Główna zawartość

Całka oznaczona jako granica sum Riemanna

Sumy Riemanna nie tylko pomagają nam aproksymować całki oznaczone, ale również formalnie definiować całki oznaczone. Naucz się jak to działa i jak możemy poruszać się pomiędzy reprezentacją pola powierzchnii jako całki oznaczonej i sum Riemanna.

Całka oznaczona reprezentuje pole pod krzywą będącą wykresem funkcji, a sumy Riemanna pozwalają nam przybliżać to pole. Pozostaje pytanie: czy istnieje sposób na znalezienie dokładnej wartości całki oznaczonej?

Sumy Riemanna z "nieskończoną" liczbą prostokątów

Wyobraźmy sobie, że chcemy znaleźć pole pod wykresem funkcji

f (x) = \frac{1}{5} x^{2}

pomiędzy

x = 2

x = 6

Używając notacji całki oznaczonej, możemy wyrazić dokładne pole:

\int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x

Możemy przybliżyć to pole używając sum Riemanna. Niech

R (n)

będzie prawostronną sumą Riemanna przybliżającą nasz obszar za pomocą

n

prostokątów o równych szerokościach.

Na przykład, na rysunku przedstawiono

R (4)

. Można zauważyć, że jest to przeszacowanie rzeczywistej powierzchni.

Możemy poprawić nasze przybliżenie dzieląc obszar na większą liczbę prostokątów o mniejszej szerokości, to znaczy używając

R (n)

dla większych wartości

n

Można zauważyć, jak niedokładność przybliżenia zmniejsza się wraz ze wzrostem liczby prostokątów od

1

100

Oczywiście wraz z dalszym wzrostem liczby prostokątów jeszcze bardziej zbliżymy się do rzeczywistej powierzchni, ale przybliżenie zawsze pozostanie tylko przybliżeniem.

A gdybyśmy mogli użyć sumy Riemanna z nieskończonym podziałem odcinka na równe przedziały? Czy byłoby to możliwe? Cóż, nie możemy przyjąć wartości

n = \infty

, ponieważ nieskończoność nie jest liczbą, ale moglibyśmy przypomnieć sobie sposób na przeniesienie czegoś do nieskończoności...

Granice!

A dokładnie, poniższa granica:

lim_{n \to \infty} R (n)

Niesamowity fakt #1: Ta granica naprawdę daje nam dokładną wartość

\int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x

Niesamowity fakt #2: Nie ma znaczenia, czy użyjemy prawostronnej sumy Riemanna, lewostronnej sumy Riemanna czy jakiegokowiek innego prostego przybliżenia. W nieskończoności zawsze otrzymamy dokładną wartość całki oznaczonej.

(Ścisły dowód tych faktów jest zbyt skomplikowany, żeby przedstawić go w tym artykule, ale nie stanowi to problemu - interesuje nas jedynie intuicja dotycząca związku pomiędzy sumami Riemanna a całkami oznaczonymi.)

Do tej pory używaliśmy

R (n)

jako symbolu zastępczego dla prawostronnej sumy Riemanna z

n

przedziałami. Teraz zajmijmy się znalezieniem odpowiedniego wyrażenia.

Szybkie przypomnienie: Szukamy

Δ x

, stałej

szerokości

każdego prostokąta i

x_{i}

, wartości

x

w prawym rogu

i -tego

prostokąta. Wówczas

f (x_{i})

da nam

wysokość

każdego prostokąta.

\begin{aligned} Δ x & = \frac{6 - 2}{n} = \frac{4}{n} \\ x_{i} & = 2 + Δ x \cdot i = 2 + \frac{4}{n} i \\ f (x_{i}) & = \frac{1}{5} (x_{i})^{2} = \frac{1}{5} {(2 + \frac{4}{n} i)}^{2} \end{aligned}

Zatem pole

i -tego

prostokąta to

\frac{4}{n} \cdot \frac{1}{5} {(2 + \frac{4}{n} i)}^{2}

, i sumujemy to dla wartości

i

1

n

R (n) = \sum_{i = 1}^{n} {(2 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{5 n}

Teraz możemy przedstawić rzeczywiste pole jako granicę:

\begin{aligned} \int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x \\ = lim_{n \to \infty} R (n) \\ = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {(2 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{5 n} \end{aligned}

Z definicji, całka oznaczona to granica sumy Riemanna

Powyższy przykład to szczególny przypadek ogólnej definicji całki oznaczonej:

Całka oznaczona funkcji ciągłej

f

na przedziale

[a, b]

, oznaczana jako

\int_{a}^{b} f (x) d x

, to granica sumy Riemanna przy liczbie przedziałów dążącej do nieskończoności. To jest,

\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} Δ x \cdot f (x_{i})

gdzie

Δ x = \frac{b - a}{n}

x_{i} = a + Δ x \cdot i

Jeśli jesteśmy pytani o zapisanie sumy Riemanna z całki oznaczonej...

Wyobraźmy sobie, że zostaliśmy poproszeni o zapisanie poniższej całki oznaczonej jako granicy sumy Riemanna.

\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x

Najpierw znajdź

Δ x

\begin{aligned} Δ x & = \frac{b - a}{n} \\ = \frac{2 π - π}{n} \\ = \frac{π}{n} \end{aligned}

Teraz, kiedy znamy już

Δ x

, możemy znaleźć

x_{i}

\begin{aligned} x_{i} & = a + Δ x \cdot i \\ = π + \frac{π}{n} \cdot i \\ = π + \frac{π i}{n} \end{aligned}

Zatem,

\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{π}{n} \cdot \cos (π + \frac{π i}{n})

Poćwicz zapisywanie sum Riemanna z całek oznaczonych

zadanie 1

\int_{0}^{3} e^{x} d x = ?

Zadanie 2

\int_{1}^{e} \ln x d x = ?

Często popełniany błąd: niepoprawne wyznaczenie $Δ x$ ‍

Na przykład, w Zadaniu 2 student mógłby zdefiniować

Δ x

jako

\frac{e}{n}

albo

\frac{1}{n}

zamiast

\frac{e - 1}{n}

. Innym przykładem typowego błędu może być użycie

d x

jako

Δ x

. Pamiętaj, że

d x

jest używane tylko w notacji całkowej, nie przy sumowaniu. Informuje nas, że całkowanie odbywa się względem

x

Inny często popełniany błąd: niepoprawne wyznaczenie $x_{i}$ ‍

Student mógłby zapomnieć o dodaniu

a

Δ x \cdot i

, czego rezultatem byłoby błędne wyrażenie. Na przykład, w Zadaniu 2 student mógłby zdefiniować

x_{i}

jako

\frac{e - 1}{n} \cdot i

zamiast

1 + \frac{e - 1}{n} \cdot i

Jeśli jesteśmy pytani o zapisanie całki oznaczonej na podstawie granicy sumy Riemanna...

Wyobraźmy sobie, że poproszono nas o znalezienie całki oznaczonej, która jest równoważna poniższej granicy:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \ln (2 + \frac{5 i}{n}) \cdot \frac{5}{n}

To znaczy, że musimy znaleźć przedział całkowania

[a, b]

oraz funkcję podcałkową

f (x)

. Wówczas odpowiednia całka to

\int_{a}^{b} f (x) d x

Wiemy, że każda suma Riemanna składa się z dwóch części: szerokości

Δ x

i wysokości

f (x_{i})

każdego prostokąta sumy. Patrząc na konkretną granicę, możemy dokonać rozsądnych wyborów dla obu części.

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \ln (2 + \frac{5 i}{n}) \cdot \frac{5}{n}

Prostokąty o jednakowej szerokości: Wyrażenie

\frac{5}{n}

dobrze reprezentuje szerokość naszych prostokątów,

Δ x

, ponieważ nie zależy od indeksu

i

. Oznacza to, że

Δ x

będzie takie samo dla każdego składnika sumy, a właśnie tego oczekujemy od sumy Riemanna, w której każdy prostokąt na mieć taką samą szerokość.

Prostokąty o różnych wysokościach: Wyrażenie

\ln (2 + \frac{5 i}{n})

zależy od

i

, co sprawia, że dobrze reprezentuje wysokość,

f (x_{i})

. Najbardziej naturalnym wyborem

x_{i}

jest

2 + \frac{5 i}{n}

, więc zostaniemy przy nim, co oznacza że całkowana przez nas funkcja to

f (x) = \ln (x)

Aby znaleźć krańce przedziału całkowania,

a

b

, pomyślmy o ogólnych definicjach

Δ x

x_{i}

w odniesieniu do całek oznaczonych.

Jak zdefiniowano powyżej,

x_{i} = a + Δ x \cdot i

. W tym szczególnym przypadku,

x_{i} = 2 + \frac{5 i}{n}

, co można zapisać jako

2 + \frac{5}{n} i

, więc

a

musi być równe

2

Zgodnie z powyższą definicją,

Δ x = \frac{b - a}{n}

. W tym szczególnym przypadku,

Δ x = \frac{5}{n}

. Oba mianowniki są równe

n

, więc liczniki też muszą być sobie równe:

b - a = 5

. Wiemy już, że

a = 2

, więc możemy wywnioskować, że

b = 7

Po połączeniu wszystkich informacji, całka oznaczona która jest równa granicy tej sumy Riemanna ma postać:

\int_{2}^{7} \ln (x) d x

Poćwicz zapisywanie całek oznaczonych na podstawie sum Riemanna

Zadanie 3.A

Zadanie 3 przeprowadzi Cię przez poszczególne etapy znalezienia całki oznaczonej reprezentowanej przez wyrażenie:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {(3 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{n}

Czym jest $Δ x$ ‍ w tym wyrażeniu?

Typowy problem: trudności w znalezieniu $Δ x$ ‍ w wyrażeniu na sumę Riemanna

Kiedy sumowane wyrażenie jest rozbudowane i zawiera wiele ułamków, znalezienie w nim

Δ x

może być trudne.

Pamiętaj, że $Δ x$ ‍ musi być czynnikiem sumowanego wyrażenia w postaci $\frac{k}{n}$ ‍, gdzie $k$ ‍ nie zawiera indeksu sumowania $i$ ‍

Inny typowy problem: trudności w znalezieniu granic sumowania

Zwróć uwagę, że w Zadaniu 3 fakt, że

Δ x = \frac{4}{n}

powiedział nam, że

b - a = 4

. To przydatna informacja, ale bez wyznaczenia

a

nie dowiemy się, jakie są

a

b

. Byliśmy w stanie znaleźć

a

korzystając z faktu, że

x_{i} = 3 + \frac{4 i}{n}

Częto popełnianym błędem jest natychmiastowe założenie, że jeśli np. $Δ x = \frac{4}{n}$ ‍, to przedziałem całkowania jest $[0, 4]$ ‍.

Ostatni typowy problem: Ogólne trudności w analizie wyrażenia

Niektórzy studenci po prostu nie wiedzą, gdzie zacząć.

Zacznijmy od sumowanego wyrażenia. Powinieneś być w stanie zidentyfikować dwa czynniki: jeden w postaci $\frac{k}{n}$ ‍ (gdzie $k$ ‍ nie zawiera indeksu sumowania $i$ ‍) i drugi, który jest funkcją $i$ ‍. Pierwszy czynnik daje Ci $Δ x$ ‍, a drugi $f (x_{i})$ ‍.

Zadanie 4

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{4 + \frac{5 i}{n}} \cdot \frac{5}{n} = ?

Potrzebujesz więcej praktyki? Wypróbuj to ćwiczenie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 6

Sumy Riemanna z "nieskończoną" liczbą prostokątów

Z definicji, całka oznaczona to granica sumy Riemanna

Jeśli jesteśmy pytani o zapisanie sumy Riemanna z całki oznaczonej...

Poćwicz zapisywanie sum Riemanna z całek oznaczonych

Często popełniany błąd: niepoprawne wyznaczenie Δx‍

Inny często popełniany błąd: niepoprawne wyznaczenie xi‍

Jeśli jesteśmy pytani o zapisanie całki oznaczonej na podstawie granicy sumy Riemanna...

Poćwicz zapisywanie całek oznaczonych na podstawie sum Riemanna

Typowy problem: trudności w znalezieniu Δx‍ w wyrażeniu na sumę Riemanna

Inny typowy problem: trudności w znalezieniu granic sumowania

Ostatni typowy problem: Ogólne trudności w analizie wyrażenia

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Często popełniany błąd: niepoprawne wyznaczenie $Δ x$ ‍

Inny często popełniany błąd: niepoprawne wyznaczenie $x_{i}$ ‍

Typowy problem: trudności w znalezieniu $Δ x$ ‍ w wyrażeniu na sumę Riemanna