If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 6

Lekcja 3: Sumy Riemanna, notacja sigma oraz całki oznaczone w tej notacji
Matematyka
Analiza matematyczna - program rozszerzony I
Całkowanie jako sumowanie przyrostów zmian funkcji
Sumy Riemanna, notacja sigma oraz całki oznaczone w tej notacji
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Całka oznaczona jako granica sum Riemanna

Google Classroom
Sumy Riemanna nie tylko pomagają nam aproksymować całki oznaczone, ale również formalnie definiować całki oznaczone. Naucz się jak to działa i jak możemy poruszać się pomiędzy reprezentacją pola powierzchnii jako całki oznaczonej i sum Riemanna.
Całka oznaczona reprezentuje pole pod krzywą będącą wykresem funkcji, a sumy Riemanna pozwalają nam przybliżać to pole. Pozostaje pytanie: czy istnieje sposób na znalezienie dokładnej wartości całki oznaczonej?

Sumy Riemanna z "nieskończoną" liczbą prostokątów

Wyobraźmy sobie, że chcemy znaleźć pole pod wykresem funkcji f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared pomiędzy x, equals, 2 a x, equals, 6.
Używając notacji całki oznaczonej, możemy wyrazić dokładne pole:
integral, start subscript, 2, end subscript, start superscript, 6, end superscript, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared, d, x
Możemy przybliżyć to pole używając sum Riemanna. Niech R, left parenthesis, n, right parenthesis będzie prawostronną sumą Riemanna przybliżającą nasz obszar za pomocą n prostokątów o równych szerokościach.
Na przykład, na rysunku przedstawiono R, left parenthesis, 4, right parenthesis. Można zauważyć, że jest to przeszacowanie rzeczywistej powierzchni.
Obszar pod wykresem funkcji f pomiędzy x, equals, 2 a x, equals, 6 jest przybliżony za pomocą 4 prostokątów o równych szerokościach.
Możemy poprawić nasze przybliżenie dzieląc obszar na większą liczbę prostokątów o mniejszej szerokości, to znaczy używając R, left parenthesis, n, right parenthesis dla większych wartości n.
Można zauważyć, jak niedokładność przybliżenia zmniejsza się wraz ze wzrostem liczby prostokątów od 1 do 100:
Stworzone przy pomocy programu Geogebra.
Oczywiście wraz z dalszym wzrostem liczby prostokątów jeszcze bardziej zbliżymy się do rzeczywistej powierzchni, ale przybliżenie zawsze pozostanie tylko przybliżeniem.
A gdybyśmy mogli użyć sumy Riemanna z nieskończonym podziałem odcinka na równe przedziały? Czy byłoby to możliwe? Cóż, nie możemy przyjąć wartości n, equals, infinity, ponieważ nieskończoność nie jest liczbą, ale moglibyśmy przypomnieć sobie sposób na przeniesienie czegoś do nieskończoności...
Granice!
A dokładnie, poniższa granica:
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, R, left parenthesis, n, right parenthesis
Niesamowity fakt #1: Ta granica naprawdę daje nam dokładną wartość integral, start subscript, 2, end subscript, start superscript, 6, end superscript, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared, d, x.
Niesamowity fakt #2: Nie ma znaczenia, czy użyjemy prawostronnej sumy Riemanna, lewostronnej sumy Riemanna czy jakiegokowiek innego prostego przybliżenia. W nieskończoności zawsze otrzymamy dokładną wartość całki oznaczonej.
(Ścisły dowód tych faktów jest zbyt skomplikowany, żeby przedstawić go w tym artykule, ale nie stanowi to problemu - interesuje nas jedynie intuicja dotycząca związku pomiędzy sumami Riemanna a całkami oznaczonymi.)
Do tej pory używaliśmy R, left parenthesis, n, right parenthesis jako symbolu zastępczego dla prawostronnej sumy Riemanna z n przedziałami. Teraz zajmijmy się znalezieniem odpowiedniego wyrażenia.
Szybkie przypomnienie: Szukamy start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, stałej start color #1fab54, start text, s, z, e, r, o, k, o, s, with, \', on top, c, i, end text, end color #1fab54 każdego prostokąta i start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, wartości x w prawym rogu i, start text, negative, t, e, g, o, end text prostokąta. Wówczas start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 da nam start color #e07d10, start text, w, y, s, o, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, end text, end color #e07d10 każdego prostokąta.
Δx=6−2n=4nxi=2+Δx⋅i=2+4nif(xi)=15(xi)2=15(2+4ni)2\begin{aligned} \greenD{\Delta x}&=\dfrac{6-2}{n}=\greenD{\dfrac4n} \\\\ \blueD{x_i}&=2+\Delta x\cdot i=\blueD{2+\dfrac4n i} \\\\ \goldD{f(\blueD{x_i})}&=\dfrac15(x_i)^2=\goldD{\dfrac15\left(\blueD{2+\dfrac4n i}\right)^2} \end{aligned}
Zatem pole i, start text, negative, t, e, g, o, end text prostokąta to start color #1fab54, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, i, end color #11accd, right parenthesis, squared, end color #e07d10, i sumujemy to dla wartości i od 1 do n:
R, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, 2, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, squared, dot, start fraction, 4, divided by, 5, n, end fraction
Teraz możemy przedstawić rzeczywiste pole jako granicę:
=∫2615x2 dx=lim⁡n→∞R(n)=lim⁡n→∞∑i=1n(2+4in)2⋅45n\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int_2^6 {\dfrac15x^2\,}{dx} \\\\ &=\displaystyle\lim_{n\to\infty}R(n) \\\\ &=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(2+\dfrac{4i}{n}\right)^2\cdot\dfrac{4}{5n} \end{aligned}

