Wprowadzenie do pojęcia granicy

Aby lepiej zrozumieć, czym są granice, rozważmy najpierw pewien przykład. Na początku przyjrzyjmy się funkcji $f(x)=x+2$‍.

Granica $f$‍ w punkcie $x=3$‍ to wartość, do której zbliża się $f$‍ wraz z przybliżaniem się do $x=3$‍. Graficznie jest to wartość $y$‍, do której się zbliżamy przyglądając się $f$‍ i podchodząc coraz bardziej do punktu na wykresie, dla którego $x=3$‍.

Na przykład, gdy startujemy z punktu $(1,3)$‍ i przemieszczamy się na wykresie, aż dotrzemy bardzo blisko $x=3$‍, wówczas wartość $y$‍ (tj. wartość funkcji) staje się bardzo bliska $5$‍.

Podobnie gdy zaczynamy w punkcie $(5,7)$‍ i poruszamy się w lewo, aż dotrzemy naprawdę blisko $x=3$‍, wartość $y$‍ znowu będzie niezwykle zbliżona do $5$‍.

Z tego powodu mówimy, że granica $f$‍ w punkcie $x=3$‍ wynosi $5$‍.

Ktoś mógłby się zapytać, jaka jest różnica między granicą $f$‍ w punkcie $x=3$‍ i wartością $f$‍ w punkcie $x=3$‍, tj. $f(3)$‍.

Owszem, granica $f(x)=x+2$‍ w punkcie $x=3$‍ wynosi $f(3)$‍, ale nie zawsze tak będzie. Aby to zrozumieć, przyjrzyjmy się funkcji $g$‍. Jest to niemalże ta sama funkcja co $f$‍, różni się ona jednak tym, że jest nieokreślona w punkcie $x=3$‍.

Podobnie jak dla $f$‍, granica $g$‍ w punkcie $x=3$‍ wynosi $5$‍. Jest tak dlatego, że nadal możemy podchodzić bardzo blisko $x=3$‍, a wartości funkcji będą zbliżać się bardzo blisko $5$‍.

Tak więc granica $g$‍ w punkcie $x=3$‍ wynosi $5$‍, ale wartość $g$‍ w punkcie $x=3$‍ jest nieokreślona. Nie są więc one tym samym!

Na tym właśnie polega cały urok granic: nie zależą one od samej rzeczywistej wartości funkcji w punkcie, w którym wyznaczamy granicę. Opisują one, jak funkcja zachowuje się zbliżając się do granicy.

Dysponujemy też specjalnym oznaczeniem, które pozwala nam mówić o granicach. A oto jak zapiszemy granicę, do której zbiega $f$‍, gdy $x$‍ zbliża się do $3$‍:

Symbol ${\displaystyle lim}$‍ oznacza, że bierzemy granicę czegoś.

To, co znajduje się po prawej stronie ${\displaystyle lim}$‍ to wyrażenie, którego granicę bierzemy. W naszym wypadku jest to funkcja $f$‍.

Wyrażenie $x\to 3$‍ umieszczane pod ${\displaystyle lim}$‍ oznacza, że bierzemy granicę $f$‍ przy $x$‍ dążącym do $3$‍.

Co należy rozumieć przez "nieskończenie blisko"? Przyjrzyjmy się temu, jak zmieniają się wartości funkcji $f(x)=x+2$‍, gdy argument $x$‍ dąży do $3$‍ (nie zapominaj, że przy badaniu granicy funkcji nie obchodzi nas sama wartość $f(3)$‍).

Widzimy więc, że, gdy argument $x$‍ jest mniejszy niż $3$‍, ale zbliża się coraz bardziej do tej wartości, wartości funkcji $f$‍ stają się coraz bardziej bliskie $5$‍.

Możemy się również przekonać, że, gdy argument $x$‍ jest większy niż $3$‍, ale zbliża się coraz bardziej do tej wartości, wartości funkcji $f$‍ stają się coraz bardziej bliskie $5$‍.

Zwróćmy uwagę na to, że spośród rozpatrywanych tu punktów, wartość funkcji jest najbliższa $5$‍ dla $f(\mathrm{2,999})=\mathrm{4,999}$‍ oraz $f(\mathrm{3,001})=\mathrm{5,001}$‍ i różni się od tej granicy o $\mathrm{0,001}$‍.

