If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 6

Lekcja 3: Sumy Riemanna, notacja sigma oraz całki oznaczone w tej notacji
Matematyka
Analiza matematyczna - program rozszerzony I
Całkowanie jako sumowanie przyrostów zmian funkcji
Sumy Riemanna, notacja sigma oraz całki oznaczone w tej notacji
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Suma Riemanna w notacji sigma

Google Classroom
Sumy Riemanna można zapisać w zwartej postaci za pomocą tzw. notacji sigma. To jest trudny, ale niezbędnie konieczny krok w kierunku formalnej definicji całki oznaczonej. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Notacja sumy (sigma) pozwala nam na zapisywanie długich sum w postaci pojedynczego wyrażenia. Choć notacja ta ma wiele zastosowań w różnych dziedzinach matematyki (również rachunku różniczkowym), skupimy się na zapisywaniu przy jej użyciu sum Riemanna.

Przykład zapisania sumy Riemanna w notacji sigma

Wyobraźmy sobie, że przybiżamy obszar po wykresem funkcji f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, square root of, x, end square root pomiędzy x, equals, 0, comma, 5 a x, equals, 3, comma, 5.
Zrobimy to zapisując wyrażenie opisujące prawostronną sumę Riemanna z czterema równymi przedziałami przy użyciu notacji sigma.
Niech A, left parenthesis, i, right parenthesis oznacza pole i, start text, negative, t, e, g, o, end text prostokąta w naszym przybliżeniu.
Cała suma Riemanna może być zapisana następująco:
A, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, A, left parenthesis, i, right parenthesis
Teraz musimy znaleźć wyrażenie opisujące A, left parenthesis, i, right parenthesis.
Łączna długość przedziału open bracket, 0, comma, 5, comma, 3, comma, 5, close bracket to 3 jednostki. Chcemy otrzymać 4 równe podprzedziały, więc start color #1fab54, start text, s, z, e, r, o, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, end text, end color #1fab54 każdego prostokąta wynosi 3, colon, 4, equals, start color #1fab54, 0, comma, 75, end color #1fab54 jednostki.
start color #e07d10, start text, W, y, s, o, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, end text, end color #e07d10 każdego prostokąta to wartość funkcji f na prawym brzegu prostokąta (ponieważ to prawostronna suma Riemanna).
Niech start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd oznacza wartość x na prawym brzegu i, start text, negative, t, e, g, o, end text prostokąta. Aby znaleźć x, start subscript, i, end subscript dla dowolnej wartości i, zaczniemy w x, equals, 0, comma, 5 i dodamy kolejno wspólną szerokość start color #1fab54, 0, comma, 75, end color #1fab54.
Zatem wzór na start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd to start color #11accd, 0, comma, 5, plus, 0, comma, 75, i, end color #11accd. Teraz start color #e07d10, start text, w, y, s, o, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, end text, end color #e07d10 każdego prostokąta to wartość funkcji f na jego prawym brzegu.
start color #e07d10, f, left parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, square root of, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, end square root, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, square root of, start color #11accd, 0, comma, 5, plus, 0, comma, 75, i, end color #11accd, end square root, end color #e07d10
Otrzymaliśmy więc ogólne wyrażenie na pole i, start text, negative, t, e, g, o, end text prostokąta:
A(i)=szerokosˊcˊ⋅wysokosˊcˊ=0,75⋅0,5+0,75i\begin{aligned} A(i)&=\greenD{\text{szerokość}}\cdot\goldD{\text{wysokość}} \\\\ &=\greenD{0{,}75}\cdot\goldD{\sqrt{\blueD{0{,}5+0{,}75i}}} \end{aligned}
Teraz pozostaje nam tylko zsumować wyrażenie dla i od 1 do 4:
=A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=∑i=14A(i)=∑i=140,75⋅0,5+0,75i\begin{aligned} &\phantom{=}A(1)+A(2)+A(3)+A(4) \\\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^4 A(i) \\\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^4 0{,}75\cdot\sqrt{0{,}5+0{,}75i} \end{aligned}
I gotowe!

Podsumowanie procesu zapisywania sumy Riemanna w notacji sigma

Wyobraźmy sobie, że chcemy przybliżyć obszar pod wykresem funkji f na przedziale open bracket, a, comma, b, close bracket przy pomocy n równych podprzedziałów.
Definiujemy delta, x: Niech start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 oznacza start color #1fab54, start text, s, z, e, r, o, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, end text, end color #1fab54 każdego prostokąta, zatem start color #1fab54, delta, x, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, end color #1fab54.
Definiujemy x, start subscript, i, end subscript: Niech start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd oznacza wartość x na prawym brzegu każdego prostakąta, zatem start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd.
Definiujemy pole i, start text, negative, t, e, g, o, end text prostokąta: start color #e07d10, start text, W, y, s, o, k, o, s, with, \', on top, c, with, \', on top, end text, end color #e07d10 każdego prostokąta wynosi start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10, a pole każdego prostokąta to start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10.
Sumujemy prostokąty: Użyjemy teraz notacji sigma aby dodać do siebie pola poszczególnych prostokątów. Wartości, które przyjmuje i są różne dla lewostronnej i prawostronnej sumy Riemanna:
  • Kiedy zapisujemy prawostronną sumę Riemanna, i przyjmuje wartości od 1 do n.
  • Jednak kiedy zapisujemy lewostronną sume Riemanna, weźmiemy wartości i od 0 do n, minus, 1 (w ten sposób otrzymamy wartość f na lewym brzegu każdego prostokąta).
Lewostronna suma RiemannaPrawostronna suma Riemanna
sum, start subscript, i, equals, 0, end subscript, start superscript, n, minus, 1, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10
Zadanie 1.A
  • Prąd elektryczny
Zadanie 1 przeprowadzi Cię przez proces przybliżenia obszaru pomiędzy f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, comma, 1, x, squared, plus, 1 a osią X na przedziale open bracket, 2, comma, 7, close bracket przy użyciu lewostronnej sumy Riemanna z 10 równymi podprzedziałami.
Jaka jest szerokość każdego prostokąta, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54?
start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals
  • Prawidłowa odpowiedź to:
  • liczba całkowita, taka jak 6
  • właściwy uproszczony ułamek, taki jak 3, slash, 5
  • niewłaściwy uproszczony ułamek, taki jak 7, slash, 4
  • liczba mieszana, taka jak 1, space, 3, slash, 4
  • dokładny ułamek dziesiętny, taki jak 0, comma, 75
  • wielokrotność pi, taka jak 12, space, start text, p, i, end text lub 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Zadanie 2
Chcemy przybliżyć obszar pomiędzy wykresem funkcji g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 5, divided by, x, end fraction, plus, 2 a osią X na przedziale open bracket, 1, comma, 7, close bracket korzystając z prawostronnej sumy Riemanna z 9 równymi podprzedziałami:
Które wyrażenie opowiada naszemu przybliżeniu?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać to zadanie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.