If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Dowód podstawowego twierdzenia rachunku całkowego

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego jest niezwykle ważne w rachunku całkowym (można nawet powiedzieć, że jest podstawowe!). Łączy ze sobą pochodne i całki na dwa równoważne sposoby:
I.ddxaxf(t)dt=f(x)II.ab ⁣ ⁣f(x)dx=F(b) ⁣ ⁣ ⁣F(a)\begin{aligned} I.&\,\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=f(x) \\\\ II.&\,\displaystyle\int_a^b\!\! f(x)dx=F(b)\!-\!\!F(a) \end{aligned}
Pierwsza część mówi, że jeśli zdefiniujemy funkcję jako całkę oznaczoną z innej funkcji f, to nowa funkcja jest funkcją pierwotną f.
Druga część mówi, że aby znaleźć całkę oznaczoną z f pomiędzy a i b, należy znaleźć funkcję pierwotną f, oznaczamy ją F, i obliczyć F, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, F, left parenthesis, a, right parenthesis.
Program kursu rachunku różniczkowego AP nie wymaga znajomości dowodu tego twierdzenia, ale naszym zdaniem warto poznać ten dowód, tym bardziej że leży on całkowicie w naszym zasięgu. Zawsze warto zastanowić się nad dowodem, albo przynajmniej uzasadnieniem twierdzenia, które właśnie poznajesz.

Na początku udowodnimy pierwszą część twierdzenia.

Filmy wideo na Khan Academy
Proof of fundamental theorem of calculusZobacz transkrypcję filmu

Następnie zaprezentujemy intuicję dotyczącą poprawności drugiej części.

Filmy wideo na Khan Academy
Intuition for second part of fundamental theorem of calculusZobacz transkrypcję filmu

Na końcu udowodnimy drugą część twierdzenia opierając się na pierwszej części.

Filmy wideo na Khan Academy
The fundamental theorem of calculus and definite integralsZobacz transkrypcję filmu