If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość
Aktualny czas:0:00Całkowity czas trwania:12:24

Transkrypcja filmu video

Powiedzmy, że mam jakąś funkcję, s(t), którą ustanawiamy funkcją czasu. Pozwólcie, że naszkicuję wykres potencjalnej funkcji s(t) tutaj. Mamy oś poziomą jako oś czasu. Pozwólcie, że coś narysuję. Niech wykres będzie podobny do paraboli. Mógłbym to zrobić przy większej ogólności, ale w ten sposób rzeczy się odrobinę uproszczą. Zatem narysuję wykres przypominający parabolę. Nazwijmy tę osią y. Moglibyśmy nawet nazwać ten wykres y równa się s(t). TO jak najbardziej rozsądne wyznaczać nasze położenie jako funkcję czasu. A teraz pomyślmy co się dzieje jeżeli rozważamy zmianę położenia pomiędzy dwoma momentami w czasie, powiedzmy między chwilą a a dokładnie tutaj-- i ta tutaj to chwila b. A więc chwila b jest dokładnie tutaj. Zatem jaka będzie zmiana położenia pomiędzy czasem a i czasem b? Cóż, w chwili b znajdujemy się w położeniu s(b). A w chwili a znajdujemy się w położeniu s(a). Zatem zmiana położenia z upływem czasu od a do b-- pozwólcie, że to zapiszę-- zmiana położenia pomiędzy-- i to może być dla was całkiem oczywiste, ale zapiszę to i tak-- pomiędzy chwilą a i b będzie równa s(b), to położenie, odjąć to położenie, odjąć s(a). Czyli nic naprawdę zaskakującego. Ale teraz pomyślmy co się stanie jeśli policzymy pochodną dokładnie tutaj. Czyli co się stanie jeśli weźmiemy pochodną położenia jako funkcji czasu? Pamiętajcie, pochodna daje nam w każdym punkcie tg kąta nachylenia stycznej do wykresu. Powiedzmy,że patrzymy na punkt tutaj, nachylenie stycznej do wykresu. Pochodna mówi nam dla bardzo małych zmian czasu-- przesadzam tutaj odrobinę-- dla bardzo bardzo małych zmian czasu, w jaki sposób zmienia się nasze położenie? Zatem piszemy skoro ds dt jest ochodną naszej funkcji położenia w zadanym momencie czasu. Zatem jeśli mówimy o tempie w jakim zmienia się położenie w stosunku do czasu, to co to będzie? Cóż, to będzie równe prędkości. Czyli to jest równe prędkości. Ale niech to zapiszę wykorzystując inną notację. Zatem to będzie funkcją czasu. Więc moglibyśmy zapisać, że to jest równe s prim od t. To są po prostu dwa sposoby zapisu pochodnej funkcji s po zmiennej t. To odrobinę wyjaśnia czemu samo to jest funkcją czsu. I wiemy, że to jest dokładnie to samo co prędkość jako funkcja czasu, którą oznaczymy przez v(t). Naszkicujmy jak mógłby wyglądać wykres v(t). Naszkicujmy to. Narysuję więc tu na dole kolejne osie zupełnie podobne do oryginalnych. Zrobię sobie trochę miejsca, żeby to dobrze wyglądało. A teraz pozwólcie, ze narysuję wykres v(t). Wiec jeszcze raz, jeśli to jest moja oś y, to jest moja oś t i zamierzam narysować wykres y równa się v(t). I jeśli to rzeczywiście jest parabola, to nachylenie tutaj jest 0, tempo zmian wynosi 0 a potem wzrasta. Stromizna stycznej wzrasta. Czyli v(t) mogłoby wyglądać jakoś tak. Więc to jest wykres y równa się v(t). Teraz, używając tego wykresu, pomyślmy czy możemy wykoncypować odległość tudzież zmianę położenia, pomiędzy chwilą czasu a oraz chwilą b. Cóż, powróćmy do naszych sum Riemanna. Pomyślmy co mogłoby reprezentować pole bardzo małego prostokąta. Więc podzielmy to na prostokąty. Narysuję dość duże te prostokąty tak abyśmy mieli wystarczającą do naszych celów przestrzeń. Możecie sobie wyobrazić dużo mniejsze. Zastosuję tutaj lewą sumę Riemanna tak też narysowaliśmy prostokąty. Ale moglibyśmy zastosować też prawą sumę Riemanna. Moglibyśmy uciec się do sumy trapezów. Moglibyśmy zrobić cokolwiek byśmy zechcieli. I dalej moglibyśmy w ten sposób dokładnie kontynuować do samego końca, pozwólcie, że ja skończę na trzecim. Pozwólcie, ze narysuję trzy. Wychodzi na to, że to jest bardzo niedokładne przybliżenie, ale możecie sobie wyobrazić, że mogłoby być dokładniejsze. Ale co to jest za obszar, którego pole każdy z prostokątów próbuje-- co one aproksymują? Cóż, ten tutaj, macie f(a), właściwie powinienem powiedzieć v(a). Czyli wasza prędkość w momencie a jest równa dokładnie tej wysokości tutaj. A ta odległość tutaj jest zmianą czasu, razy delta t. Czyli pole tego prostokąta to nasza prędkość w tym momencie razy nasz przyrost czasu. Ile wynosi prędkość w tym momencie razy przyrost czasu? Cóż, to będzie właśnie równe naszej zmianie położenia. Zatem to powie nam-- to jest aproksymacja naszej zmiany położenia w przeciągu tego czasu. Dalej, pole tego prostokąta jest kolejnym przybliżeniem zmiany położenia w przeciągu kolejnego delta t. Następnie, możecie sobie wyobrazić, że tutaj to jest aproksymacja dla naszej zmiany położenia dla kolejnego delta t. Więc jeśli naprawdę chcecie przekonać się jak duża jest zmiana położenia pomiędzy a i b możecie chcieć posłużyć się sumą Riemanna dla jej oszacowania. Będziecie wówczas chcieli wziąć sumę od i równego 1 do i równego n z v od-- i chcę mieć lewą sumę Riemanna, ale powtarzam, możemy równie dobrze brać punkt środkowy. Albo moglibyście brać trapezy. Moglibyśmy wziąć prawą sumę Riemanna. Ja jednak biorę lewą, bowiem to odpowiada rysunkowi-- v(ti-1). Więc to byłoby t0 równe a. Zatem to jest pierwszy prostokąt. Zatem pierwszy prostokąt, używamy wartości funkcji w t0. Dla drugiego prostokąta używamy wartości funkcji w t1. Robiliśmy tak już jak dotąd w wielu filmach. Następnie mnożymy to przez każdą ze zmian czasu. To będzie aproksymacja dla naszej łącznej-- niech to wyjaśnię-- gdzie delta t jest równa b odjąć a nad liczbę przedziałów. Wiemy już z wielu wielu filmów, w których przyglądaliśmy się sumom Riemanna, że to będzie aproksymacja dwóch wielkości. Właśnie opowiedzieliśmy sobie, że będzie to aproksymacja naszej zmiany położenia, ale to jednocześnie aproksymacja dla naszego pola powierzchni. Czyli to tutaj. Próbujemy aproksymować zmianę położenia. Ale to jest także przybliżenie pola obszaru pod krzywą. Miejmy nadzieję, że wydaje się wam to satysfakcjonujące, iż jeśli jesteście w stanie policzyć pole pod krzywą-- właściwie w naszym przykładzie jest całkiem łatwo, bo to jest trapez. Ale nawet gdyby była to funkcja, gdyby była to jakaś zwariowana funkcja, to nadal pozostaje w mocy stwierdzenie, że kiedy obliczacie pole pod wykresem funkcji prędkości, to właściwie obliczacie zmianę położenia. To są te dwie rzeczy. Cóż, już wiemy co moglibyśmy zrobić żeby otrzymać dokładne pole pod krzywą, lub żeby otrzymać dokładną zmianę położenia? Cóż, mamy tylko mnóstwo prostokątów. Bierzemy granicę przy liczbie prostokątów dążących do nieskończoności. Bierzemy granicę przy n dążącym do nieskończoności. I podczas gdy n zbiega do nieskończoności, ponieważ delta t