Główna zawartość
Analiza matematyczna - program rozszerzony I
Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 6
Lekcja 3: Sumy Riemanna, notacja sigma oraz całki oznaczone w tej notacji- Notacja sigma
- Notacja sigma
- Notacja sigma
- Suma Riemanna w notacji sigma
- Suma Riemanna w notacji sigma
- Suma Riemanna w notacji sigma
- Suma Riemanna w notacji sigma
- Całka oznaczona jako granica sum Riemanna
- Całka oznaczona jako granica sum Riemanna
- Przykład: całka oznaczona jako granica sum Riemanna
- Od sumy Riemanna do całki oznaczonej
- Całka oznaczona jako granica sum Riemanna
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Suma Riemanna w notacji sigma
Sumy Riemanna można zapisać w zwartej postaci za pomocą tzw. notacji sigma. To jest trudny, ale niezbędnie konieczny krok w kierunku formalnej definicji całki oznaczonej. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Notacja sumy (sigma) pozwala nam na zapisywanie długich sum w postaci pojedynczego wyrażenia. Choć notacja ta ma wiele zastosowań w różnych dziedzinach matematyki (również rachunku różniczkowym), skupimy się na zapisywaniu przy jej użyciu sum Riemanna.
Przykład zapisania sumy Riemanna w notacji sigma
Wyobraźmy sobie, że przybiżamy obszar po wykresem funkcji f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, square root of, x, end square root pomiędzy x, equals, 0, comma, 5 a x, equals, 3, comma, 5.
Zrobimy to zapisując wyrażenie opisujące prawostronną sumę Riemanna z czterema równymi przedziałami przy użyciu notacji sigma.
Niech A, left parenthesis, i, right parenthesis oznacza pole i, start text, negative, t, e, g, o, end text prostokąta w naszym przybliżeniu.
Cała suma Riemanna może być zapisana następująco:
Teraz musimy znaleźć wyrażenie opisujące A, left parenthesis, i, right parenthesis.
Łączna długość przedziału open bracket, 0, comma, 5, comma, 3, comma, 5, close bracket to 3 jednostki. Chcemy otrzymać 4 równe podprzedziały, więc start color #1fab54, start text, s, z, e, r, o, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, end text, end color #1fab54 każdego prostokąta wynosi 3, colon, 4, equals, start color #1fab54, 0, comma, 75, end color #1fab54 jednostki.
start color #e07d10, start text, W, y, s, o, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, end text, end color #e07d10 każdego prostokąta to wartość funkcji f na prawym brzegu prostokąta (ponieważ to prawostronna suma Riemanna).
Niech start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd oznacza wartość x na prawym brzegu i, start text, negative, t, e, g, o, end text prostokąta. Aby znaleźć x, start subscript, i, end subscript dla dowolnej wartości i, zaczniemy w x, equals, 0, comma, 5 i dodamy kolejno wspólną szerokość start color #1fab54, 0, comma, 75, end color #1fab54.
Zatem wzór na start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd to start color #11accd, 0, comma, 5, plus, 0, comma, 75, i, end color #11accd. Teraz start color #e07d10, start text, w, y, s, o, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, end text, end color #e07d10 każdego prostokąta to wartość funkcji f na jego prawym brzegu.
Otrzymaliśmy więc ogólne wyrażenie na pole i, start text, negative, t, e, g, o, end text prostokąta:
Teraz pozostaje nam tylko zsumować wyrażenie dla i od 1 do 4:
I gotowe!
Podsumowanie procesu zapisywania sumy Riemanna w notacji sigma
Wyobraźmy sobie, że chcemy przybliżyć obszar pod wykresem funkji f na przedziale open bracket, a, comma, b, close bracket przy pomocy n równych podprzedziałów.
Definiujemy delta, x: Niech start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 oznacza start color #1fab54, start text, s, z, e, r, o, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, end text, end color #1fab54 każdego prostokąta, zatem start color #1fab54, delta, x, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, end color #1fab54.
Definiujemy x, start subscript, i, end subscript: Niech start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd oznacza wartość x na prawym brzegu każdego prostakąta, zatem start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd.
Definiujemy pole i, start text, negative, t, e, g, o, end text prostokąta: start color #e07d10, start text, W, y, s, o, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, end text, end color #e07d10 każdego prostokąta wynosi start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10, a pole każdego prostokąta to start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10.
Sumujemy prostokąty: Użyjemy teraz notacji sigma aby dodać do siebie pola poszczególnych prostokątów. Wartości, które przyjmuje i są różne dla lewostronnej i prawostronnej sumy Riemanna:
- Kiedy zapisujemy prawostronną sumę Riemanna, i przyjmuje wartości od 1 do n.
- Jednak kiedy zapisujemy lewostronną sume Riemanna, weźmiemy wartości i od 0 do n, minus, 1 (w ten sposób otrzymamy wartość f na lewym brzegu każdego prostokąta).
Lewostronna suma Riemanna | Prawostronna suma Riemanna |
---|---|
sum, start subscript, i, equals, 0, end subscript, start superscript, n, minus, 1, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 | sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 |
Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać to zadanie.
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji