Wykorzystanie tabeli wartości funkcji do oszacowania jej granicy w danym punkcie.

Granica funkcji jest narzędziem charakteryzującym zachowanie funkcji w otoczeniu danego punktu, a tabele wartości zawierają informacje, które pozwalają zbadać to zachowanie. Zdarza się także, choć nie jest to regułą, że dzięki informacjom zawartym w tabelach wartości możemy oszacować granice precyzyjniej niż polegając tylko na wykresie funkcji.

Jeśli chcemy posłużyć się tabelą wartości w celu oszacowania granicy, ważne jest by stworzyć ja w taki sposób, by rzeczywiście dawała wrażenie zbliżania się "nieskończenie blisko" do wartości $x$‍, w której granicę chcemy oszacować.

Załóżmy, że chcemy oszacować następującą granicę:

Zauważ, że funkcja nie jest określona w $x=2$‍ ze względu na zero w mianowniku w tym punkcie, ale granica dla $x$‍ dążącego do $2$‍ mimo to istnieje.

Krok 1: Wybieramy wartość odrobinę mniejszą od $x=2$‍ (czyli wartość leżącą "na lewo" od $2$‍ na standardowej osi $X$‍), powiedzmy zacznijmy od $x=1,9$‍.

Krok 2: Spróbuj kilka kolejnych wartości $x$‍ tak, by upozorować zbliżanie się nieskończenie blisko do $x=2$‍ z lewej strony.

Zauważ jak wybrane wartości $x$‍ $\{1,9,1,99,\mathrm{1,999}9\}$‍ rzeczywiście zbliżają się do $x=2$‍. Zwróć uwagę, że wybór wartości $x$‍ różniących się o stałą wartość, jak w przypadku $\{-1,0,1\}$‍, byłby znacznie gorszym pomysłem, bo w ten sposób nie zbliżalibyśmy się do $x=2$‍ na nieskończenie małą odległość.

Krok 3: Zbadajmy co się dzieje zbliżając się do $x=2$‍ z prawej strony, podobnie jak robiliśmy to z lewej strony. Pamiętaj, że powinniśmy robić to tak, aby upozorować zbliżanie się do $x=2$‍ na nieskończenie małą odległość.

(Uwaga: w tej tabeli usunęliśmy wpis dla $x=2$‍, po pierwsze aby zaoszczędzić miejsce, a po drugie dlatego, że nie ma on żadnego znaczenia dla naszego rozumowania na temat granicy funkcji w tym punkcie.)

Na podstawie tego, co widać w tabeli, możemy wyciągnąć ostrożny wniosek, że granica funkcji wynosi $0,25$‍. Ostrożny wniosek, ponieważ na podstawie tak skonstruowanej tabeli możemy jedynie oszacować granicę. Nie możemy powiedzieć, że udowodniliśmy, że granica wynosi dokładnie tyle.

Uważaj na poniżej opisane problemy gdy będziesz tworzyć swoją własną tabelę wartości, aby potem na jej podstawie oszacować granicę funkcji.

Zakładanie z góry, że wartość funkcji równa jest granicy funkcji w tym samym punkcie: w jednym z dyskutowanych powyżej przykładów mieliśmy do czynienia z sytuacją, w której funkcja nie była określona w punkcie, w którym liczyliśmy granicę, a mimo to granica istniała i mogliśmy ją oszacować. Nie spiesz się z wyciąganiem wniosków na temat wartości granicy na podstawie znajomości wartości funkcji.

Badanie wartości funkcji, ale nie dość blisko punktu, w którym chcemy obliczyć granicę: zbliżyć się nieskończenie blisko oznacza, że próbujemy obliczać wartości funkcji w tabeli tak blisko punktu $x$‍ w którym obliczamy granicę, aż uzyskamy poczucie pewności że nasze oszacowanie jest rzeczywiście bliskie poszukiwanej granicy.

Zbliżanie się do zadanej wartości tylko z jednej strony: Pamiętaj, aby w Twojej tabeli znalazły się wartości funkcji w punktach $x$‍ zbliżających się do punktu, w którym mamy oszacować wartość granicy zarówno z lewej jak i z prawej strony. Aby granica w punkcie istniała, granica lewostronna i prawostronna muszą być sobie równe. Nie spiesz się z konkluzją na temat granicy jeśli dysponujesz obliczeniami dla $x$‍ zbliżających się do danego punktu tylko z jednej strony.

Z lewej strony to nie znaczy "liczby ujemne": Czasem zdarza się, że uczniowie mylą zbliżanie się do danego punktu z lewej strony ze zbliżaniem się przez liczby ujemne. W jednym z powyższych przykładów zbliżyliśmy się do $x=2$‍ od lewej strony korzystając z wartości, które były tylko trochę mniejsze od $2$‍, to znaczy $1,9$‍ i $1,99$‍. Nie musisz korzystać z liczb ujemnych aby upozorować zbliżanie się do danej wartości $x$‍ od lewej strony.

Mylenie granicy z wartością funkcji: granica funkcji w danym punkcie nie musi być równa wartości funkcji w tym punkcie. Na przykład, w Zadaniu 2, $g(5)=6,37$‍, a ${\displaystyle \underset{x\to 5}{lim}g(x)}$‍ jest równa około $3,68$‍.

Granica funkcji nie musi być liczbą całkowitą: w niektórych zadaniach granice wychodzą "prosto" i mają wartości całkowite, albo są równe prostym ułamkom. Na przykład, w pierwszym przykładzie granica była równa $0,25$‍. Inne granice nie mają tak prostej postaci, na przykład granica w zadaniu 2, która wynosi około $3,68$‍.