If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Szacowanie wartości granic na podstawie wykresów

Najprostszym sposobem zdobycia intuicji na temat granic jest analizowanie wykresów funkcji. W ten sposób można na przykład wywnioskować istnienie granicy. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Istnieje istotna różnica pomiędzy wartością, do której zmierza funkcja, gdy jej argument zbliża się do pewnej wartości—czymś, co nazywamy granicą funkcji w tym punkcie—a wartością, jaką funkcja ma w tym punkcie. Najprościej chyba zobaczyć to na wykresach.
Ilustracja graficzna przygotowana za pomocą programu desmos.com pokazuje granicę limx2x2x24
Zauważ, że im bardziej zbliżamy się do punktu x=2 z lewej i z prawej strony, tym bardziej wartość funkcji zbliża się do y=0,25.
W tym przykładzie funkcja nie jest określona w punkcie x=2, ale granice z lewej i prawej strony dążą, o ile można wnioskować z wykresu, do 0,25.
Warto pamiętać o tym, że wartości funkcji można odczytać z wykresu tylko z pewną dokładnością. Jeśli interesowałaby nas większa dokładność, możemy zawsze powiększyć okolice punktu x=2 na wykresie, spojrzeć na niego przez szkło powiększające.

Przykłady

Poniżej zgromadziliśmy kilka przykładów ilustrujących, w jaki sposób można odczytać wartość granicy funkcji z wykresu. Zauważ że w niektórych przykładach wartość granicy funkcji w punkcie równa się wartości funkcji w tym punkcie, a w innych nie.

Bywa i tak, że granica funkcji w punkcie równa się wartości funkcji w tym punkcie.

zadanie 1
Wskaż sensowne oszacowanie granicy limx1g(x)
Wybierz 1 odpowiedź:

Czasem jednak granica funkcji w punkcie nie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Jeśli masz do czynienia z funkcjami zdefiniowanymi przedziałowo, rozpoznajesz zapewne wykresy funkcji podobne poniższego wykresu.
Zadanie 2
Wskaż sensowne oszacowanie granicy limx1g(x)
Wybierz 1 odpowiedź:

Do zrozumienia i zapamiętania: Może tak być że granica funkcji w punkcie i wartość funkcji w tym punkcie nie są równe.

W dodatku, jeśli funkcja nie jest określona w jakimś punkcie x, to wcale nie znaczy że nie ma w tym punkcie granicy.

Otwarte kółka najłatwiej spotkać na wykresach funkcji wymiernych, które nie są określone w punktach, w których ich mianowniki równają się zero. Oto klasyczny przykład:
Na rysunku zaznaczono wykres funkcji y = x / sin(x). Otwarte, puste kółko w x = 0 oznacza, że funkcja nie jest określona w tym punkcie.
W tym konkretnym przykładzie, granica funkcji wydaje się być równa 1, gdy to właśnie do tej wartości zdają się dążyć wartości funkcji gdy wartości argumentu x stają się coraz bliższe 0. Nie ma znaczenia, że funkcja nie jest określona w punkcie x=0. Granica funkcji w tym punkcie istnieje.
A teraz kolejne zadanie, tym razem do spróbowania dla Ciebie:
Zadanie 3
Wskaż sensowne oszacowanie granicy limx4f(x)
Wybierz 1 odpowiedź:

Jeszcze raz przypominamy: Wartość funkcji w punkcie x=4 nie ma znaczenia, jeśli chodzi o granicę funkcji w tym punkcie. Liczy się tylko wartość, do której dążą wartości y, gdy wartości x stają się coraz bliższe x=4.

W przeciwną stronę, z tego, że funkcja jest określona dla pewnej wartości x wcale nie wynika, że istnieje granica funkcji w tym punkcie.

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, ten wykres ilustruje typową sytuację, z którą możesz się zetknąć mając do czynienia z funkcją określoną przedziałowo. Zwróć uwagę, że zbliżając się z obu stron do x=3 nie zbliżamy się do tej samej wartości y.
Zadanie 4
Wskaż sensowne oszacowanie granicy limx3g(x)
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz rozwiązać więcej takich zadań? Spróbuj rozwiązać to ćwiczenie.

W dzisiejszych czasach programy graficzne, dostępne on-line, są naprawdę sprytne.

Program graficzny, taki jak Desmos może pomóc Ci zrozumieć, co dzieje się z wartościami y gdy coraz bardziej zbliżasz się z x do pewnej ustalonej wartości. Spróbuj posłużyć się programem graficznym aby oszacować następujące granice:
limx0xsin(x)limx3x3x29
W obu tych przypadkach, funkcja nie jest określona dla x, w którym chcemy obliczyć granicę, ale granica istnieje i można ją oszacować.

Pytania podsumowujące

Zadanie 5
Czy zawsze limxaf(x)=f(a)?
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 6
Które z poniższych zdań lepiej wyjaśnia, dlaczego wykresy funkcji są tak przydatne gdy chcemy określić granicę funkcji w pewnym punkcie?
Zaznacz wszystkie odpowiedzi, które pasują:

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.