Podsumowanie wiadomości na temat twierdzenia Darboux

Twierdzenie Darboux opisuje fundamentalną własność funkcji ciągłych: każda funkcja $f$f ciągła w przedziale domkniętym $[a,b]$open bracket, a, comma, b, close bracket, przyjmuje w tym przedziale wszystkie wartości pomiędzy $f(a)$f, left parenthesis, a, right parenthesis i $f(b)$f, left parenthesis, b, right parenthesis.

Bardziej formalnie, każda funkcja ciągła f: [a,b] o wartościach rzeczywistych ma własność Darboux, tzn. jeśli f(a) ≠ f(b) oraz d spełnia jedną z nierówności f(a) < d < f(b) lub f(a) > d > f(b), to istnieje taki punkt c w przedziale [a, b], dla którego $f(c) = d$f, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, d.

Możesz sobie łatwo uświadomić dlaczego to twierdzenie jest prawdziwe jeśli przypomnisz sobie, że wykres funkcji ciągłej można narysować nie odrywając ołówka od papieru. Jeśli wiemy, że wykres zaczyna się w punkcie $(a,f(a))$left parenthesis, a, comma, f, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis, a kończy w $(b,f(b))$left parenthesis, b, comma, f, left parenthesis, b, right parenthesis, right parenthesis...

...musi przechodzić przez wszystkie wartości $y$y pomiędzy $f(a)$f, left parenthesis, a, right parenthesis i $f(b)$f, left parenthesis, b, right parenthesis.

Rozważ ciągłą funkcję $f$f z następującą tabelę wartości. Sprawdźmy, gdzie może znajdować się rozwiązanie równania $f(x)=2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2.

Zauważ, ze $f(-1)=3$f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 3 i $f(0)=-1$f, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, minus, 1. Funkcja musi przyjąć każdą wartość między $-1$minus, 1 a $3$3 w przedziale $[-1,0]$open bracket, minus, 1, comma, 0, close bracket.

$2$2 leży pomiędzy $-1$minus, 1 i $3$3, więc musi istnieć wartość $c$c w przedziale $[-1,0]$open bracket, minus, 1, comma, 0, close bracket, dla której $f(c)=2$f, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 2.