Główna zawartość

Analiza matematyczna - program rozszerzony II

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony II > Rozdział 5

Lekcja 5: Poszukiwanie ekstremów globalnych

Przypomnienie wiadomości o maksimach i minimach globalnych

Przypomnij sobie jak rachunek różniczkowy pozwala zidentyfikować punkty, w których funkcja ma absolutne ekstrema (minima lub maksima).

Znajdowanie minimów i maksimów globalnych za pomocą rachunku różniczkowego

Globalnym maksimum funkcji jest punkt, w którym funkcja ta przyjmuje swoją największą wartość. Podobnie, globalnym minimum funkcji jest punkt, w którym funkcja ta przyjmuje swoją najmniejszą wartość.

Zakładając, że wiesz już, jak znaleźć minima i maksima lokalne, do znalezienia ekstremum globalnego będziesz potrzebować jeszcze jednego kroku: przeanalizowania końców odcinka.

Chcesz dowiedzieć się więcej o globalnych ekstremach i rachunku różniczkowym? Obejrzyj ten film.

Jak znaleźć ekstremum globalne na zamkniętym przedziale?

Twierdzenie o wartościach ekstremalnych mówi nam, że funkcja na odcinku musi przyjąć swoje globalne maksimum i globalne minimum. Te wartości ekstremalne znajdują się w ekstremach lokalnych lub na końcach odcinka.

Znajdźmy dla przykładu ekstrema globalne funkcji

h (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x

na odcinku

- 3 \leq x \leq 3

h^{'} (x) = 6 (x + 2) (x - 1)

, więc naszymi punktami krytycznymi są

x = - 2

x = 1

. Dzielą one odcinek

- 3 \leq x \leq 3

na trzy części:

Przedział	wartość $x$ ‍	$h^{'} (x)$ ‍	Wynik
$- 3 < x < - 2$ ‍	$x = - \frac{5}{2}$ ‍	$h^{'} (- \frac{5}{2}) = \frac{21}{2} > 0$ ‍	$h$ ‍ jest rosnąca $↗$ ‍
$- 2 < x < 1$ ‍	$x = 0$ ‍	$h^{'} (0) = - 12 < 0$ ‍	$h$ ‍ jest malejąca $↘$ ‍
$1 < x < 3$ ‍	$x = 2$ ‍	$h^{'} (2) = 24 > 0$ ‍	$h$ ‍ jest rosnąca $↗$ ‍

Patrzymy teraz na punkty krytyczne i końce przedziału:

$x$ ‍	$h (x)$ ‍	Przed	Po	Wniosek
$- 3$ ‍	$9$ ‍	$-$ ‍	$↗$ ‍	Minimum
$- 2$ ‍	$20$ ‍	$↗$ ‍	$↘$ ‍	Maksimum
$1$ ‍	$- 7$ ‍	$↘$ ‍	$↗$ ‍	Minimum
$3$ ‍	$45$ ‍	$↗$ ‍	$-$ ‍	Maksimum

Na przedziale zamkniętym

- 3 \leq x \leq 3

, punkty

(- 3, 9)

(1, - 7)

są lokalnymi minimami a punkty

(- 2, 20)

(3, 45)

są lokalnymi maksimami.

Punkt $(1, - 7)$ ‍ odpowiada minimum lokalnemu o najmniejszej wartości, a więc jest to zarazem punkt, w którym funkcja osiąga absolutne minimum. Punkt $(3, 45)$ ‍ odpowiada maksimum lokalnemu o największej wartości, a więc jest to zarazem punkt, w którym funkcja osiąga absolutne maksimum.

Zauważ, że minimum globalne funkcji znajduje się wewnątrz tego przedziału a maksimum globalne w jednym z jego końców.

zadanie 1

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 12

Jakie jest maksimum globalne funkcji $f$ ‍ na zamkniętym przedziale $[- 2, 4]$ ‍?

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Znajdowanie ekstremów globalnych na całej dziedzinie

Nie wszystkie funkcje mają maksimum lub minimum globalne na swojej dziedzinie. Na przykład, liniowa funkcja

f (x) = x

nie osiąga ani maksimum, ani minimum globalnego (może być tak duża lub mała, jak sobie tego tylko zażyczymy).

Z drugiej strony, niektóre funkcje osiągają ekstremum globalne na swojej dziedzinie. Przeanalizujmy dla przykładu funkcję

g (x) = x e^{3 x}

g^{'} (x) = e^{3 x} (1 + 3 x)

, więc punktem krytycznym jest

x = - \frac{1}{3}

Przedział	wartość $x$ ‍	$g^{'} (x)$ ‍	Wynik
$(- \infty, - \frac{1}{3})$ ‍	$x = - 1$ ‍	$g^{'} (- 1) = - \frac{2}{e^{3}} < 0$ ‍	$g$ ‍ jest malejąca $↘$ ‍
$(- \frac{1}{3}, \infty)$ ‍	$x = 0$ ‍	$g^{'} (0) = 1 > 0$ ‍	$g$ ‍ jest rosnąca $↗$ ‍

Wyobraźmy sobie, że spacerujemy po wykresie funkcji

g

, startując całkowicie z lewej (z

- \infty

) i idąc w kierunku prawego końca (aż do

+ \infty

Zaczynamy idąc w dół aź do punktu

x = - \frac{1}{3}

. Następnie, podążamy już zawsze do góry. A zatem,

g

osiąga absolutne minimum w punkcie

x = - \frac{1}{3}

. Ta funkcja nie ma absolutnego maksimum.

Chcesz dowiedzieć się więcej o ekstremach globalnych? Obejrzyj ten film.

zadanie 1

g (x) = \frac{\ln (x)}{x}

Jakie jest globalne maksimum funkcji $g$ ‍ ?

Chcesz rozwiązać więcej podobnych zadań? Zajrzyj do tego ćwiczenia.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się

Sortuj według

Na razie brak głosów w dyskusji

Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.