Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 1

Lekcja 3: Szacowanie wartości granic na podstawie wykresów

Szacowanie wartości granic na podstawie wykresów

Najprostszym sposobem zdobycia intuicji na temat granic jest analizowanie wykresów funkcji. W ten sposób można na przykład wywnioskować istnienie granicy. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości.

Istnieje istotna różnica pomiędzy wartością, do której zmierza funkcja, gdy jej argument zbliża się do pewnej wartości—czymś, co nazywamy granicą funkcji w tym punkcie—a wartością, jaką funkcja ma w tym punkcie. Najprościej chyba zobaczyć to na wykresach.

W tym przykładzie funkcja nie jest określona w punkcie x, equals, 2, ale granice z lewej i prawej strony dążą, o ile można wnioskować z wykresu, do 0, comma, 25.

Warto pamiętać o tym, że wartości funkcji można odczytać z wykresu tylko z pewną dokładnością. Jeśli interesowałaby nas większa dokładność, możemy zawsze powiększyć okolice punktu x, equals, 2 na wykresie, spojrzeć na niego przez szkło powiększające.

Przykłady

Poniżej zgromadziliśmy kilka przykładów ilustrujących, w jaki sposób można odczytać wartość granicy funkcji z wykresu. Zauważ że w niektórych przykładach wartość granicy funkcji w punkcie równa się wartości funkcji w tym punkcie, a w innych nie.

Bywa i tak, że granica funkcji w punkcie równa się wartości funkcji w tym punkcie.

zadanie 1

Wskaż sensowne oszacowanie granicy limit, start subscript, x, \to, 1, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis

Czasem jednak granica funkcji w punkcie nie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Jeśli masz do czynienia z funkcjami zdefiniowanymi przedziałowo, rozpoznajesz zapewne wykresy funkcji podobne poniższego wykresu.

Zadanie 2

Wskaż sensowne oszacowanie granicy limit, start subscript, x, \to, 1, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis

[Co jednak należy rozumieć przez te kółka?]

Do zrozumienia i zapamiętania: Może tak być że granica funkcji w punkcie i wartość funkcji w tym punkcie nie są równe.

W dodatku, jeśli funkcja nie jest określona w jakimś punkcie x, to wcale nie znaczy że nie ma w tym punkcie granicy.

Otwarte kółka najłatwiej spotkać na wykresach funkcji wymiernych, które nie są określone w punktach, w których ich mianowniki równają się zero. Oto klasyczny przykład:

W tym konkretnym przykładzie, granica funkcji wydaje się być równa 1, gdy to właśnie do tej wartości zdają się dążyć wartości funkcji gdy wartości argumentu x stają się coraz bliższe 0. Nie ma znaczenia, że funkcja nie jest określona w punkcie x, equals, 0. Granica funkcji w tym punkcie istnieje.

A teraz kolejne zadanie, tym razem do spróbowania dla Ciebie:

Zadanie 3

Wskaż sensowne oszacowanie granicy limit, start subscript, x, \to, minus, 4, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis

Jeszcze raz przypominamy: Wartość funkcji w punkcie x, equals, minus, 4 nie ma znaczenia, jeśli chodzi o granicę funkcji w tym punkcie. Liczy się tylko wartość, do której dążą wartości y, gdy wartości x stają się coraz bliższe x, equals, minus, 4.

W przeciwną stronę, z tego, że funkcja jest określona dla pewnej wartości x wcale nie wynika, że istnieje granica funkcji w tym punkcie.

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, ten wykres ilustruje typową sytuację, z którą możesz się zetknąć mając do czynienia z funkcją określoną przedziałowo. Zwróć uwagę, że zbliżając się z obu stron do x, equals, 3 nie zbliżamy się do tej samej wartości y.

Zadanie 4

Wskaż sensowne oszacowanie granicy limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis

Chcesz rozwiązać więcej takich zadań? Spróbuj rozwiązać to ćwiczenie.

W dzisiejszych czasach programy graficzne, dostępne on-line, są naprawdę sprytne.

Program graficzny, taki jak Desmos może pomóc Ci zrozumieć, co dzieje się z wartościami y gdy coraz bardziej zbliżasz się z x do pewnej ustalonej wartości. Spróbuj posłużyć się programem graficznym aby oszacować następujące granice:

\begin{aligned} &\displaystyle{\lim_{x \to 0}{\dfrac{x}{\sin(x)}}} \\\\ &\displaystyle{\lim_{x \to 3}{\dfrac{x-3}{x^2-9}}} \end{aligned}

W obu tych przypadkach, funkcja nie jest określona dla x, w którym chcemy obliczyć granicę, ale granica istnieje i można ją oszacować.

Pytania podsumowujące

Zadanie 5

Czy zawsze limit, start subscript, x, \to, a, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, a, right parenthesis?

Zadanie 6

Które z poniższych zdań lepiej wyjaśnia, dlaczego wykresy funkcji są tak przydatne gdy chcemy określić granicę funkcji w pewnym punkcie?

(Choice A)
Wykres pomaga nam wyznaczyć przybliżoną wartość granicy poprzez oszacowanie y do którego zbliżają się wartości funkcji, w miarę gdy zbliżamy się do zadanej wartości x (z obu stron).
(Choice B)
Dzięki wykresowi funkcji możemy zawsze wyznaczyć dokładną wartość granicy funkcji w danym punkcie.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.