Z definicji, całka oznaczona to granica sumy Riemanna

Powyższy przykład to szczególny przypadek ogólnej definicji całki oznaczonej:
Całka oznaczona funkcji ciągłej f na przedziale open bracket, a, comma, b, close bracket, oznaczana jako integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, to granica sumy Riemanna przy liczbie przedziałów dążącej do nieskończoności. To jest,
integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10
gdzie start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction i start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd.

Jeśli jesteśmy pytani o zapisanie sumy Riemanna z całki oznaczonej...

Wyobraźmy sobie, że zostaliśmy poproszeni o zapisanie poniższej całki oznaczonej jako granicy sumy Riemanna.
integral, start subscript, pi, end subscript, start superscript, 2, pi, end superscript, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x
Najpierw znajdź start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54:
Δx=b−an=2π−πn=πn\begin{aligned} \greenD{\Delta x}&=\dfrac{ b- a}{n} \\\\ &=\dfrac{{2\pi}- \pi}{n} \\\\ &=\greenD{\dfrac{\pi}{n}} \end{aligned}
Teraz, kiedy znamy już start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, możemy znaleźć start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd:
xi=a+Δx⋅i=π+πn⋅i=π+πin\begin{aligned} \blueD{x_i}&= a+\greenD{\Delta x}\cdot i \\\\ &= \pi+\greenD{\dfrac{\pi}{n}}\cdot i \\\\ &=\blueD{\pi+\dfrac{\pi i}{n}} \end{aligned}
Zatem,
integral, start subscript, pi, end subscript, start superscript, 2, pi, end superscript, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, start fraction, pi, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #11accd, pi, plus, start fraction, pi, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10

Poćwicz zapisywanie sum Riemanna z całek oznaczonych

zadanie 1
integral, start subscript, 0, end subscript, cubed, e, start superscript, x, end superscript, d, x, equals, question mark
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 2
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, e, end superscript, natural log, x, d, x, equals, question mark
Wybierz 1 odpowiedź:

Często popełniany błąd: niepoprawne wyznaczenie delta, x

Na przykład, w Zadaniu 2 student mógłby zdefiniować delta, x jako start fraction, e, divided by, n, end fraction albo start fraction, 1, divided by, n, end fraction zamiast start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction. Innym przykładem typowego błędu może być użycie d, x jako delta, x. Pamiętaj, że d, x jest używane tylko w notacji całkowej, nie przy sumowaniu. Informuje nas, że całkowanie odbywa się względem x.

Inny często popełniany błąd: niepoprawne wyznaczenie x, start subscript, i, end subscript

Student mógłby zapomnieć o dodaniu a do delta, x, dot, i, czego rezultatem byłoby błędne wyrażenie. Na przykład, w Zadaniu 2 student mógłby zdefiniować x, start subscript, i, end subscript jako start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction, dot, i zamiast 1, plus, start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction, dot, i.

Jeśli jesteśmy pytani o zapisanie całki oznaczonej na podstawie granicy sumy Riemanna...