jest równe b minus a podzielić przez n, delta t staje się nieskończenie małe. "Przejdzie" w dt, to jeden ze sposobów jak można o tym myśleć. A my mamy już na to oznaczenie. To jeden ze sposobów myślenia o całce Riemanna. Po prostu używamy lewej sumy Riemanna. Znowu, moglibyśmy użyć prawej sumy, et cetera, et cetera. Moglibyśmy użyć bardziej ogólnej sumy Riemanna, ale ta wystarczy. Więc to będzie równe całce określonej od a do b z v(t) dt. Czyli ten tutaj to jeden ze sposobów powiedzenia, spójrzcie, jeśli chcemy mieć dokładne pole pod krzywą, pod krzywą prędkości, które będzie równe dokładnej zmianie położenia w czasie od a do b, możemy zapisać to w ten sposób. To jest granica sum Riemanna przy n dążącym do nieskończoności, albo całka określona od a do b z v(t) dt. Ale czego właśnie udało się dociec? Zatem pamiętajcie, to jest-- moglibyśmy nazwać to dokładną zmianą położenia między chwilą a i b. Ale już dowiedliśmy jaka jest dokładna zmiana położenia między chwilą a i b. To jest ten napis tutaj, o to chodzi. A zatem robi się ciekawie. Mamy teraz sposób na policzenie tej całki oznaczonej. Koncepcyjnie wiedzieliśmy, że to była dokładna zmiana położenia w przeciągu od a do b. Ale wymyśliliśmy właśnie jak znajdywać dokładną zmianę położenia w czasie od a do b. Pozwólcie, że wszystko to zapiszę. Mamy że całka określona od a do b z v(t) dt jest równa s(b) odjąć s(a) gdzie-- napiszę to innym kolorem-- gdzie s(t) jest-- wiemy,że v(t) jest pochodną s(t), więc możemy powiedzieć, że s(t) jest funkcją pierwotną v(t). I ta idea, jakkolwiek zapisałem ją w mało tradycyjny sposób-- użyłem położenia prędkości to jest drugie fundamentalne twierdzenie rachunku różniczkowego. Prawdopodobnie zastanawia was o czym mówi pierwsze. O tym jednakże pomówimy innym razem. Ale to jest fantastyczny użyteczny sposób liczenia całek określonych oraz znajdywania pola pod krzywą, drugie podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego, bardzo blisko powiązane z pierwszym, o którym jednak teraz nie powiemy. A więc czemu to tak ogromnie ważne? Cóż, pozwólcie, że zapiszę to ogólniej, tak jak mogliście to widywać ujęte w literaturze przedmiotu. Twierdzenie mówi nam, że jeśli chcemy mieć pole obszaru pod krzywą pomiędzy punktami a i b funkcji f(x)-- czyli w ten sposób zapisujemy pole pod krzywą na tym przedziale. Dla jasności narysuję o czym jest mowa w ogólnym przypadku. Zatem niech to będzie f(x). A nam chodzi o pole pod krzywą pomiędzy a i b. Jeśli chcemy znaleźć dokładne pole pod krzywą dochodzimy do tego znajdując funkcję pierwotną f. Ustalmy że F(x) będzie tą funkcją pierwotną-- tak czy inaczej którąś z nich, bowiem jest ich mnóstwo różniących się o stałe. Wtedy jedyne co to musicie wziąć-- obliczyć-- wartość funkcji pierwotnej w punktach krańcowych i wziąć różnicę. Zatem bierzecie najpierw punkty krańcowe. Odejmujecie wartość funkcji pierwotnej w punkcie początkowym od wartości funkcji pierwotnej w punkcie końcowym. Dostajecie F(b) odjąć F(a). Zatem jeśli szukacie pola pod krzywą, bierzecie funkcję pierwotną dla niej i obliczacie jej wartość w punkcie końcowym, po czym odejmujecie od niej wartość w punkcie początkowym. Miejmy nadzieję, że ma to sens.
AP® jest zastrzeżonym znakiem towarowym firmy College Board, która nie dokonała przeglądu tego zasobu.