Ładowanie

Transkrypcja filmu video

Już w kilku filmach dotychczas aproksymowaliśmy pole obszaru pod krzywą rozkładając ten obszar na prostokąty a następne znajdując sumę pól powierzchni tych prostokątów jako przybliżenie. I to był zasadniczo pierwszy z przykładów, któremu przyjrzeliśmy się bliżej, gdzie każdy z prostokątów miał tę samą szerość. Zatem podzieliliśmy na równe części odcinek pomiędzy dwoma naszymi punktami krańcowymi a i b. Natomiast wysokość prostokata była równa wartości funkcji policzonej w lewym końcu każdego z prostokątów. Dążyliśmy do uogólnienia powyższego i zapisania z użyciem znaku sigma. To wyglądało jakoś w ten sposób. I to był jeden z przypadków. W dalszek kolejności rozważyliśmy sytuacje, gdzie wysokość definowaliśmy jako wartość funkcji w prawym końcu przedziału lub w jego środku. W końcu skonstruowaliśmy nawet trapezy. Wszystkie powyższe to szczególne przykłady sum Riemanna. Czyli ta tutaj to suma Riemanna. I kiedy ludzie dyskutują o sumach Riemanna mają na myśli pojęcie bardziej ogólne. Nie koniecznie trzeba robić to w ten sposób. Moglibyście użyć trapezów. Nie musicie wcale dzielić przedziału na równe na równe odcinki. Użyłem odcinków równej długości ponieważ to uczyniło rzeczy odrobine koncepcyjnie prostrzymi. A to tutaj to zdjęcie człowieka, od którego sumy Riemanna wzięły swoją nazwę. To jest Bernhard Riemann. Miał on duźy udział w tworzeniu matematyki. Ale to, z czego jest najbardziej znany, przynajmniej jeśli mówimy o pierwszym roku kursu analizy to właśnie sumy Riemanna. I jak ich używać dla zdefiniowania całki Riemanna. Obaj Newton i Leibnitz zaproponowali definicję po tym jak sformułowali. opracowali rachunek różniczkowy, ale całka Riemanna należy w pewnym sensie do głównego nurtu formalnych, czy raczej powinienem powiedzieć ścisłych, definicji tego, czym jest całka. Zatem jeak możecie sobie wyobrazić, to jest jeden przykład sumy Riemanna. Mamy n dokładnie tutaj. Im większe jest n, tym lepsza będzie aproksymacja. A więc jego definicja całki, która jest dokładnie rzeczywistym polem obszaru pod krzywą, czy definicja całki określonej, która miałaby być dokładnym polem obszaru pod krzywą na przedziale [a, b] polega na tym, aby wziąc tę sumę Riemanna, to nie musi być akurat ta, wziąć zatem jakąkolwiek sumę Riemanna, i przejść z nią do granicy przy n dążacym do nieskończoności. Dla jasności, co sie dzieje, kiedy n zbiega do nieskończoności? Pozwólcie, że narysuję tutaj drugi wykres. Powiedzmy, że to jest maja oś y. To jest oś x. To jest maja funkcja. Przy n dążącym do nieskończoności-- więc to jest a, to jest b-- dostaniecie teraz całe mnóstwo prostokątów. Dostaniecie mnóstwo prostokątów dokładnie tutaj. I dostaniemy za ich przyczyną coraz to lepsze i lepsze przybliżenia dla rzeczywistego pola powierzchni. A rzeczywiste pole powierzchni pod krzywą wyraża się jeko całka od a do b z funkcji f(x) razy dx. I widzicie dobrze skąd to się wzięło czy tez w jakim sensie te oznaczenia są sobie bliskie. Czy przynajmniej w moim umyśle, jak one się ze sobą wiążą. Delta x była szerością każedej z tych części. To tutaj to jest delta x. Więc to jest delta x. A to znowuż delta x. I jeszcze inna delta x. Rozsądny sposób wyjaśnienia czym jest dx lub czym jest różniczka, to powiedzieć, że to jest granica do której zbiega delta x, kiedy x staje sie nieskończenie małe. Więc możecie wyobrazić to sobie, i nie jest to wcale bardzo ścisły sposób myślenia o tym, jako nieskonczenie małe-- ale nie równe 0-- nieskończenie małe delta x, to jeden sposób zobaczenia tego. A wię raz jeszcze, macie funkcję razy jakas mała zmaina parametru delta x. I sumujecie, aczkolwiek sumujecie nieskończoną liczbę takich wyrażeń, od a do b. I zostawię was z tym teraz tak żebyście dostrzegli po prostu związek. Znacie nazwy dla tych rzeczy. Jeszcze raz, ta tutaj, to nie jest jedyna suma Riemanna. Faktycznie, ten napis często nazywa się lewą sumą Riemanna, o ile używacie prostokątów. Można skonstruować prawą sumę Riemanna. Moglibyście brać punkty środkowe odcinków. Moglibyście użyc trapezu. Ale jeśli weżmiecie granicę którejkolwiek z tych sum Riemanna, przy n dążacym do nieskończoności n, wtedy dostaniecie definicję całki Riemanna. Jak dotąd nie było jeszcze mowy o tym, w jaki sposób właściwie oszacować to. Na razie mamy jedynie definicję. Z tym problemem zmierzymy się w przyszłych prezentacjach.