Całkowanie przez podstawienie - rozgrzewka

Zanim zaczniesz rozwiązywać zadania, sprawdź się w liczeniu całek metodą przez podstawienie. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości, dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego.

Wyznacz całkę nieoznaczoną.

Zadanie 1

\int \cos (x^{2}) 2 x d x =

+ C

Zauważ, że

2 x

to pochodna

x^{2}

. Podstawiając

u = x^{2}

, otrzymamy

d u = 2 x d x

, i w ten sposób możemy uprościć funkcję podcałkową.

\int \cos (x^{2}) 2 x d x = \int \cos (u) d u

Teraz możemy łatwo wskazać całkę pierwotną:

\begin{aligned} = \int \cos (u) d u \\ = \sin (u) + C \\ = \sin (x^{2}) + C & Podstawienie powrotne za u \end{aligned}

A zatem,

\int \cos (x^{2}) 2 x d x = \sin (x^{2}) + C

Możemy teraz zróżniczkować

\sin (x^{2}) + C

aby sprawdzić poprawność naszych obliczeń:

Zadanie 2

\int \frac{3 x^{2}}{(x^{3} + 3)^{2}} d x =

+ C

Zauważ, że

3 x^{2}

to pochodna

x^{3} + 3

. Podstawiając

u = x^{3} + 3

,otrzymamy

d u = 3 x^{2} d x

, i możemy uprościć funkcję podcałkową.

\begin{aligned} \int \frac{3 x^{2}}{(x^{3} + 3)^{2}} d x & = \int \frac{1}{(x^{3} + 3)^{2}} \cdot 3 x^{2} d x \\ = \int \frac{1}{u^{2}} d u \end{aligned}

Teraz możemy łatwo wskazać całkę pierwotną:

\begin{aligned} = \int \frac{1}{u^{2}} d u \\ = - \frac{1}{u} + C \\ = - \frac{1}{x^{3} + 3} + C & Podstawienie powrotne za u \end{aligned}

A zatem,

\int \frac{3 x^{2}}{(x^{3} + 3)^{2}} d x = - \frac{1}{x^{3} + 3} + C

Możemy teraz zróżniczkować

- \frac{1}{x^{3} + 3} + C

aby sprawdzić poprawność naszych obliczeń:

Zadanie 3

\int e^{4 x} d x =

+ C

Zadanie 4

\int x \cdot \sqrt{\frac{1}{6} x^{2} + 1} d x =

+ C

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.