If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Wykorzystanie tabeli wartości funkcji do oszacowania jej granicy w danym punkcie.

Tabele wartości funkcji mogą być przydatnym narzędziem do szacowania jej granicy, jednakże tylko pod warunkiem że dobrze rozumiemy, jak należy użyć takiej tabeli. Dowiedz się, jak tworzyć tabele wartości przydatne do szacowania granicy funkcji w danym punkcie i jak korzystać z tabeli wartości aby taką granicę oszacować. Tłumaczenie na język polski: fundacja Edukacja dla Przyszłości.
Granica funkcji jest narzędziem charakteryzującym zachowanie funkcji w otoczeniu danego punktu, a tabele wartości zawierają informacje, które pozwalają zbadać to zachowanie. Zdarza się także, choć nie jest to regułą, że dzięki informacjom zawartym w tabelach wartości możemy oszacować granice precyzyjniej niż polegając tylko na wykresie funkcji.
Jeśli chcemy posłużyć się tabelą wartości w celu oszacowania granicy, ważne jest by stworzyć ja w taki sposób, by rzeczywiście dawała wrażenie zbliżania się "nieskończenie blisko" do wartości x, w której granicę chcemy oszacować.

Przykład

Załóżmy, że chcemy oszacować następującą granicę:
limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction
Zauważ, że funkcja nie jest określona w x, equals, 2 ze względu na zero w mianowniku w tym punkcie, ale granica dla x dążącego do 2 mimo to istnieje.
Krok 1: Wybieramy wartość odrobinę mniejszą od x, equals, 2 (czyli wartość leżącą "na lewo" od 2 na standardowej osi X), powiedzmy zacznijmy od x, equals, 1, comma, 9.
x1, comma, 92
f, left parenthesis, x, right parenthesis0, comma, 2564nieokreślona
Krok 2: Spróbuj kilka kolejnych wartości x tak, by upozorować zbliżanie się nieskończenie blisko do x, equals, 2 z lewej strony.
x1, comma, 91, comma, 991, comma, 99992
f, left parenthesis, x, right parenthesis0, comma, 25640, comma, 25060, comma, 25001nieokreślona
Zauważ jak wybrane wartości x left brace, 1, comma, 9, comma, 1, comma, 99, comma, 1, comma, 9999, right brace rzeczywiście zbliżają się do x, equals, 2. Zwróć uwagę, że wybór wartości x różniących się o stałą wartość, jak w przypadku left brace, minus, 1, comma, 0, comma, 1, right brace, byłby znacznie gorszym pomysłem, bo w ten sposób nie zbliżalibyśmy się do x, equals, 2 na nieskończenie małą odległość.
Krok 3: Zbadajmy co się dzieje zbliżając się do x, equals, 2 z prawej strony, podobnie jak robiliśmy to z lewej strony. Pamiętaj, że powinniśmy robić to tak, aby upozorować zbliżanie się do x, equals, 2 na nieskończenie małą odległość.
x1, comma, 91, comma, 991, comma, 99992, comma, 00012, comma, 012, comma, 1
f, left parenthesis, x, right parenthesis0, comma, 25640, comma, 25060, comma, 250010, comma, 249990, comma, 24940, comma, 2439
(Uwaga: w tej tabeli usunęliśmy wpis dla x, equals, 2, po pierwsze aby zaoszczędzić miejsce, a po drugie dlatego, że nie ma on żadnego znaczenia dla naszego rozumowania na temat granicy funkcji w tym punkcie.)
Na podstawie tego, co widać w tabeli, możemy wyciągnąć ostrożny wniosek, że granica funkcji wynosi 0, comma, 25. Ostrożny wniosek, ponieważ na podstawie tak skonstruowanej tabeli możemy jedynie oszacować granicę. Nie możemy powiedzieć, że udowodniliśmy, że granica wynosi dokładnie tyle.
zadanie 1
Nauczyciel pokazał trojgu uczniów pewną funkcję f i poprosił, by oszacowali granicę limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis. Uczniowie posłużyli się tabelami wartości, przedstawionymi poniżej.
Tabele zostały obliczone prawidłowo, ale która z nich jest najbardziej przydatna, jeśli chodzi o oszacowanie tej granicy?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Często popełniane błędy przy generowaniu tabel wartości funkcji w celu szacowania granic