Jeśli chcemy, możemy podejść jeszcze bliżej. Przyjmijmy na przykład, że chcemy osiągnąć wartość oddaloną od $5$‍ o $\mathrm{0,000}01$‍. Możemy wówczas wybrać argument $x=\mathrm{3,000}01$‍, dla którego otrzymamy $f(\mathrm{3,000}01)=\mathrm{5,000}01$‍.

Możemy tak kontynuować w nieskończoność. Zawsze da się jeszcze bardziej zbliżyć do wartości $5$‍. Właśnie to mieliśmy na myśli mówiąc "nieskończenie blisko". Ponieważ tego "nieskończenie blisko" nie da się zrealizować w praktyce, ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)=5}$‍ oznacza w istocie tyle, że niezależnie od tego, jak blisko chcemy podejść do wartości $5$‍, zawsze znajdzie się taki argument $x$‍ bliski $3$‍, dla którego da się to osiągnąć.

Jeśli nadal trudno ci to zrozumieć, pomocna może być następująca uwaga. Skąd wiemy, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych? Nie jest przecież tak, że policzyliśmy je wszystkie i doszliśmy w ten sposób do nieskończoności. Mówimy, że jest ich nieskończenie wiele, ponieważ dla każdej liczby naturalnej istnieje inna liczba naturalna, która jest jeszcze większa niż ona. Zawsze znajdziemy jeszcze jedną, i jeszcze jedną...

W wypadku granicy chcemy osiągnąć nie to, co nieskończenie duże, a nieskończenie bliskie. Gdy stwierdzamy ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)=5}$‍, mamy na myśli, że zawsze można podejść jeszcze bliżej $5$‍.

Zbadajmy granicę ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}{x}^2}$‍, czyli granicę funkcji $x^2$‍ dla $x$‍ dążącego do $2$‍.

Możemy się teraz przekonać, że gdy zbiegamy na wykresie do punktu o odciętej $x=2$‍, wartości $y$‍ zbliżają się coraz bardziej do $4$‍.

Możemy też przyjrzeć się tabelkom z wartościami funkcji:

Możemy też się przekonać, w jaki sposób da się zbliżyć dowolnie blisko wartości $4$‍. Przypuśćmy, że chcemy osiągnąć $4$‍ z dokładnością $\mathrm{0,001}$‍. Jaką wartość argumentu $x$‍ bliską $2$‍ należy wówczas obrać?

Spróbujmy najpierw z $x=\mathrm{2,001}$‍:

Jesteśmy jednak dalej od wartości $4$‍ niż $\mathrm{0,001}$‍. Nic nie szkodzi, przyjmijmy teraz $x=\mathrm{2,000}1$‍:

Ta wartość jest już dostatecznie bliska! Wypróbowując argumenty $x$‍ coraz bliższe $x=2$‍ możemy podejść jeszcze bliżej wartości $4$‍.

Jako wniosek otrzymujemy więc ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}{x}^2=4}$‍.

Wróćmy do funkcji $f(x)=x+2$‍ oraz ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)}$‍. Możemy się przekonać na własne oczy, że wartości funkcji zbiegają do $5$‍ zarówno wtedy, gdy argumenty $x$‍ rosną do $3$‍ (powiemy wtedy, że $f$‍ zbiega z lewej strony / ma granicę lewostronną), jak i wówczas gdy maleją one do $3$‍ ($f$‍ zbiega z prawej strony / ma granicę prawostronną).

A teraz rozważmy na przykład funkcję $h$‍. To, do jakiej wartości $y$‍ zbiega funkcja, zależy od tego, czy zbiegamy z argumentem $x$‍ do $x=3$‍ z lewej czy też z prawej strony.

Gdy zbiegamy do $x=3$‍ z lewej strony, funkcja ta zbiega do $4$‍. Gdy zaś zbiegamy do $x=3$‍ z prawej strony, zbiega ona do $6$‍.

Gdy granice jednostronne nie są sobie równe, mówimy, że granica nie istnieje.