Główna zawartość
Analiza matematyczna - program rozszerzony I
Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 6
Lekcja 5: Własności funkcji zdefiniowanych przez całki oznaczoneWłasności funkcji zdefiniowanych przez całki oznaczone
Wnioskowanie w oparciu o rachunek różniczkowy i całkowy na temat własności funkcji pierwotnej. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Rachunek różniczkowy daje nam narzędzia do analizowania własności funkcji w oparciu o informacje na temat zachowania jej pochodnej . Dzięki rachunkowi całkowemu możemy, zamiast analizować funkcje i ich pochodne, wnioskować o ich funkcjach pierwotnych.
Wnioskowanie o funkcji na podstawie wykresu funkcji
A oto wykres funkcji :
Niech . Funcja zdefiniowana w ten sposób jest funkcją pierwotną funkcji . W rachunku różniczkowym zapisalibyśmy tę zależność jako . Ponieważ jest pochodną , możemy wnioskować o zachowaniu funkcji postępując podobnie jak w rachunku różniczkowym.
Na przykład, przyjmuje dodatnie wartości na przedziale , więc musi być na tym przedziale rosnąca.
Co więcej, zmienia znak w , więc musi mieć w tym punkcie ekstremum lokalne. Ponieważ zmienia znak z dodatniego na ujemny, jest to maksimum.
Powyższe przykłady pokazują, że możemy na podstawie wykresu wyznaczyć przedziały, na których maleje lub rośnie i punkty, w których osiąga ekstrema lokalne. Możemy też wnioskować o wypukłości . Ponieważ jest rosnąca na przedziale , wiemy że jest na tym przedziale wyypukła. Analogicznie, ponieważ jest malejąca na przedziale wiemy, że jest wklęsła na tym przedziale. zmienia wypukłość w , więc jest to punkt przegięcia.
Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać to zadanie.
To niezwykle ważne aby pamiętać, które własności funkcji są powiązane z którymi własnościami jej funkcji pierwotnej. Wielu studentów myli się i dochodzi do błędnych wniosków, twierdząc na przykład, że funkcja pierwotna jest dodatnia, ponieważ funkcja jest rosnąca (w rzeczywistości prawdziwa jest odwrotna zależność).
Poniższa tabela podsumowuje wszystkie zależności pomiędzy własnościami funkcji i jej funkcji pierwotnej.
Kiedy funkcja | Jej funkcja pierwotna |
---|---|
Dodatnia | Rosnąca |
Ujemna | Malejąca |
Rosnąca | Wypukła |
Malejąca | Wklęsła |
Zmienia znak / przecina oś | Ekstremum lokalne |
Ekstremum lokalne | Punkt przegięcia |
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji