Szacowanie wartości granic na podstawie wykresów (artykuł)

Istnieje istotna różnica pomiędzy wartością, do której zmierza funkcja, gdy jej argument zbliża się do pewnej wartości—czymś, co nazywamy granicą funkcji w tym punkcie—a wartością, jaką funkcja ma w tym punkcie. Najprościej chyba zobaczyć to na wykresach.

W tym przykładzie funkcja nie jest określona w punkcie

x = 2

, ale granice z lewej i prawej strony dążą, o ile można wnioskować z wykresu, do

0, 25

Warto pamiętać o tym, że wartości funkcji można odczytać z wykresu tylko z pewną dokładnością. Jeśli interesowałaby nas większa dokładność, możemy zawsze powiększyć okolice punktu

x = 2

na wykresie, spojrzeć na niego przez szkło powiększające.

Przykłady

Poniżej zgromadziliśmy kilka przykładów ilustrujących, w jaki sposób można odczytać wartość granicy funkcji z wykresu. Zauważ że w niektórych przykładach wartość granicy funkcji w punkcie równa się wartości funkcji w tym punkcie, a w innych nie.

Bywa i tak, że granica funkcji w punkcie równa się wartości funkcji w tym punkcie.

zadanie 1

Wskaż sensowne oszacowanie granicy $lim_{x \to 1} g (x)$ ‍

Czasem jednak granica funkcji w punkcie nie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Jeśli masz do czynienia z funkcjami zdefiniowanymi przedziałowo, rozpoznajesz zapewne wykresy funkcji podobne poniższego wykresu.

Zadanie 2

Wskaż sensowne oszacowanie granicy $lim_{x \to 1} g (x)$ ‍

[Co jednak należy rozumieć przez te kółka?]

Do zrozumienia i zapamiętania: Może tak być że granica funkcji w punkcie i wartość funkcji w tym punkcie nie są równe.

W dodatku, jeśli funkcja nie jest określona w jakimś punkcie $x$ ‍, to wcale nie znaczy że nie ma w tym punkcie granicy.

Otwarte kółka najłatwiej spotkać na wykresach funkcji wymiernych, które nie są określone w punktach, w których ich mianowniki równają się zero. Oto klasyczny przykład:

W tym konkretnym przykładzie, granica funkcji wydaje się być równa

1

, gdy to właśnie do tej wartości zdają się dążyć wartości funkcji gdy wartości argumentu

x

stają się coraz bliższe

0

. Nie ma znaczenia, że funkcja nie jest określona w punkcie

x = 0

. Granica funkcji w tym punkcie istnieje.

A teraz kolejne zadanie, tym razem do spróbowania dla Ciebie:

Zadanie 3

Wskaż sensowne oszacowanie granicy $lim_{x \to - 4} f (x)$ ‍

Jeszcze raz przypominamy: Wartość funkcji w punkcie

x = - 4

nie ma znaczenia, jeśli chodzi o granicę funkcji w tym punkcie. Liczy się tylko wartość, do której dążą wartości

y

, gdy wartości

x

stają się coraz bliższe

x = - 4

W przeciwną stronę, z tego, że funkcja jest określona dla pewnej wartości $x$ ‍ wcale nie wynika, że istnieje granica funkcji w tym punkcie.

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, ten wykres ilustruje typową sytuację, z którą możesz się zetknąć mając do czynienia z funkcją określoną przedziałowo. Zwróć uwagę, że zbliżając się z obu stron do

x = 3

nie zbliżamy się do tej samej wartości

y

Zadanie 4

Wskaż sensowne oszacowanie granicy $lim_{x \to 3} g (x)$ ‍

Chcesz rozwiązać więcej takich zadań? Spróbuj rozwiązać to ćwiczenie.

W dzisiejszych czasach programy graficzne, dostępne on-line, są naprawdę sprytne.

Program graficzny, taki jak Desmos może pomóc Ci zrozumieć, co dzieje się z wartościami

y

gdy coraz bardziej zbliżasz się z

x

do pewnej ustalonej wartości. Spróbuj posłużyć się programem graficznym aby oszacować następujące granice:

\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \\ lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2} - 9} \end{aligned}

W obu tych przypadkach, funkcja nie jest określona dla

x

, w którym chcemy obliczyć granicę, ale granica istnieje i można ją oszacować.

Pytania podsumowujące

Zadanie 5

Czy zawsze $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ ‍?

Zadanie 6

Które z poniższych zdań lepiej wyjaśnia, dlaczego wykresy funkcji są tak przydatne gdy chcemy określić granicę funkcji w pewnym punkcie?

(Choice A)
Wykres pomaga nam wyznaczyć przybliżoną wartość granicy poprzez oszacowanie $y$ ‍ do którego zbliżają się wartości funkcji, w miarę gdy zbliżamy się do zadanej wartości $x$ ‍ (z obu stron).
(Choice B)
Dzięki wykresowi funkcji możemy zawsze wyznaczyć dokładną wartość granicy funkcji w danym punkcie.

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 1

Szacowanie wartości granic na podstawie wykresów

Przykłady

Bywa i tak, że granica funkcji w punkcie równa się wartości funkcji w tym punkcie.

Czasem jednak granica funkcji w punkcie nie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

W dodatku, jeśli funkcja nie jest określona w jakimś punkcie $x$ ‍, to wcale nie znaczy że nie ma w tym punkcie granicy.

W przeciwną stronę, z tego, że funkcja jest określona dla pewnej wartości $x$ ‍ wcale nie wynika, że istnieje granica funkcji w tym punkcie.

W dzisiejszych czasach programy graficzne, dostępne on-line, są naprawdę sprytne.

Pytania podsumowujące

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Analiza matematyczna - program rozszerzony I

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony I > Rozdział 1

Przykłady

Bywa i tak, że granica funkcji w punkcie równa się wartości funkcji w tym punkcie.

Czasem jednak granica funkcji w punkcie nie jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

W dodatku, jeśli funkcja nie jest określona w jakimś punkcie x‍ , to wcale nie znaczy że nie ma w tym punkcie granicy.

W przeciwną stronę, z tego, że funkcja jest określona dla pewnej wartości x‍ wcale nie wynika, że istnieje granica funkcji w tym punkcie.

W dzisiejszych czasach programy graficzne, dostępne on-line, są naprawdę sprytne.

Pytania podsumowujące

Chcesz dołączyć do dyskusji?

W dodatku, jeśli funkcja nie jest określona w jakimś punkcie $x$ ‍, to wcale nie znaczy że nie ma w tym punkcie granicy.

W przeciwną stronę, z tego, że funkcja jest określona dla pewnej wartości $x$ ‍ wcale nie wynika, że istnieje granica funkcji w tym punkcie.