If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Szacowanie wartości granic na podstawie wykresów

Najprostszym sposobem zdobycia intuicji na temat granic jest analizowanie wykresów funkcji. W ten sposób można na przykład wywnioskować istnienie granicy. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Istnieje istotna różnica pomiędzy wartością, do której zmierza funkcja, gdy jej argument zbliża się do pewnej wartości—czymś, co nazywamy granicą funkcji w tym punkcie—a wartością, jaką funkcja ma w tym punkcie. Najprościej chyba zobaczyć to na wykresach.
Ilustracja graficzna przygotowana za pomocą programu desmos.com pokazuje granicę limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction
Zauważ, że im bardziej zbliżamy się do punktu x, equals, 2 z lewej i z prawej strony, tym bardziej wartość funkcji zbliża się do y, equals, 0, comma, 25.
W tym przykładzie funkcja nie jest określona w punkcie x, equals, 2, ale granice z lewej i prawej strony dążą, o ile można wnioskować z wykresu, do 0, comma, 25.
Warto pamiętać o tym, że wartości funkcji można odczytać z wykresu tylko z pewną dokładnością. Jeśli interesowałaby nas większa dokładność, możemy zawsze powiększyć okolice punktu x, equals, 2 na wykresie, spojrzeć na niego przez szkło powiększające.

Przykłady

Poniżej zgromadziliśmy kilka przykładów ilustrujących, w jaki sposób można odczytać wartość granicy funkcji z wykresu. Zauważ że w niektórych przykładach wartość granicy funkcji w punkcie równa się wartości funkcji w tym punkcie, a w innych nie.

Bywa i tak, że granica funkcji w punkcie równa się wartości funkcji w tym punkcie.

zadanie 1
Wskaż sensowne oszacowanie granicy limit, start subscript, x, \to, 1, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Czasem jednak granica funkcji w punkcie nie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Jeśli masz do czynienia z funkcjami zdefiniowanymi przedziałowo, rozpoznajesz zapewne wykresy funkcji podobne poniższego wykresu.
Zadanie 2
Wskaż sensowne oszacowanie granicy limit, start subscript, x, \to, 1, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Do zrozumienia i zapamiętania: Może tak być że granica funkcji w punkcie i wartość funkcji w tym punkcie nie są równe.

W dodatku, jeśli funkcja nie jest określona w jakimś punkcie x, to wcale nie znaczy że nie ma w tym punkcie granicy.

Otwarte kółka najłatwiej spotkać na wykresach funkcji wymiernych, które nie są określone w punktach, w których ich mianowniki równają się zero. Oto klasyczny przykład:
Na rysunku zaznaczono wykres funkcji y = x / sin(x). Otwarte, puste kółko w x = 0 oznacza, że funkcja nie jest określona w tym punkcie.
W tym konkretnym przykładzie, granica funkcji wydaje się być równa 1, gdy to właśnie do tej wartości zdają się dążyć wartości funkcji gdy wartości argumentu x stają się coraz bliższe 0. Nie ma znaczenia, że funkcja nie jest określona w punkcie x, equals, 0. Granica funkcji w tym punkcie istnieje.
A teraz kolejne zadanie, tym razem do spróbowania dla Ciebie:
Zadanie 3
Wskaż sensowne oszacowanie granicy limit, start subscript, x, \to, minus, 4, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Jeszcze raz przypominamy: Wartość funkcji w punkcie x, equals, minus, 4 nie ma znaczenia, jeśli chodzi o granicę funkcji w tym punkcie. Liczy się tylko wartość, do której dążą wartości y, gdy wartości x stają się coraz bliższe x, equals, minus, 4.

W przeciwną stronę, z tego, że funkcja jest określona dla pewnej wartości x wcale nie wynika, że istnieje granica funkcji w tym punkcie.

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, ten wykres ilustruje typową sytuację, z którą możesz się zetknąć mając do czynienia z funkcją określoną przedziałowo. Zwróć uwagę, że zbliżając się z obu stron do x, equals, 3 nie zbliżamy się do tej samej wartości y.
Zadanie 4
Wskaż sensowne oszacowanie granicy limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz rozwiązać więcej takich zadań? Spróbuj rozwiązać to ćwiczenie.

W dzisiejszych czasach programy graficzne, dostępne on-line, są naprawdę sprytne.

Program graficzny, taki jak Desmos może pomóc Ci zrozumieć, co dzieje się z wartościami y gdy coraz bardziej zbliżasz się z x do pewnej ustalonej wartości. Spróbuj posłużyć się programem graficznym aby oszacować następujące granice:
limx0xsin(x)limx3x3x29\begin{aligned} &\displaystyle{\lim_{x \to 0}{\dfrac{x}{\sin(x)}}} \\\\ &\displaystyle{\lim_{x \to 3}{\dfrac{x-3}{x^2-9}}} \end{aligned}
W obu tych przypadkach, funkcja nie jest określona dla x, w którym chcemy obliczyć granicę, ale granica istnieje i można ją oszacować.

Pytania podsumowujące

Zadanie 5
Czy zawsze limit, start subscript, x, \to, a, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, a, right parenthesis?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 6
Które z poniższych zdań lepiej wyjaśnia, dlaczego wykresy funkcji są tak przydatne gdy chcemy określić granicę funkcji w pewnym punkcie?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują: