If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Notacja sigma

Zamiast wypisywać wszystkie wyrazy sumy, możemy użyć tak zwanej notacji sigma, Σ. Zobacz, jak można obliczać sumy określone w ten sposób. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Notacja sigma (albo po prostu znak sumy) pozwala nam zgrabnie i krótko zapisywać długie sumy.

Co to znaczy notacja sigma

Ten symbol, grecka litera sigma: sum oznacza operację sumowania.
Zacznijmy od prostego przykładu:
Zatrzymaj się na n=3(wlącznie)n=132n1Wyraz˙enie, ktoˊre definiujeRozpocznij od n=1dowolny wyraz tej sumy\begin{aligned} \scriptsize\text{Zatrzymaj się na }n=3& \\ \scriptsize\text{(wlącznie)} \\ \searrow\qquad& \\\\ \LARGE\displaystyle\sum_{n=1}^3&\LARGE 2n-1 \\ &\qquad\quad\nwarrow \\ \nearrow\qquad&\qquad\scriptsize\text{Wyrażenie, które definiuje} \\ \scriptsize\text{Rozpocznij od }n=1&\qquad\scriptsize\text{dowolny wyraz tej sumy} \end{aligned}
Ten wzór oznacza, że sumujemy wyrażenie 2, n, minus, 1 dla n będących liczbami całkowitymi od 1 do 3:
=n=132n1=[2(1)1]n=1+[2(2)1]n=2+[2(3)1]n=3=1+3+5=9\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD n=1}^3 2\goldD n-1 \\\\ &=\underbrace{[2(\goldD 1)-1]}_{\goldD{n=1}}+\underbrace{[2(\goldD 2)-1]}_{\goldD{n=2}}+\underbrace{[2(\goldD 3)-1]}_{\goldD{n=3}} \\\\ &=1+3+5 \\\\ &=9 \end{aligned}
Popatrz: postawiliśmy start color #e07d10, n, equals, 1, end color #e07d10, start color #e07d10, n, equals, 2, end color #e07d10 i start color #e07d10, n, equals, 3, end color #e07d10 do 2, start color #e07d10, n, end color #e07d10, minus, 1 i dodaliśmy do siebie uzyskane wyniki.
n nazywamy indeksem sumowania. Obliczając sumę, podstawiamy za indeks sumowania kolejne wartości.
zadanie 1
sum, start subscript, n, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, n, squared, equals, question mark
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Sumowanie możemy rozpocząć od dowolnej wartości indeksu n. W tym przykładzie, n zaczyna się od 4, a kończy na 6:
=n=46n1=(41)n=4+(51)n=5+(61)n=6=3+4+5=12\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD n=4}^6 \goldD n-1 \\\\ &=\underbrace{(\goldD 4-1)}_{\goldD{n=4}}+\underbrace{(\goldD 5-1)}_{\goldD{n=5}}+\underbrace{(\goldD 6-1)}_{\goldD{n=6}} \\\\ &=3+4+5 \\\\ &=12 \end{aligned}
Nasz indeks sumowania możemy nazwać tak, jak chcemy. Na przykład, w tej sumie indeks sumowania nazywa się i:
=i=023i5=[3(0) ⁣ ⁣5]i=0+[3(1) ⁣ ⁣5]i=1+[3(2) ⁣ ⁣5]i=2=5+(2)+1=6\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD i=0}^2 3\goldD i-5 \\\\ &=\underbrace{[3(\goldD 0)\!-\!5]}_{\goldD{i=0}}+\underbrace{[3(\goldD 1)\!-\!5]}_{\goldD{i=1}}+\underbrace{[3(\goldD 2)\!-\!5]}_{\goldD{i=2}} \\\\ &=-5+(-2)+1 \\\\ &=-6 \end{aligned}
Zadanie 2
sum, start subscript, k, equals, 3, end subscript, start superscript, 5, end superscript, k, left parenthesis, k, plus, 1, right parenthesis, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Zadanie 3
Rozważ teraz sumę 4, plus, 25, plus, 64, plus, 121.
Które wyrażenie równa się sumie zapisanej powyżej?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Czasem wyrażenia, które sumujemy, zależą nie tylko od indeksu simowania, ale także od innych zmiennych. Rozważ taką sumę:
sum, start subscript, n, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, start fraction, k, divided by, n, plus, 1, end fraction.
W tym wypadku indeksem sumowania jest n, a nie k. To znaczy, że obliczając tę sumę podstawiamy kolejne liczby całkowite za n, a k pozostaje niewiadomą :
=n=13kn+1=k(1)+1+k(2)+1+k(3)+1=k2+k3+k4\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD n=1}^3 \dfrac{k}{\goldD n+1} \\\\ &= \dfrac{k}{(\goldD 1)+1} + \dfrac{k}{(\goldD 2)+1} + \dfrac{k}{(\goldD 3)+1} \\\\ &= \dfrac{k}{2} + \dfrac{k}{3} + \dfrac{k}{4} \end{aligned}
Do zapamiętania: zanim zabierzesz się do obliczania sumy zapisanej w notacji signa, upewnij się że rozumiesz, co jest indeksem sumowania i że podstawiasz kolejne wartości tylko za ten indeks. Inne niewiadome zostawiamy tak, jak są zapisane.
Zadanie 4
sum, start subscript, m, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, 8, k, minus, 6, m, equals, question mark
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz rozwiązać więcej przykładów? Zajrzyj do tego ćwiczenia.