Wyobraźmy sobie, że poproszono nas o znalezienie całki oznaczonej, która jest równoważna poniższej granicy:
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, natural log, left parenthesis, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, dot, start fraction, 5, divided by, n, end fraction
To znaczy, że musimy znaleźć przedział całkowania open bracket, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, comma, start color #aa87ff, b, end color #aa87ff, close bracket oraz funkcję podcałkową start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10. Wówczas odpowiednia całka to integral, start subscript, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, end subscript, start superscript, start color #aa87ff, b, end color #aa87ff, end superscript, start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, d, x.
Wiemy, że każda suma Riemanna składa się z dwóch części: szerokości start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 i wysokości start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 każdego prostokąta sumy. Patrząc na konkretną granicę, możemy dokonać rozsądnych wyborów dla obu części.
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54
Prostokąty o jednakowej szerokości: Wyrażenie start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54 dobrze reprezentuje szerokość naszych prostokątów, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, ponieważ nie zależy od indeksu i. Oznacza to, że start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 będzie takie samo dla każdego składnika sumy, a właśnie tego oczekujemy od sumy Riemanna, w której każdy prostokąt na mieć taką samą szerokość.
Prostokąty o różnych wysokościach: Wyrażenie start color #e07d10, natural log, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 zależy od i, co sprawia, że dobrze reprezentuje wysokość, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10. Najbardziej naturalnym wyborem start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd jest start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, więc zostaniemy przy nim, co oznacza że całkowana przez nas funkcja to start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10.
Aby znaleźć krańce przedziału całkowania, a i b, pomyślmy o ogólnych definicjach start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 i start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd w odniesieniu do całek oznaczonych.
Jak zdefiniowano powyżej, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, equals, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, plus, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, i, space. W tym szczególnym przypadku, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, co można zapisać jako start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, i, więc start color #aa87ff, a, end color #aa87ff musi być równe start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff.
Zgodnie z powyższą definicją, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, space. W tym szczególnym przypadku, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, 5, divided by, n, end fraction. Oba mianowniki są równe n, więc liczniki też muszą być sobie równe: b, minus, a, equals, 5. Wiemy już, że start color #aa87ff, a, equals, 2, end color #aa87ff, więc możemy wywnioskować, że start color #aa87ff, b, equals, 7, end color #aa87ff.
Po połączeniu wszystkich informacji, całka oznaczona która jest równa granicy tej sumy Riemanna ma postać:
integral, start subscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end subscript, start superscript, start color #aa87ff, 7, end color #aa87ff, end superscript, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, d, x

Poćwicz zapisywanie całek oznaczonych na podstawie sum Riemanna

Zadanie 3.A
  • Prąd elektryczny
Zadanie 3 przeprowadzi Cię przez poszczególne etapy znalezienia całki oznaczonej reprezentowanej przez wyrażenie:
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, 3, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, squared, dot, start fraction, 4, divided by, n, end fraction
Czym jest delta, x w tym wyrażeniu?
Wybierz 1 odpowiedź:

Typowy problem: trudności w znalezieniu delta, x w wyrażeniu na sumę Riemanna

Kiedy sumowane wyrażenie jest rozbudowane i zawiera wiele ułamków, znalezienie w nim delta, x może być trudne.
Pamiętaj, że delta, x musi być czynnikiem sumowanego wyrażenia w postaci start fraction, k, divided by, n, end fraction, gdzie k nie zawiera indeksu sumowania i

Inny typowy problem: trudności w znalezieniu granic sumowania

Zwróć uwagę, że w Zadaniu 3 fakt, że delta, x, equals, start fraction, 4, divided by, n, end fraction powiedział nam, że b, minus, a, equals, 4. To przydatna informacja, ale bez wyznaczenia a nie dowiemy się, jakie są a i b. Byliśmy w stanie znaleźć a korzystając z faktu, że x, start subscript, i, end subscript, equals, 3, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction.
Częto popełnianym błędem jest natychmiastowe założenie, że jeśli np. delta, x, equals, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, to przedziałem całkowania jest open bracket, 0, comma, 4, close bracket.

Ostatni typowy problem: Ogólne trudności w analizie wyrażenia

Niektórzy studenci po prostu nie wiedzą, gdzie zacząć.
Zacznijmy od sumowanego wyrażenia. Powinieneś być w stanie zidentyfikować dwa czynniki: jeden w postaci start fraction, k, divided by, n, end fraction (gdzie k nie zawiera indeksu sumowania i) i drugi, który jest funkcją i. Pierwszy czynnik daje Ci start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, a drugi start color #11accd, f, left parenthesis, start color #e07d10, x, start subscript, i, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd.
Zadanie 4
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, square root of, 4, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end square root, dot, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, equals, question mark
Wybierz 1 odpowiedź:

Potrzebujesz więcej praktyki? Wypróbuj to ćwiczenie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.