Główna zawartość
Analiza matematyczna - program rozszerzony I
Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 1
Lekcja 3: Szacowanie wartości granic na podstawie wykresów- Szacowanie wartości granic na podstawie wykresów
- Szacowanie wartości granic na podstawie wykresów
- Jednostronne granice z wykresów
- Jednostronne granice z wykresów: asymptota
- Jednostronne granice z wykresów
- Odczytywanie granicy funkcji z jej wykresu
- Odczytywanie granicy funkcji z jej wykresu
© 2023 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie
Szacowanie wartości granic na podstawie wykresów
Najprostszym sposobem zdobycia intuicji na temat granic jest analizowanie wykresów funkcji. W ten sposób można na przykład wywnioskować istnienie granicy. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Istnieje istotna różnica pomiędzy wartością, do której zmierza funkcja, gdy jej argument zbliża się do pewnej wartości—czymś, co nazywamy granicą funkcji w tym punkcie—a wartością, jaką funkcja ma w tym punkcie. Najprościej chyba zobaczyć to na wykresach.
W tym przykładzie funkcja nie jest określona w punkcie , ale granice z lewej i prawej strony dążą, o ile można wnioskować z wykresu, do .
Warto pamiętać o tym, że wartości funkcji można odczytać z wykresu tylko z pewną dokładnością. Jeśli interesowałaby nas większa dokładność, możemy zawsze powiększyć okolice punktu na wykresie, spojrzeć na niego przez szkło powiększające.
Przykłady
Poniżej zgromadziliśmy kilka przykładów ilustrujących, w jaki sposób można odczytać wartość granicy funkcji z wykresu. Zauważ że w niektórych przykładach wartość granicy funkcji w punkcie równa się wartości funkcji w tym punkcie, a w innych nie.
Bywa i tak, że granica funkcji w punkcie równa się wartości funkcji w tym punkcie.
Czasem jednak granica funkcji w punkcie nie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.
Jeśli masz do czynienia z funkcjami zdefiniowanymi przedziałowo, rozpoznajesz zapewne wykresy funkcji podobne poniższego wykresu.
Do zrozumienia i zapamiętania: Może tak być że granica funkcji w punkcie i wartość funkcji w tym punkcie nie są równe.
W dodatku, jeśli funkcja nie jest określona w jakimś punkcie , to wcale nie znaczy że nie ma w tym punkcie granicy.
Otwarte kółka najłatwiej spotkać na wykresach funkcji wymiernych, które nie są określone w punktach, w których ich mianowniki równają się zero. Oto klasyczny przykład:
W tym konkretnym przykładzie, granica funkcji wydaje się być równa , gdy to właśnie do tej wartości zdają się dążyć wartości funkcji gdy wartości argumentu stają się coraz bliższe . Nie ma znaczenia, że funkcja nie jest określona w punkcie . Granica funkcji w tym punkcie istnieje.
A teraz kolejne zadanie, tym razem do spróbowania dla Ciebie:
Jeszcze raz przypominamy: Wartość funkcji w punkcie nie ma znaczenia, jeśli chodzi o granicę funkcji w tym punkcie. Liczy się tylko wartość, do której dążą wartości , gdy wartości stają się coraz bliższe .
W przeciwną stronę, z tego, że funkcja jest określona dla pewnej wartości wcale nie wynika, że istnieje granica funkcji w tym punkcie.
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, ten wykres ilustruje typową sytuację, z którą możesz się zetknąć mając do czynienia z funkcją określoną przedziałowo. Zwróć uwagę, że zbliżając się z obu stron do nie zbliżamy się do tej samej wartości .
Chcesz rozwiązać więcej takich zadań? Spróbuj rozwiązać to ćwiczenie.
W dzisiejszych czasach programy graficzne, dostępne on-line, są naprawdę sprytne.
Program graficzny, taki jak Desmos może pomóc Ci zrozumieć, co dzieje się z wartościami gdy coraz bardziej zbliżasz się z do pewnej ustalonej wartości. Spróbuj posłużyć się programem graficznym aby oszacować następujące granice:
W obu tych przypadkach, funkcja nie jest określona dla , w którym chcemy obliczyć granicę, ale granica istnieje i można ją oszacować.
Pytania podsumowujące
Chcesz dołączyć do dyskusji?
Na razie brak głosów w dyskusji