Własności funkcji zdefiniowanych przez całki oznaczone

Rachunek różniczkowy daje nam narzędzia do analizowania własności funkcji $f$‍ w oparciu o informacje na temat zachowania jej pochodnej $f^{\prime }$‍. Dzięki rachunkowi całkowemu możemy, zamiast analizować funkcje i ich pochodne, wnioskować o ich funkcjach pierwotnych.

A oto wykres funkcji $f$‍:

Niech $g(x)={\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)dt}$‍. Funcja $g$‍ zdefiniowana w ten sposób jest funkcją pierwotną funkcji $f$‍. W rachunku różniczkowym zapisalibyśmy tę zależność jako $g^{\prime }=f$‍. Ponieważ $f$‍ jest pochodną $g$‍, możemy wnioskować o zachowaniu funkcji $g$‍ postępując podobnie jak w rachunku różniczkowym.

Na przykład, $f$‍ przyjmuje dodatnie wartości na przedziale $[0,10]$‍, więc $g$‍ musi być na tym przedziale rosnąca.

Co więcej, $f$‍ zmienia znak w $x=10$‍, więc $g$‍ musi mieć w tym punkcie ekstremum lokalne. Ponieważ $f$‍ zmienia znak z dodatniego na ujemny, jest to maksimum.

Powyższe przykłady pokazują, że możemy na podstawie wykresu wyznaczyć przedziały, na których $g$‍ maleje lub rośnie i punkty, w których osiąga ekstrema lokalne. Możemy też wnioskować o wypukłości $g$‍. Ponieważ $f$‍ jest rosnąca na przedziale $[-2,5]$‍, wiemy że $g$‍ jest na tym przedziale wyypukła. Analogicznie, ponieważ $f$‍ jest malejąca na przedziale $[5,13]$‍ wiemy, że $g$‍ jest wklęsła na tym przedziale. $g$‍ zmienia wypukłość w $x=5$‍, więc jest to punkt przegięcia.

To niezwykle ważne aby pamiętać, które własności funkcji są powiązane z którymi własnościami jej funkcji pierwotnej. Wielu studentów myli się i dochodzi do błędnych wniosków, twierdząc na przykład, że funkcja pierwotna jest dodatnia, ponieważ funkcja jest rosnąca (w rzeczywistości prawdziwa jest odwrotna zależność).

Poniższa tabela podsumowuje wszystkie zależności pomiędzy własnościami funkcji i jej funkcji pierwotnej.