If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Jeżeli jesteś za filtrem sieci web, prosimy, upewnij się, że domeny *.kastatic.org i *.kasandbox.org są odblokowane.

Główna zawartość

Kurs: Analiza matematyczna - program rozszerzony II > Rozdział 5

Lekcja 10: Związek pomiędzy przebiegiem zmienności funkcji, jej pierwsze pochodnej i jej drugiej pochodnej
Matematyka
Analiza matematyczna - program rozszerzony II
Zastosowanie rachunku pochodnych do badanie własności funkcji
Związek pomiędzy przebiegiem zmienności funkcji, jej pierwsze pochodnej i jej drugiej pochodnej
© 2024 Khan AcademyWarunki użytkowaniapolitykę prywatnościInformacja o plikach cookie

Badanie zachowania drugiej pochodnej

Google Classroom
"Analiza przebiegu zmienności funkcji " na podstawie zachowania jej drugiej pochodnej pozwala wyznaczyć przedziały, których funkcja jest wypukła lub wklęsła oraz położenie punktów przegięcia. Tłumaczenie na język polski: Fundacja Edukacja dla Przyszłości, dzięki wsparciu Fundacji PKO Banku Polskiego.
Wiemy już, że pierwsza pochodna f′ daje nam wiedzę o tym, gdzie funkcja rośnie lub maleje i w których punktach osiąga ekstrema
Druga pochodna f″ mówi nam o wypukłości wyjściowej funkcji f oraz o tym, gdzie ma ona punkty przegięcia.

Przypomnijmy, na czym polega wypukłość funkcji

Funkcja jest wypukła, jeśli jej nachylenie rośnie. Graficznie sprowadza się to do tego, że, wykres funkcji wypukłej ma kształt kubka, ∪.
Wykres funkcji f jest wypukły (zwróć uwagę na kształt ∪). Zauważ, że wraz ze wzrostem argumentu zwiększa się nachylenie funkcji.
Analogicznie funkcja jest wklęsła, gdy jej nachylenie maleje. Graficznie oznacza to, że wykres funkcji wklęsłej przyjmuje kształt czapki, ∩.
Wykres funkcji g jest wklęsły (zwróć uwagę na kształt ∩). Zauważ, że wraz ze wzrostem argumentu nachylenie funkcji maleje.
Punkt przegięcia to taki punkt, w którym zmienia się wypukłość funkcji (przechodzi ona z funkcji wklęsłej w wypukłą lub na odwrót).

W jaki sposób f″ mówi nam o wypukłości f

Gdy druga pochodna f″ jest dodatnia, pierwsza pochodna f′ rośnie, a to z kolei oznacza, że wyjściowa funkcja f jest wypukła. Analogicznie przy ujemnej drugiej pochodnej f″ pierwsza pochodna f′ maleje, a funkcja f jest wklęsła.
f″f′f
dodatnia +rosnąca ↗wypukła ∪
ujemna −malejaca ↘wklęsła ∩
przecina oś X (zmienia znak)extremum (zmienia kierunek)punkt przegięcia (zmienia wypukłość)
A oto przykładowe wykresy funkcji:
f″f′f
Zwróć uwagę, że f jest wklęsła na lewo od x=c oraz wypukła na prawo od x=c.
zadanie 1
Niech f będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Oto wykres jej drugiej pochodnej, f′:
Na jakim przedziale f jest wypukła?
Wybierz 1 odpowiedź:

Częsty błąd: mylenie zależności między f, f′ i f″

Należy zawsze pamiętać, że, aby f była wypukła, f′ musi być rosnąca, a f″ - dodatnia. Inne rodzaje zależności między f, f′ oraz f″ niekoniecznie muszą zachodzić.
Na przykład w powyższym zadaniu 1 funkcja f″ jest wypukła na przedziale [−8,−2], ale nie oznacza to wcale, że wypukła na tym przedziale jest sama funkcja f.
Zadanie 2
Niech h będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Oto wykres jej drugiej pochodnej, h″:
Które z zaznaczonych punktów są punktami przegięcia funkcji h?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Częsty błąd: mylenie wykresów

Przypuśćmy, że uczeń rozwiązujący powyższe zadanie 2 pomyłkowo sądzi, że ma do czynienia z wykresem pierwszej pochodnej funkcji h. W takim wypadku h miałaby punkt przegięcia w punktach A i B, bo w tych miejscach funkcja na wykresie zmienia kierunek. Uczeń ten popełniłby błąd, bowiem jest to wykres drugiej pochodnej, a poprawna odpowiedź to D.
Pamiętaj, by zawsze upewnić się, że właściwie rozumiesz dane zadania. Zastanów się, czy dysponujesz wykresem wyjściowej funkcji f, jej pierwszej pochodnej ′f, czy też drugiej pochodnej f″.
Zadanie 3
Oto wykres funkcji dwukrotnie różniczkowalnej g i jej drugiej pochodnej, g″:
Czterech uczniów poproszono o podanie właściwego opartego na rachunku różniczkowym uzasadnienia tego, że g ma punkt przegięcia dla x=−2.
Połącz uwagi nauczyciela z odpowiednimi uzasadnieniami:
1

Rozstrzyganie czy eksremum to minimum lub maksimum za pomocą drugiej pochodnej

Przypuśćmy, że dana jest funkcja f mająca ekstremum w punkcie x=1 oraz wypukła na przedziale [0,2]. Czy na podstawie tej informacji można stwierdzić, czy jest to maksimum czy minimum?
Odpowiedź brzmi: TAK. Przypomnijmy, że funkcja wypukła na kształt kubka ∪. Krzywa o takiej postaci może mieć jedynie minimum lokalne.
Analogicznie, jeśli funkcja jest wklęsła i ma ona ekstremum, musi to być z konieczności maksimum lokalne.
Zadanie 4
Oto wykres funkcji dwukrotnie różniczkowalnej h i jej drugiej pochodnej, h″:
Zakładając, że h′(−4)=0, jakie jest poprawne uzasadnienie oparte na rachunku różniczkowym tego, że h ma w punkcie x=−4 maksimum lokalne?
Wybierz 1 odpowiedź:

Chcesz poćwiczyć więcej? Spróbuj rozwiązać te zadania.

Chcesz dołączyć do dyskusji?

Zaloguj się
Na razie brak głosów w dyskusji
Rozumiesz angielski? Kliknij tutaj, aby zobaczyć więcej dyskusji na angielskiej wersji strony Khan Academy.