Uważaj na poniżej opisane problemy gdy będziesz tworzyć swoją własną tabelę wartości, aby potem na jej podstawie oszacować granicę funkcji.
Zakładanie z góry, że wartość funkcji równa jest granicy funkcji w tym samym punkcie: w jednym z dyskutowanych powyżej przykładów mieliśmy do czynienia z sytuacją, w której funkcja nie była określona w punkcie, w którym liczyliśmy granicę, a mimo to granica istniała i mogliśmy ją oszacować. Nie spiesz się z wyciąganiem wniosków na temat wartości granicy na podstawie znajomości wartości funkcji.
Badanie wartości funkcji, ale nie dość blisko punktu, w którym chcemy obliczyć granicę: zbliżyć się nieskończenie blisko oznacza, że próbujemy obliczać wartości funkcji w tabeli tak blisko punktu x w którym obliczamy granicę, aż uzyskamy poczucie pewności że nasze oszacowanie jest rzeczywiście bliskie poszukiwanej granicy.
Nie wybieraj kolejnych wartości x w tych samych odstępach, jak na przykład left brace, minus, 1, comma, 0, comma, 1, right brace, albo left brace, 1, comma, 91, comma, 1, comma, 92, comma, 1, comma, 93, right brace. W ten sposób nie zbliżysz się nieskończenie blisko punktu, którego dotyczy granica funkcji. Spośród punktów znajdujących się w równych odstępach od siebie będzie zawsze jeden, który leży najbliżej, a kolejne będą się znowu oddalać. Aby dobrze upozorować zbliżanie się nieskończenie blisko musimy w kolejnych krokach zmniejszać odległości pomiędzy wartościami x, tak jak tutaj left brace, 1, comma, 9, comma, 1, comma, 99, comma, 1, comma, 999, right brace. W ten sposób odleglość pomiędzy naszym kolejnym punktem, a punktem, w którym liczymy granicę, będzie coraz mniejsza i mniejsza.
Zbliżanie się do zadanej wartości tylko z jednej strony: Pamiętaj, aby w Twojej tabeli znalazły się wartości funkcji w punktach x zbliżających się do punktu, w którym mamy oszacować wartość granicy zarówno z lewej jak i z prawej strony. Aby granica w punkcie istniała, granica lewostronna i prawostronna muszą być sobie równe. Nie spiesz się z konkluzją na temat granicy jeśli dysponujesz obliczeniami dla x zbliżających się do danego punktu tylko z jednej strony.
Z lewej strony to nie znaczy "liczby ujemne": Czasem zdarza się, że uczniowie mylą zbliżanie się do danego punktu z lewej strony ze zbliżaniem się przez liczby ujemne. W jednym z powyższych przykładów zbliżyliśmy się do x, equals, 2 od lewej strony korzystając z wartości, które były tylko trochę mniejsze od 2, to znaczy 1, comma, 9 i 1, comma, 99. Nie musisz korzystać z liczb ujemnych aby upozorować zbliżanie się do danej wartości x od lewej strony.
Zadanie 2
Pewna funkcja g określona jest dla wszystkich argumentów rzeczywistych W poniższej tabeli zapisano niektóre wartości funkcji g.
xg, left parenthesis, x, right parenthesis
43, comma, 37
4, comma, 93, comma, 5
4, comma, 993, comma, 66
4, comma, 9993, comma, 68
56, comma, 37
5, comma, 0013, comma, 68
5, comma, 013, comma, 7
5, comma, 13, comma, 84
63, comma, 97
Wskaż sensowne oszacowanie granicy limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz rozwiązać więcej takich zadań? Spróbuj rozwiązać to ćwiczenie.

Często popełniane błędy przy ocenianiu granic na podstawie tabel wartości

Mylenie granicy z wartością funkcji: granica funkcji w danym punkcie nie musi być równa wartości funkcji w tym punkcie. Na przykład, w Zadaniu 2, g, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 6, comma, 37, a limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis jest równa około 3, comma, 68.
Granica funkcji nie musi być liczbą całkowitą: w niektórych zadaniach granice wychodzą "prosto" i mają wartości całkowite, albo są równe prostym ułamkom. Na przykład, w pierwszym przykładzie granica była równa 0, comma, 25. Inne granice nie mają tak prostej postaci, na przykład granica w zadaniu 2, która wynosi około 3, comma, 68.

Pytania podsumowujące

Zadanie 3
Marek wygenerował tabelę wartości funkcji g aby lepiej zrozumieć limit, start subscript, x, \to, 7, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis.
x66, comma, 996, comma, 999977, comma, 00017, comma, 018
g, left parenthesis, x, right parenthesisminus, 3, comma, 41minus, 1, comma, 94minus, 1, comma, 9252nieokreślonaminus, 1, comma, 9248minus, 1, comma, 910, comma, 46
Jakie wnioski możesz wyciągnąć na podstawie tej tabeli?
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź:

Zadanie 4
W poniższej tabeli zapisano kilka wybranych wartości funkcji f. Funkcja rośnie wszędzie poza x, equals, 5 i limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis istnieje.
x2345678
f, left parenthesis, x, right parenthesis3, comma, 74, comma, 34, comma, 94, comma, 85, comma, 66, comma, 26, comma, 9
Na podstawie powyższych informacji wskaż, która z podanych poniżej możliwości jest najlepszym oszacowaniem granicy limit, start subscript, x, \to, 5, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis
Wybierz 1 odpowiedź:
Wybierz 1 odpowiedź: