowane za pomocą prostokątów. Takie oszacowanie nazywamy sumami Riemanna.

Załóżmy, że chcemy znaleźć pole pod tą krzywą:

Można usiłować znaleźć dokładne pole, ale możemy też przybliżyć je za pomocą prostokątów.

Nasze przybliżenie robi się lepsze, gdy używamy większej liczby prostokątów:

Takie przybliżenia nazywamy sumami Riemanna i są one podstawowym narzędziem rachunku całkowego. Naszym celem będzie teraz opis dwóch rodzajów sum Riemanna: lewostronnej sumy Riemanna i prawostronnej sumy Riemanna.

Lewostronne i prawostronne sumy Riemanna

Aby stworzyć sumę Riemanna musimy najpierw zdecydować, w jaki sposób będziemy tworzyć nasze prostokąty. Jedną z możliwości jest narysowanie prostokątów, które będą dotykać krzywej swoimi lewymi górnymi wierzchołkami. Otrzymamy wówczas lewostronną sumę Riemanna.

Możemy też narysować prostokąty dotykające krzywej prawymi górnymi wierzchołkami. Wtedy otrzymamy prawostronną sumę Riemanna.

Żadna z możliwości nie jest ściśle lepsza od drugiej.

zadanie 1

Który rodzaj sumy Riemanna jest przedstawiony na wykresie?

Podział sumy Riemanna

Terminy często stosowane przy pracy z sumami Riemanna to "podprzedziały" i "punkty podziału". Odnoszą się one do liczby części na które podzieliliśmy przedział

x

,aby otrzymać prostokąty. Mówiąc prościej, liczba podprzedziałów (lub punktów podziału) to liczba prostokątów, których używamy.

Podprzedziały mogę być jednorodne, co oznacza, że są takiej samej długości, albo niejednorodne.

Jednorodne podprzedziały	Niejednorodne podprzedziały

Zadanie 2

Jaki jest prawidłowy opis podprzedziałów w tej sumie Riemanna?

Zadania z sumami Riemanna na wykresach

Wyobraźmy sobie, że poproszono nas o przybliżenie obszaru pomiędzy

y = g (x)

a osią

X

x = 2

x = 5

Postanowiliśmy użyć lewostronnej sumy Riemanna z czterema jednorodnymi podprzedziałami.

Uwaga: Każdy prostokąt dotyka krzywej swoim lewym górnym wierzchołkiem, ponieważ używamy lewostronnej sumy Riemanna.

Sumując powierzchnie prostokątów, otrzymujemy

20

jednostek

^{2}

, co stanowi przybliżenie powierzchni pod krzywą.

[Pokaż rozwiązanie]

Zadanie 3

Przybliż pole powierzchni obszaru między $g (x)$ ‍ a osią $X$ ‍ dla argumentów od $x = - 2$ ‍ do $x = 4$ ‍ używając prawostronnej sumy Riemanna z podziałem na $t r z y$ ‍ równe odcinki.

Teraz wykonajmy przybliżenia bez pomocy wykresów.

Wyobraźmy sobie, że poproszono nas o przybliżenie obszaru pomiędzy osią

X

a wykresem funkcji

f

x = 1

x = 10

za pomocą prawostronnej sumy Riemanna z trzema równymi podprzedziałami. Aby to zrobić, musimy znać wartości

f

, które podano w tabelce.


$x$ ‍	$1$ ‍	$4$ ‍	$7$ ‍	$10$ ‍
$f (x)$ ‍	$6$ ‍	$8$ ‍	$3$ ‍	$5$ ‍

Pierwszym krokiem powinno być znalezienie szerokości każdego odcinka. Szerokość całego obszaru, który przybliżamy, to

10 - 1 = 9

jednostek. Jeśli używamy trzech równych przedziałów odcinka, szerokość każdego prostokąta wynosi

9 : 3 = 3

Teraz musimy znaleźć wysokość każdego z prostokątów. Nasz pierwszy prostokąt jest umieszczony na przedziale

[1, 4]

. Ponieważ używamy prawostronnej sumy Riemanna, jego prawy górny wierzchołek powinien leżeć na krzywej. W tym punkcie

x = 4

, więc jego wartość

y

wynosi

f (4) = 8

W podobny sposób możemy wywnioskować, że drugi prostokąt, umieszczony na przedziale

[4, 7]

, ma swój prawy górny wierzchołek w

f (7) = 3

Nasz trzeci (i ostatni) prostokąt ma prawy górny wierzchołek w

f (10) = 5

Teraz pozostaje nam tylko wykonać obliczenia.

	Pierwszy prostokąt	Drugi prostokąt	Trzeci prostokąt
Szerokość	$3$ ‍	$3$ ‍	$3$ ‍
Wysokość	$8$ ‍	$3$ ‍	$5$ ‍
Pole	$3 \cdot 8 = 24$ ‍	$3 \cdot 3 = 9$ ‍	$3 \cdot 5 = 15$ ‍

Następnie, po znalezieniu poszczególnych pół, zsumujemy je aby otrzymać nasze przybliżenie:

48

jednostek

^{2}

Zadanie 4

Przybliż pole powierzchni obszaru między osią $X$ ‍ a $y = g (x)$ ‍ dla argumentów od $x = 10$ ‍ do $x = 16$ ‍ używając lewostronnej sumy Riemanna z trzema równymi podprzedziałami.


$x$ ‍	$10$ ‍	$12$ ‍	$14$ ‍	$16$ ‍
$g (x)$ ‍	$5$ ‍	$1$ ‍	$7$ ‍	$7$ ‍

Pole w przybliżeniu wynosi

jednostek

^{2}

Teraz wyobraźmy sobie, że poproszono nas o przybliżenie obszaru pomiędzy osią

X

a wykresem funkcji

f (x) = 2^{x}

dla argumentów od

x = - 3

x = 3

przy pomocy prawostronnej sumy Riemanna w trzema równymi podprzedziałami.

Cały przedział

[- 3, 3]

6

jednostek długości, dlatego szerokość każdego z prostokątów powinna wynosić

6 : 3 = 2

jednostki.

Pierwszy prostokąt jest umieszczony na przedziale

[- 3, - 1]

, więc jego wysokość wynosi

f (- 1) = 2^{- 1} = 0, 5

. Podobnie, wysokość drugiego prostokąta wynosi

f (1) = 2^{1} = 2

, a wysokość trzeciego prostokąta to

f (3) = 2^{3} = 8

[Pokaż mi, jak to wygląda na wykresie.]

	Pierwszy prostokąt	Drugi prostokąt	Trzeci prostokąt
Szerokość	$2$ ‍	$2$ ‍	$2$ ‍
Wysokość	$0, 5$ ‍	$2$ ‍	$8$ ‍
Pole	$2 \cdot 0, 5 = 1$ ‍	$2 \cdot 2 = 4$ ‍	$2 \cdot 8 = 16$ ‍

Zatem nasze przybliżenie wynosi

21

jednostek

^{2}

Zadanie 5

Przybliż pole obszaru pomiędzy osią $X$ ‍ a $h (x) = \frac{3}{x}$ ‍ dla argumentów od $x = 0$ ‍ do $x = 1, 5$ ‍ za pomocą prawostronnej sumy Riemanna z $3$ ‍ równymi przedziałami.

Pole w przybliżeniu wynosi

jednostek

^{2}

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać to zadanie.

Sumy Riemanna czasem prowadzą do przeszacowania, a czasem niedoszacowania

Sumy Riemanna stanowią przybliżenie obszaru pod krzywą, dlatego prawie zawsze będą nieco większe (przeszacowanie) lub nieco mniejsze (niedoszacowanie) od rzeczywistej powierzchni.

Zadanie 6

Czy przedstawiona suma Riemanna to przeszacowanie czy niedoszacowanie rzeczywistego obszaru?

Zadanie 7

Rozważ lewostronne i prawostronne sumy Riemanna, które przybliżają obszar pod wykresem

y = g (x)

pomiędzy

x = 2

x = 8

Czy przybliżenia są przeszacowaniami czy niedoszacowaniami? Wypełnij luki.

Lewostronna suma Riemanna znajduje się całkowicie

krzywą, więc jest to

Prawostronna suma Riemanna znajduje się całkowicie

krzywą, więc jest to

Zadanie 8

Na wykresie przedstawiono funkcję ciągłą

g

Interesuje nas obszar pod krzywą pomiędzy

x = - 7

x = 7

i rozważamy zastosowanie sum Riemanna, aby go przybliżyć.

Uporządkuj obszary od najmniejszego (na górze) do największego (na dole)

Zadanie 9

W tabeli przedstawiono wybrane wartości ciągłej i rosnącej funkcji

g

$x$ ‍	$- 2$ ‍	$3$ ‍	$8$ ‍	$13$ ‍	$18$ ‍
$g (x)$ ‍	$13$ ‍	$19$ ‍	$28$ ‍	$31$ ‍	$41$ ‍

Interesuje nas obszar pod krzywą pomiędzy

x = - 2

x = 18

i rozważamy zastosowanie lewostonnej i prawostronnej sumy Riemanna, każdej z czterema równymi podprzedziałami, aby go przybliżyć.

Uporządkuj obszary od najmniejszego (na górze) do największego (na dole)

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać to ćwiczenie.

Uwaga: To, czy suma Riemanna jest przeszacowaniem czy niedoszacowaniem zależy od tego, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca na danym przedziale, oraz od tego, czy jest to lewostronna czy prawostronna suma Riemanna.

Kluczowe fakty do zapamiętania

Przybliżanie obszaru pod krzywą za pomocą prostokątów

Pierwszą rzeczą o której myślisz słysząc hasło "suma Riemanna" powinno być używanie prostokątów do przybliżania obszaru pod krzywą. W twojej głowie powinien powstać obraz podobny do tego:

Im więcej przedziałów, tym lepsze przybliżenie

Ogólnie, im więcej podprzedziałów (to znaczy prostokątów) użyjemy do przybliżenia, tym dokładniejsze one będzie.

Lewostronne vs. prawostronne sumy Riemanna

Postaraj się ich nie mylić. Lewostronna suma Riemanna korzysta z prostokątów, których lewe górne wierzchołki leżą na krzywej. Prawostronna suma Riemanna korzysta z prostokątów, których prawe górne wierzchołki leżą na krzywej.

Lewostronna suma Riemanna	Prawostronna suma Riemanna

Przeszacowanie i niedoszacowanie

Używając sum Riemanna, czasem otrzymujemy przeszacowanie, a innym razem niedoszacowanie. Warto wiedzieć, kiedy dana suma Riemanna przeszacowuje rzeczywisty obszar, a kiedy go niedoszacowuje.

Ogólnie, jeśli funkcja jest ronąca na całym przedziale albo malejąca na całym przedziale, możemy stwierdzić czy suma Riemanna będzie przeszacowaniem czy niedoszacowaniem, opierając się na informacji czy jest to prawostronna czy lewostronna suma Riemanna.

Monotoniczność	Lewostronna suma Riemanna	Prawostronna suma Riemanna
Rosnąca	Niedoszacowanie	Przeszacowanie
Malejąca	Przeszacowanie	Niedoszacowanie

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.